2022年高中数学公式大全 .pdf

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1、高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系UxAxC A,UxC AxA.2. 德摩根公式();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 3. 包含关系ABAABBUUABC BC AUAC BUC ABR4. 容斥原理()()card ABcardAcardBcard AB()()card ABCcardAcardBcardCcard AB()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC. 5集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n2 个. 6. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一

2、般式2( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式2( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. 7.解连不等式( )NfxM常有以下转化形式( )Nf xM( )( )0f xMf xN|( )|22MNMNf x( )0( )fxNMf x11( )f xNMN. 8. 方 程0)(xf在),(21kk上 有且 只 有 一 个 实 根 , 与0)()(21kfkf不 等 价 , 前者 是 后者 的 一 个 必要 而 不是 充 分 条 件 . 特 别 地 , 方 程)0(02acbxax有且只有 一个实根 在),(21kk内,等价

3、 于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk, 或0)(2kf且22122kabkk. 9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1) 当 a0 时，若qpabx,2，则minmaxmax( )(),( )(),( )2bf xff xfpf qa；qpabx,2，maxmax( )(),( )f xf pf q，minmin( )( ),( )f xf pf q. (2)当a0) （ 1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（ 2）0)()(axfxf，精选学习资料

4、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 或21( )( )(),( )0,1 )2fxfxfxaf x, 则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1( ()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期T=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) (

5、) (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 30. 分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）. (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n） . 31根式的性质（ 1）()nnaa. （ 2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 32有理指数幂的运算性质(1) (0, ,)rsrsaaaar sQ. (2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba b abrQ. 注：若 a0

6、，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.34. 对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 35对数的四则运算法则若 a0， a 1，M0， N 0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 36. 设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,

7、 记acb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0;若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 ,需要单独检验. 37.对数换底不等式及其推广精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页若0a,0b,0 x,1xa, 则函数log ()axybx (1)当ab时, 在1(0,)a和1(,)a上log ()axybx为增函数 . ，(2) 当ab时, 在1(0,)a和1(,)a上log ()axybx为减函数 . 推论 :设1nm，0p，0a，且1a，则（ 1）log()logmpmnpn.（ 2）2logl

8、oglog2aaamnmn.38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp. 39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 40. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 41. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 4

9、2. 等比差数列na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为(1) ,(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbnqqqq. 43.分期付款 (按揭贷款 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清 ,每期利率为b). 44常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx. (2) 若(0,)2x，则1sincos2xx. (3) |sin| cos| 1

10、xx. 45. 同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot. 46. 正弦、余弦的诱导公式212( 1) sin,sin()2( 1)s ,nnnco212(1)s,s()2(1)sin,nnconco47. 和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. 22sin()sin()sinsin( 平方正弦公式); 22cos()cos()cossin. sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定,tanba ).48. 二倍角公式si

11、n22sincos. 2222cos2cossin2cos112sin. 22 tantan21tan. 49. 三倍角公式3sin33sin4sin4sinsin()sin()33. 3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan() tan()13tan33. 50. 三角函数的周期公式函 数sin()yx， x R 及 函 数cos()yx， x R(A, ,为 常 数 ， 且A 0 ， 0) 的 周 期2T； 函 数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0， 0)的周期T. 51. 正弦定理(n 为偶数 ) (n 为奇数

12、) (n 为偶数 ) (n 为奇数 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页2sinsinsinabcRABC. 52. 余弦定理2222cosabcbcA; 2222cosbcacaB; 2222coscababC. 53. 面积定理（ 1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示a、b、c 边上的高） . （ 2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)221(| |)()2OABSOAOBOA OB. 54. 三角形内角和定理在 ABC中，有()ABCCAB222CAB222

13、()CAB. 55.简单的三角方程的通解sin( 1) arcsin (,| 1)kxaxka kZa. s2arccos (,| 1)co xaxka kZa. tanarctan (,)xaxka kZ aR. 特别地 , 有sinsin( 1)()kkkZ. scos2()cokkZ. tantan()kkZ. 56. 最简单的三角不等式及其解集sin(| 1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkaka kZ. sin(| 1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ. cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xaaxkakakZ. cos(|

14、1)(2arccos ,22arccos ),xaaxkakakZ. tan()(arctan ,),2xa aRxka kkZ. tan()(,arctan ),2xa aRxkka kZ. 57. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( ) a; (2) 第一分配律：( +) a= a+ a;(3) 第二分配律：( a+b)= a+b. 58. 向量的数量积的运算律：(1) ab= b a（交换律）; (2) （a） b= （ab）=a b= a （b） ; (3) （a+b） c= ac +b c.59. 平面向量基本定理如果 e1、 e 2是同一平面内

15、的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 60向量平行的坐标表示设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，且 b0，则 ab(b0)12210 x yx y.53. a 与 b的数量积 ( 或内积 )ab=|a| b|cos 61. ab 的几何意义数量积ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a的方向上的投影|b|cos 的乘积62. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy. (2) 设 a=11(,)xy,

16、b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3) 设 A11(,)x y， B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页(4) 设 a=( , ),x yR，则a=(,)xy. (5) 设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y. 63. 两向量的夹角公式121222221122cosx xy yxyxy( a=11(,)x y, b=22(,)xy). 64. 平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB A

17、B222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy). 65. 向量的平行与垂直设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，且 b0，则A| bb=a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 66. 线段的定比分公式设111(,)P x y，222(,)P xy，( , )P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（11t）. 67. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ), 则

18、ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 68. 点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP . 注 : 图形 F 上的任意一点P(x ， y)在平移后图形F上的对应点为(,)P x y，且PP的坐标为( , )h k. 69. “按向量平移”的几个结论（1）点( ,)P x y按向量a=( , )h k平移后得到点(,)P xh yk. (2) 函数( )yf x的图象C按向量 a=( , )h k平移后得到图象C, 则C的函数解析式为()yf xhk. (3) 图象C按向量a=( , )h k平移后得到图象C, 若C的解析式( )yf x,则C的函数解析式为()yf

19、 xhk. (4) 曲线C:( , )0f x y按向量 a=( , )h k平移后得到图象C, 则C的方程为(,)0f xh yk. (5) 向量 m =( ,)x y按向量a=( , )h k平移后得到的向量仍然为m =( ,)x y. 70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（ 1）O为ABC的外心222OAOBOC. （ 2）O为ABC的重心0OAOBOC. （ 3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （ 4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. （ 5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

20、71. 常用不等式：（ 1）,a bR222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （ 2）,a bR2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （ 3）3333(0,0,0).abcabc abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页（ 4）柯西不等式22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR（ 5）bababa.72. 极值定理已知yx,都是正数，则有（ 1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（ 2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 推广已知Ry

21、x,，则有xyyxyx2)()(22（ 1）若积xy是定值 , 则当|yx最大时 ,|yx最大；当|yx最小时 ,|yx最小 . （ 2）若和|yx是定值 , 则当|yx最大时 , | xy最小；当|yx最小时 , | xy最大 . 73. 一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 74. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 2

22、2xaxaxa或xa. 75. 无理不等式（ 1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x . （ 2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或. （ 3）2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x. 76. 指数不等式与对数不等式(1) 当1a时, ( )()( )( )f xg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2) 当01a时, ( )()( )( )f xg

23、xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x77.斜率公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy） . 78.直线的五种方程（ 1）点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（ 2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （ 3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy (12xx). (

24、4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（ 5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1) 若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkk bb; 12121llk k. (2) 若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、 B2都不为零 , 11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；80.夹角公式(1)2121tan|1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tan|A BA BA AB

25、B. (1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1与 l2的夹角是2. 81. 1l到2l的角公式(1)2121tan1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tanA BA BA AB B. (1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1到 l2的角是2. 82四种常用直线系方程 (1)定 点 直 线 系 方 程 ： 经 过 定 点000(,)P xy的 直 线 系 方 程 为00()yyk xx(

26、除 直 线0 xx),其 中k是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy, 其中,A B是待定的系数(2)共 点直 线系方 程 ： 经过 两直 线1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC的 交点的 直线 系 方 程为111222()()0AxB yCA xB yC( 除2l) ，其中 是待定的系数(3) 平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0) ， 是参变量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

27、 - - - - -第 10 页，共 23 页(4) 垂直直线系方程：与直线0AxByC (A 0， B0) 垂直的直线系方程是0BxAy, 是参变量83.点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 84.0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之 ,同号在上 ,异号在下 .若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之 ,

28、同号在右 ,异号在左 .85.111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域设曲线111222: ()()0CA xB yCA xB yC（12120A A B B） ，则111222()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域是：111222()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分. 86.圆的四种方程（ 1）圆的标准方程222()()xaybr. （ 2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). （ 3）圆的参数方程cossinxarybr

29、. （ 4）圆的直径式方程1212()()()()0 xxxxyyyy( 圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy). 87. 圆系方程(1) 过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, 其中0axbyc是直线AB的方程 , 是待定的系数(2)过直线l:0AxByC与圆C:220 xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC, 是待定的系数(3) 过 圆1C:221110 xyD xE yF与

30、圆2C:222220 xyD xE yF的 交 点 的 圆 系 方 程 是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF, 是待定的系数88. 点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 89. 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 90. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1， r2，dOO21条公切线外离421

31、rrd; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 91. 圆的切线方程(1) 已知圆220 xyDxEyF若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D xxE yyx xy yF. 当00(,)xy圆外时 , 0000()()022D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求k ，这时必有两

32、条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线斜率为k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线(2) 已知圆222xyr过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk. 92. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 93. 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式)(21caxePF，)(22xcaePF. 94椭圆的的内外部（ 1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （ 2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部220

33、0221xyab. 95. 椭圆的切线方程(1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.96. 双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| () |aPFe xc，22| () |aPFexc. 97. 双曲线的内外部(1) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xy

34、ab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页(2) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 98. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22221(0,0)xya

35、bab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （3）双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.100. 抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122. 101. 抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)xy，其中22ypx. 102. 二次函数2224()24bacbyaxbx

36、ca xaa(0)a的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa； （3）准线方程是2414acbya. 103. 抛物线的内外部(1) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (3) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy

37、 p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. 104. 抛物线的切线方程(1) 抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. （2）过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp xx. （3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. 105. 两个常见的曲线系方程精选学习资料 - - - -

38、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页(1) 过曲线1( , )0fx y,2( , )0fx y的交点的曲线系方程是12( , )( , )0f x yfx y(为参数 ). (2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk, 其中22max,kab. 当22min,kab时 , 表示椭圆; 当2222min,max,abka b时, 表示双曲线. 106. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211212(1)()| 1tan|1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),(2211yxByx，由方

39、程0)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率） . 107. 圆锥曲线的两类对称问题（ 1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （ 2）曲线( , )0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB. 108. “四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0 x x代2x，用0y y代2y，用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程0000000222x yxy

40、xxyyAx xBCy yDEF，曲线的切线，切点弦，中点弦， 弦中点方程均是此方程得到. 109证明直线与直线的平行的思考途径（ 1）转化为判定共面二直线无交点；（ 2）转化为二直线同与第三条直线平行；（ 3）转化为线面平行；（ 4）转化为线面垂直；（ 5）转化为面面平行. 110证明直线与平面的平行的思考途径（ 1）转化为直线与平面无公共点；（ 2）转化为线线平行；（ 3）转化为面面平行. 111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 112证明直线与直线的垂直的思考途径（ 1）转化为相交垂直；（ 2）转化为线面垂直；（ 3

41、）转化为线与另一线的射影垂直；（ 4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径（ 1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（ 2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（ 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（ 4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（ 5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114证明平面与平面的垂直的思考途径（ 1）转化为判断二面角是直二面角；（ 2）转化为线面垂直. 115. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1) 加法交换律：ab=b a(2) 加法结合律：( a b) c=a (bc) (3) 数乘分配律：( ab)= a b116.

42、平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b 0 )，ab存在实数 使 a=bPAB、 、三点共线|APABAPtAB(1)OPt OAtOB. |ABCDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线 . 118. 共面向量定理向量 p 与两个不共线的向量a、 b共面的存在实数对, x y, 使paxby推论空间一点P 位于平面 MAB内的存在有序实数对,x y, 使MPxMAyMB，或对空间任一定点O ，有序实数对,

43、x y，使OPOMxMAyMB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页119. 对空间任一点O和不共线的三点A、B 、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk） ，则当1k时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C四点共面；当1k时，若O平面 ABC ，则 P、A、B、C四点共面；若O平面 ABC ，则 P、A、B、 C四点不共面 CAB、 、 、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC(1)ODxy OAxOByOC（O平面 ABC ） . 120. 空间向量基本定理如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空

44、间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y ，z，使 pxa ybzc推论设 O 、 A 、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x ，y， z，使OPxOAyOBzOC. 121. 射影公式已知向量AB=a 和轴l， e 是l上与l同方向的单位向量. 作 A点在l上的射影A，作 B点在l上的射影B，则|cosABABa，e=ae 122. 向量的直角坐标运算设 a123(,)a a a，b123( ,)b b b则(1) ab112233(,)ab ab ab；(2) ab112233(,)ab ab ab；(3) a123(,)aaa ( R)；(4) ab1

45、 12233a ba ba b；123. 设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则ABOBOA= 212121(,)xx yy zz. 124空间的线线平行或垂直设111(,)ax y zr，222(,)bxyzr，则a brrP(0)ab brr rr121212xxyyzz；abrr0a br r1212120 x xy yz z. 125. 夹角公式设 a123(,)a a a，b123( ,)b b b，则cos a， b=1 12233222222123123aba ba baaabbb. 推论22222221 12233123123()()()a ba ba baaa

46、bbb，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD中, AC与BD所成的角为, 则2222|()()|cos2ABCDBCDAAC BD.127异面直线所成角cos|cos,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzr rrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）128.直线AB与平面所成角sin|AB marcABm(m为平面的法向量 ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页

47、129. 若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角, 另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,AB、为ABC的两个内角，则2222212sinsin(sinsin)sinAB. 特别地 , 当90ACB时, 有22212sinsinsin. 130. 若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角, 另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,AB、为ABO的两个内角，则2222212tantan(sinsin)tanAB. 特别地 , 当90AOB时, 有22212sinsinsin. 131.二面角l的平面角cos|m narcm n或cos| |m narcm n（m，n为平面，的法向量） .

48、 132. 三余弦定理设 AC是内的任一条直线，且BC AC，垂足为 C，又设 AO与 AB 所成的角为1，AB 与 AC所成的角为2，AO与 AC所成的角为则12coscoscos. 133. 三射线定理若夹在平面 角为的 二面 角间 的线段与 二 面角的 两个半平 面所成的 角是1,2,与二面 角的 棱所成 的角是 ，则有22221212si nsi nsi nsi n2 si nsi nco s ; 1212|180()( 当且仅当90时等号成立). 134. 空间两点间的距离公式若 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()

49、()xxyyzz. 135. 点Q到直线l距离221(|)()|haba ba( 点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量 b=PQ). 136.异面直线间的距离|CD ndn(12,l l是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离 ). 137.点B到平面的距离|AB ndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 138.异面直线上两点距离公式2222cosdhmnmn. 2222cos,dhmnmnEAAF. 2222cosdhmnmn（EAAF） . ( 两条异面直线a、b 所成的角为 ，其公垂线段AA的长度为h. 在直线

50、a、 b上分别取两点E、F，A Em,AFn,EFd). 139.三个向量和的平方公式2222()222abcabca bb cc a2222 | | cos,2| |cos,2 | |cos,abcaba bbcb ccac a140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、, 则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页