2022年高三数学第一轮复习资料函数图象函数与方程数函数的应 .pdf

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1、第 7 讲函数图象【20XX 年高考会这样考】1考查函数图象的识辨2考查函数图象的变换3利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数【复习指导】函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫， 学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻基础梳理1函数图象的变换(1)平移变换水平平移： yf(x a)(a0)的图象，可由 yf(x)的图象向左 ()或向右 ()平移a 个单位而得到竖直平移： yf(x) b(b0)的图象，可由 yf(x)的图象向上 ()或向下 ()平

2、移b 个单位而得到(2)对称变换yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称yf(x)与 yf(x)的图象关于 x 轴对称yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称由对称变换可利用yf(x)的图象得到 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象作出 yf(x)的图象，将图象位于x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y|f(x)|的图象；作出 yf(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分， 并作 y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得 yf(|x|)的图象(3)伸缩变换yaf(x)(a0)的图象，可将yf(x)图象上每点的纵坐标伸 (a1 时)或缩(a1精选学习资料

3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页时)到原来的 a 倍，横坐标不变yf(ax)(a0)的图象，可将 yf(x)的图象上每点的横坐标伸 (a1 时)或缩(a1 时)到原来的1a倍，纵坐标不变(4)翻折变换作为 yf(x)的图象，将图象位于x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y|f(x)|的图象；作为 yf(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分， 并作 y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得 yf(|x|)的图象2等价变换例如：作出函数 y1x2的图象，可对解析式等价变形y1x2?y01x20y

4、21x2?y0y21x2? x2y21(y0)，可看出函数的图象为半圆此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组； (3)作图3描点法作图方法步骤： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势 )；(4)描点连线， 画出函数的图象一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点 作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数

5、，后者是两个不同的函数对称(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换(2)函数解析式的等价变换(3)研究函数的性质双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )为了得到函数 ylgx310的图象，只需把函数 ylg x的图象上所有的点 ()A向左平移 3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度B向右平移

6、3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度C向左平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度D向右平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度解析ylgx310lg(x3)1 可由 ylg x 的图象向左平移 3 个单位长度，向下平移 1 个单位长度而得到答案C 2(2011 安徽)若点(a，b)在 ylg x 图象上， a1，则下列点也在此图象上的是() A.1a，bB(10a,1b) C.10a，b1D(a2,2b) 解析本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题当xa2时，ylg a22lg a2b，所以点 (a2,2b)在函数 ylg x 图象上答案D 3函数 y11x1的图

7、象是 ()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页解析将 y1x的图象向右平移1 个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数 y11x1的图象答案B 4(2011 陕西)函数 yx13的图象是 ()解析该题考查幂函数的图象与性质， 解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数yx 比较即可由(x)13x13知函数是奇函数 同时由当 0 x1 时，x13x，当 x1 时，x13x，知只有 B 选项符合答案B 5已知图中的图象对应的函数为yf(x)，则图的图象对应的函数为()Ayf(|x|) By|f(x)

8、| Cyf(|x|) Dyf(|x|) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页解析yf(|x|)f x ，x0，f x ，x0.答案C 考向一作函数图象【例 1】?分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1；(4)yx2x1. 审题视点 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象解(1)ylg xx1 ，lg x0 x1 .图象如图 . (2)将 y2x的图象向左平移 2 个单位图象如图 . (3)yx22x1x0 x22x1x0.图象如图 . (4)因 y13x1，先作出

9、y3x的图象，将其图象向右平移1 个单位，再向上平移 1 个单位，即得 yx2x1的图象，如图 . (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx1x的函数； (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页【训练 1】 作出下列函数的图象：(1)y2x11；(2)ysin|x|；(3)y|log2(x1)|. 解(1)y2x11 的图象可由 y2x的图象向左平移1 个单位，得 y2x

10、1的图象，再向下平移一个单位得到y2x11 的图象，如图所示(2)当 x0 时，ysin|x|与 ysin x 的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，其图象关于 y轴对称，如图所示(3)首先作出 ylog2x 的图象 c1，然后将 c1向左平移 1 个单位，得到 ylog2(x1)的图象 c2，再把 c2在 x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即为所求图象c3：y|log2(x1)|.如图所示 (实线部分 )考向二函数图象的识辨【例 2】?函数 f(x)1log2x 与 g(x)21x在同一直角坐标系下的图象大致是()审题视点 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及

11、函数的单调性来判断解析f(x)1log2x 的图象由函数 f(x)log2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过 (1,1)点，且为单调增函数，显然， A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是 (1,1)，故不满足；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页函数 g(x)21x212x，其图象经过 (0,2)点，且为单调减函数， B 项中单调递减的函数与 y 轴的交点坐标为 (0,1)， 故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足综上所述，排除 A，B，D.故选 C. 答案C 函数图象的识辨可从

12、以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项【训练 2】 (2010 山东)函数 y2xx2的图象大致是 ()解析当 x0 时，2xx2有两根 x2,4；当 x0 时，根据图象法易得到y2x与 yx2有一个交点，则y2xx2在 R 上有 3 个零点，故排除 B、C；当 x时，2x0.而 x2，故 y2xx20，故选 A. 答案A 考向三函数图象的应用【例 3】?已知函数 f(x)|x24x

13、3|. (1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 Mm|使方程 f(x)m有四个不相等的实根 审题视点 作出函数图象，由图象观察精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页解f(x)x221，x ， 13， ， x221， x 1，3 ，作出图象如图所示(1)递增区间为 1,2和3， )，递减区间为 (， 1和2,3(2)由图象可知， yf(x)与 y m图象，有四个不同的交点，则0m1，集合 M m|0m1(1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低

14、点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想方法【训练 3】 (2010 湖北)若直线 yxb 与曲线 y34xx2有公共点，则 b 的取值范围是 ()A1,12 2 B12 2，12 2 C12 2，3 D12，3 解析在同一坐标系下画出曲线y34xx2(注：该曲线是以点C(2,3)为圆心、2 为半径的圆不在直线y3 上方的部分 )与直线 yx 的图象，平移该直线，结合图形分析可知， 当直线沿 y 轴正方向平移到点 (0,3)的过

15、程中的任何位置相应的直线与曲线y34xx2都有公共点；注意到与yx 平行且过点 (0,3)的直线的方程是 yx3；当直线 yxb 与以点 C(2,3)为圆心、 2 为半径的圆相切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页时(圆不在直线 y3 上方的部分 )，有|23b|22，b12 2.结合图形可知，满足题意的只有 C 选项答案C难点突破 5高考中函数图象的考查题型涉及函数图象的知识点在高考中的考查形式主要有三种类型：一、由解析式选配图象解决时需要从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面综合考查，有时也可以根据特殊情况 (如特

16、殊点、特殊位置 )进行分析【示例】 ? (2011山东)函数 yx22sin x 的图象大致是 ()二、图象平移问题一般地，平移按“左加右减，上正下负”进行函数式的变换【示例】 ? (2011郑州模拟 )若函数 f(x)kaxax(a0 且 a1)在(， )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页上既是奇函数又是增函数，则g(x)loga(xk)的图象是 ()三、图象对称问题【示例】 ? (2011厦门质检 )函数 ylog2|x|的图象大致是 ()第 8 讲函数与方程【20XX 年高考会这样考】1考查具体函数的零点的取

17、值范围和零点个数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页2利用函数零点求解参数的取值范围3利用二分法求方程的近似解【复习指导】(1)准确理解函数零点的概念，方程的根、函数与x 轴的交点，三者之间的区别与联系，能够实现彼此之间的灵活转化，并能利用特殊点的函数值， 根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间；(2)灵活运用函数图象，将函数零点转化为两个函数图象的交点，注重数形结合思想的应用基础梳理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点(2)几个等价

18、关系方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点(3)函数零点的判定 (零点存在性定理 ) 如果函数 yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根2二次函数 yax2bxc(a0)零点的分布根的分布 (mnp 为常数 )图象满足条件x1x2m 0b2amf m 0mx1x2 0b2amf m 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

19、- -第 11 页，共 31 页x1mx2f(m)0 mx1x2n 0mb2anf m 0f n 0mx1nx2p f m 0f n 0f p 0只有一根在(m，n)之间 0mb2an或f(m) f(n) 0 3.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间 a， b上连续不断且 f(a) f(b)0 的函数 yf(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间 a，b，验证 f(a) f(b)0，给定精确度 ；求区间 (a，b)的中点 c；

20、计算 f(c)；()若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；()若 f(a) f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)；()若 f(c) f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)判断是否达到精确度 .即：若|ab| ，则得到零点近似值a(或 b)；否则重复 . 一个口诀精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断两个防范(1)函数 yf(x)的零点即方程 f(x)0 的实根，是数不是点

21、(2)若函数 yf(x)在闭区间 a，b上的图象是连续不间断的， 并且在区间端点的函数值符号相反， 即 f(a) f(b)0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点如图，f(a) f(b)0，f(x)在区间 (a，b)上照样存在零点，而且有两个所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点；(3)利用图

22、象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点双基自测1(2011 福建)若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ()A(1,1) B(2,2) C(， 2)(2， ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页D(， 1)(1， ) 解析由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式 0，即 m240，解得 m2 或 m2，故选 C. 答案C 2若函数 yf(x)在 R 上递增，则函数yf(x)的零点 ()A至少有一个B至多有

23、一个C有且只有一个D可能有无数个答案B 3如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()ABCD答案B 4(2011 新课标全国 )在下列区间中，函数f(x)ex4x3 的零点所在的区间为()A. 14，0B. 0，14C.14，12D.12，34解析因为 f14e144143e1420，f12e124123e1210，所以 f(x)ex4x3 的零点所在的区间为14，12. 答案C 5(人教 A 版教材习题改编 )已知函数 f(x)x2xa 在区间 (0,1)上有零点， 则实数 a 的取值范围是 _解析函数 f(x)x2xa 在(0,1)上递增由已知条件f(0)

24、f(1)0，即 a(a2)0，解得 2a 0，x1x22a0，x1 x2a20，解得 a2. (2)由已知条件 0，1a0，f 3 0，解得 2a115. (3)由已知条件 f(2)2. (4)由已知条件 f(1)f(3)0 解得115a3. 检验：当 f(3)0，a115时，方程的两解为x75，x3，当 f(1)0，即 a3 时，方程的两解为 x1，x5，可知115a3.当 0，1a3? a2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页即 a2 时 f(x)x24x4(x2)2方程的解 x1x22 a2，综上有 a2

25、 或115a0，其中 e 表示自然对数的底数 )(1)若 g(x)m有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 t 的取值范围，使得g(x)f(x)0 有两个相异实根分析： (1)可结合图象也可解方程求之(2)利用图象求解审题视点 画出函数图象，利用数形结合法求函数范围解(1)法一g(x)xe2x2 e22e，等号成立的条件是xe. 故 g(x)的值域是 2e， )，因而只需 m2e，则 g(x)m 就有零点法二作出 g(x)xe2x的图象如图：可知若使 g(x)m 有零点，则只需 m2e. 法三解方程由 g(x)m，得 x2mxe20. 此方程有大于零的根，故m20 m24e20等价于m0m2e

26、或m2e，故 m2e. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根， 即 g(x)f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)xe2x(x0)的图象f(x)x22ext1 (xe)2t1e2. 其对称轴为 xe，开口向下，最大值为t1e2. 故当 t1e22e，即 te22e1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)f(x)0有两个相异实根t 的取值范围是 (e22e1， )此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能

27、解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点， 而是利用零点的个数， 或有零点时求参数的范围， 一般采用数形结合法求解【训练 3】 已知函数 f(x)ax32ax3a4 在区间 (1,1)上有一个零点(1)求实数 a 的取值范围；(2)若 a3217，用二分法求方程f(x)0 在区间 (1,1)上的根解(1)若 a0，则 f(x)4 与题意不符， a0，f(1)f(1)8(a1)(a2)0，1a2. (2)若 a3217，则 f(x)3217x36417x2817，f(1)0，f(1)0，f(0)28170，零点在 (0,1)上，又 f120，f(x)0 的根为

28、12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页难点突破 6如何利用图象求解函数零点问题数形结合是重要的思想方法之一，也是高考考查的热点问题， 利用函数图象判断方程是否有解， 有多少个解是常见常考的题型， 数形结合法是求函数零点个数的有效方法，其基本思路是把函数分成两个函数的差，分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出，则函数零点个数就是两函数图象交点的个数一、判定函数零点的个数【示例】 ? (2011陕西)函数 f(x)xcos x 在0， )内()A没有零点B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点D有无穷多个零点二

29、、判断零点的范围【示例】 ? (2011山东)已知函数 f(x)logaxxb(a0，且 a1)当 2a3b4 时，函数 f(x)的零点 x0(n，n1)，nN*，则 n_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页第 9 讲函数的应用【20XX 年高考会这样考】1考查二次函数模型的建立及最值问题2考查分段函数模型的建立及最值问题3考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题【复习指导】函数模型的实际应用问题， 主要抓好常见函数模型的训练， 解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决

30、问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页基础梳理1常见的函数模型及性质(1)几类函数模型一次函数模型： ykxb(k0)二次函数模型： yax2bxc(a0)指数函数型模型： yabxc(b0，b1)对数函数型模型： ymlogaxn(a0，a1)幂函数型模型： yaxnb. (2)三种函数模型的性质函数性质yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0， ) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与

31、x 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxnax一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )从 1999年

32、 11月 1 日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为 20%，由各银行储蓄点代扣代收， 某人 20XX 年 6 月 1 日存入若干万元人民币，年利率为 2%， 到 20XX 年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于()A34 万元B45 万元C56 万元D23 万元解析设存入的本金为 x，则 x 2% 20%138.64，x1 386 4004034 660. 答案A 2(2012 新乡月考 )某产品的总成本y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是y3 00020 x0.1x2(0 x240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时 (销售收入

33、不小于总成本 )的最低产量是 ()A100 台B120 台C150台D180 台解析设利润为f(x)(万元)，则 f(x)25x(3 00020 x0.1x2)0.1x25x3 0000， x150. 答案C 3有一批材料可以围成200 米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为 ()A1 000米2B2 000米2C2 500米2D3 000米2解析设三个面积相等的矩形的长、 宽分别为 x 米、y 米， 如图，则 4x3y200，又矩形场地的面积S3xy3x2004x3x(2004x)4(x25)22

34、500， 当x25时，Smax2 500. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页答案C 4(2011 湖北)里氏震级 M 的计算公式为： Mlg Alg A0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9 级地震的最大振幅是5 级地震最大振幅的 _倍解析由 lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震级为6 级因为标准地震的振幅为 0.001，设 9 级地震最大振幅为A9，则

35、 lg A9lg 0.0019 解得 A9106，同理 5 级地震最大振幅 A5102，所以 9 级地震的最大振幅是5 级地震的最大振幅的 10 000倍答案610 000 5(2012 东三校联考 )为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文加密密文发送密文解密明文已知加密为 yax2(x 为明文， y 为密文 )，如果明文 “3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为 “14”，则原发的明文是 _解析依题意 yax2 中，当 x3 时，y6，故 6a32，解得 a2.所以加密为 y2x2，因此，当 y14 时，

36、由 142x2，解得 x4. 答案4考向一一次函数、二次函数函数模型的应用【例 1】?(2011武汉调研 )在经济学中，函数f(x)的边际函数 Mf(x)定义为： Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生产x 台某种产品的收入为R(x)元，成本为 C(x)元，且 R(x)3 000 x20 x2，C(x)500 x4 000(xN*)现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页(1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值

37、之差审题视点 列出函数解析式，根据函数性质求最值解(1)由题意，得 x1,100，且 xN*. P(x)R(x)C(x) (3 000 x20 x2)(500 x4 000) 20 x22 500 x4 000，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20 x22 500 x4 000)2 48040 x. (2)P(x)20 x1252274 125，当 x62或 x63 时，P(x)取得最大值 74 120元；因为 MP(x)2 48040 x 是减函数，所以当 x1 时，MP(x)取得最大值 2 440 元故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71

38、 680元. 二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值， 解决实际中的最优化问题， 值得注意的是： 一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解【训练 1】经市场调查，某种商品在过去 50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)前 30天价格为g(t)12t30(1t30，tN)，后 20天价格为 g(t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额S与时间 t 的函数关系；(2)求日销售额 S的最大值解(1)根据题意，得S2t20012t30 ，1t3

39、0，tN，45 2t200 ，31t50，tN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页t240t6 000，1t30，tN，90t9 000，31t50，tN.(2)当 1t30，tN 时，S(t20)26 400，当 t20 时，S的最大值为 6 400；当 31t50，tN 时，S90t9 000为减函数，当 t31 时，S的最大值为 6 210. 6 2106 400，当 t20 时，日销售额 S有最大值 6 400. 考向二指数函数模型的应用【例 2】?某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据

40、监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y 与 t 之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？审题视点 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长解(1)设 ykt，0t1，12ta，t1.当 t1 时，由 y4 得 k4，由121a4 得a3.则 y4t，0t1，12t3，t1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页(2)由 y0.25 得0t1，4

41、t0.25，或t1，12t30.25.解得116t5，因此服药一次后治疗有效的时间是51167916小时可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解【训练 2】 某城市现有人口总数为100 万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份 x(年)的函数关系式；(2)计算 10年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120 万人(精确到 1 年)；(4)如果 20 年后该城市人口总数不超过120 万人，年自然增长率应该控制在多少？(参 考 数 据 ： 1.01291.1

42、13,1.012101.127， lg 1.20.079，lg 20.3010， lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9) 解(1)1 年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%) 2 年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2% 100(11.2%)2. 3 年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2% 100(11.2%)3. x 年后该城市人口总数为y100(11.2%)x. (2)10 年后，人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)(3)设 x 年后该城市人口将达到120 万人，即

43、 100(11.2%)x120，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页xlog1.012120100log1.0121.2016(年)(4)由 100(1x%)20120， 得(1x%)201.2， 两边取对数得 20lg(1x%)lg 1.20.079，所以 lg(1x%)0.079200.003 95，所以 1x%1.009，得 x0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%. 考向三函数 yxax模型的应用【例 3】?(2010 湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物

44、要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元 )与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系： C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值审题视点 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件解(1)由已知条件 C(0)8 则 k40，因此 f(x)6x20C(x)6x8003x5(0 x10)(2)f(x)6x108003x510 2 6x108003x51

45、070(万元)，当且仅当 6x108003x5即 x5 时等号成立所以当隔热层为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为70 万元求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于yxax(a0)类型的函数最值问题， 特别要注意定义域问题， 可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页【训练 3】 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，

46、蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解设温室的左侧边长为x m，则后侧边长为800 xm. 蔬菜种植面积y(x4)800 x28082 x1 600 x(4x400)x1 600 x2 x1 600 x80，y808280648(m)2. 当且仅当 x1 600 x，即 x40，此时800 x20 m，y最大648(m2)当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为 20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为 648 m2.规范解答 5应用题中的函数建模问题(【问题研究】解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型，因此，首先要熟悉和掌握几类常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误：, 1 列函数关

47、系式时，会出现由于理不清楚各个量之间的关系，而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错误；, 2 列出解析式，在求最优解的过程中，由于方法使用不当而出现求解上的错误., 【解决方案】1 阅读理解，审清题意 .读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述部分所反映的实际背景，在此基础上， 分析出已知是什么， 求什么，从中提炼出相应的数学问题., 2 根据所给模型， 列出函数关系式 .根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题., 3 利精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共

48、31 页用数学的方法将得到的常规函数问题即数学模型 予以解答，并求得结果., 4 将所得结果代入原问题中，对具体问题进行解答.) 【示例】?(本题满分 12 分)(2011 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米 /小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0； 当车流密度不超过20辆/千米时， 车流速度为 60千米/小时 研究表明：当 20 x200时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式；(2)当车流密度 x

49、 为多大时，车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小时)f(x)x v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 首先求函数v(x)为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解解答示范 (1)由题意：当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb，再由已知，得200ab0，20ab60，解得a13，b2003.故函数 v(x)的表达式为 v(x)60，0 x20，13200 x ，20 x200.(4 分) (2)依题意并由 (1)可得 f(x)60 x，0 x20，13x 200 x ，20 x200.(6 分) 当

50、0 x20时，f(x)为增函数，故当 x20 时，其最大值为 60201 200；(7 分) 当 20 x200 时，f(x)13x(200 x)13x 200 x2210 0003，当且仅当 x200 x，即 x100时，等号成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页所以，当 x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值10 0003.(10 分) 综上，当 x100 时，f(x)在区间 0,200上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 3