2022年高中数学学习方法技巧大全 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载第一部分高中数学活题巧解方法总论第一篇数学具体解题方法代入法直接法定义法参数法交轨法几何法弦中点轨迹求法比较法基本不等式法综合法分析法放缩法反证法换元法构造法数学归纳法配方法判别式法序轴标根法向量平行法向量垂直法同一法累加法累乘法倒序相加法分组法公式法错位相减法裂项法迭代法角的变换法公式的变形及逆用法降幂法升幂法 “1”的代换法引入辅助角法三角函数线法构造对偶式法构造三角形法估算法待定系数法特殊优先法先选后排法捆绑法插空法间接法筛选法（排除法）数形结合法特殊值法回代法 （验证法）特殊图形法分类法运算转换法结构转换法割补转换法导数法象限分析法补集法距离法变更主元法差异分析法反例法

2、阅读理解法信息迁移法类比联想法抽象概括法逻辑推理法等价转化法根的分布法分离参数法抽签法随机数表法第二篇数学思想方法函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想化归转化思想整体思想第三篇数学逻辑方法比较法综合法分析法反证法归纳法抽象与概括类比法第二部分部分难点巧学一、看清“身份”始作答分清集合的代表元素是解决集合问题的关键二、集合对实数说：你能运算，我也能！集合的运算（交、并、补、子等）三、巧用集合知识确定充分、必要条件四、活用德摩根定律，巧解集合问题五、 “补集”帮你突破巧用“补集思想”解题六、在等与不等中实现等价转化融函数、方程和不等式为一体七、逻辑趣题欣赏八、多角度、全方位理解概念谈对映射概念的

3、掌握九、函数问题的灵魂定义域十、函数表达式的“不求”艺术十一、奇、偶函数定义的变式应用十二、巧记图象、轻松解题十三、特殊化思想十四、逆推思想十五、构造思想十六、分类思想十七、转化与化归思想十八、向量不同于数量、向量的数量积是数量十九、定比分点公式中应注意的含义二十、平移公式中的新旧坐标要分清二十一、解斜三解形问题，须掌握三角关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页优秀教案欢迎下载二十二、活用倒数法则巧作不等变换不等式的性质和应用二十三、小小等号也有大作为绝对值不等式的应用二十四、“抓两头，看中间” ，巧解“双或不等

4、式”不等式的解法二十五、巧用均值不等式的变形式解证不等式二十六、不等式中解题方法的类比应用二十七、吃透重点概念，解几学习巧入门二十八、把握性质变化，解几特点早领悟二十九、重点知识外延，概念的应用拓展三十、把握基本特点，稳步提高解题能力三十一、巧记圆锥曲线的标准方程确定圆锥曲线方程的焦点位置三十二、巧用圆锥曲线的焦半径公式三十三、直线与圆锥曲线位置关系问题三十四、求轨迹的常用方法三十五、与圆锥曲线有关的最值问题、定值问题、参数范围问题三十六、空间问题向平面转化的基础平面的基本性质三十七、既不平行，也不相交的两条直线异面三十八、从“低（维） ”到“高（维） ” ，判定线面、面面的平行，应用性质则相

5、反三十九、相互转化研究空间线线、线面、面面垂直的“利器”四十、找（与所求角有关的线）、作（所缺线） 、证（为所求） 、算（其值）解空间角问题的步骤四十一、作（或找垂线段）、证（为所求） 、算（长度）解距离问题的基本原则四十二、直线平面性质集中展示的大舞台棱柱、棱锥四十三、突出球心、展示大圆、巧作截面解有关球问题的要点四十四、排列、组合问题的巧解策略四十五、二项式定理的要点透析四十六、正确理解频率与概率的联系与区别四十七、要正确理解事件、准确判定事件属性四十八、求随机事件的概率的方法步骤四十九、重要的概率模型五十、抓住关键巧判断试验、随机试验、随机变量的判断五十一、随机变量与函数的关系五十二、离

6、散型随机变量分布列的两条性质的巧用五十三、理解是学习数学的上方宝剑数学期望的巧妙理解五十四、x与 E的本质区别五十五、巧用公式快计算公式DE2（ E）2的理解与应用五十六、公式的比较与巧记五十七、化难为易、化繁为简巧归纳五十八、凑结论，一锤定音五十九、取特殊，直接代换六十、巧设问，判断函数的连续性六十一、注意理解曲线yf (x) 在一点 p ( x0, y0 )的切线概念六十二、加强理解函数yf (x) 在（ a ,b）上的导函数六十三、利用导数判断函数的单调性六十四、利用导数证明不等式六十五、函数yf (x) 在点 xx0处的极值理解六十六、求可导函数yf (x) 在区间（ a ,b）上的极

7、值方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页优秀教案欢迎下载六十七、分清实部与虚部，转化为方程或不等式是判定复数类型的基本方法六十八、利用复数相等条件转化为方程组，复数问题实数化是求复数的基本方法六十九、记住常用结论，简化复数运算七十、应用复数的几何意义，数形结合求与复数有关的问题第一部分高中 数学活题巧解方法 总论一、代入法若动点),(yxP依赖于另一动点),(00yxQ而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0 xfx，)(0 xgy，于是将这个Q点的坐标表达式代入已精选学习资料 - - -

8、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页优秀教案欢迎下载知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。【例 1】 （20XX 年高考广东卷）已知曲线C：2xy与直线l：02yx交于两点),(AAyxA和),(BByxB，且BAxx，记曲线C 在点 A 和点 B 之间那一段L 与线段 AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点),(tsP是 L 上的任一点，且点P 与点 A 和点 B 均不重合 .若点 Q 是线段 AB 的中点，试求线段PQ 的中点 M 的轨迹方程；【巧解 】联立2xy与2xy得2, 1

9、BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx，则225,221tysx，即252,212ytxs，又点P在曲线C上，2)212(252xy化简可得8112xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则22121x，即4541x，中点M的轨迹方程为8112xxy（4541x）. 【例 2】 （20XX 年，江西卷） 设),(00yxP在直线mx)10,(mmy上，过点P作双曲线122yx的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点 M)0 ,(1m。 过点 A 作直线0yx的垂线，垂足为N，试求AMN的重心 G 所在的曲线方程。【巧解 】设1122(,),(,)A

10、 xyB xy，由已知得到120y y，且22111xy，22221xy， （1）垂线AN的方程为：11yyxx，由110yyxxxy得垂足1111(,)22xyxyN，设重心( , )G x y所以11111111()321(0)32xyxxmxyyy解得1139341934xymxyxmy由22111xy可得11(33)(33)2xyxymm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页优秀教案欢迎下载即2212()39xym为重心G所在曲线方程巧练一：（ 20XX年，江西卷）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P 在

11、直线02:yxl上运动， 过 P 作抛物线C 的两条切线PA、 PB， 且与抛物线C 分别相切于A、B 两点 .，求 APB 的重心 G 的轨迹方程 . 巧练二： （20XX 年， 全国 I 卷） 在平面直角坐标系xOy中，有一个以)3,0(1F和)3,0(2F为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点 P 在 C 上， C 在点P 处的切线与x、y 轴的交点分别为A、B，且向量OBOAOM，求点 M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、 严谨的推理、 合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从

12、近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。【例 1】 （20XX 年高考全国II 卷）已知双曲线)0,0( 1:2222babyaxC的右焦点为F，过 F 且斜率为3的直线交C 于 A、 B 两点。若FBAF4，则 C 的离心率为（）（A）56（B）57（C）58（D）59【巧解 】 设),(11yxA，),(22yxB，)0,(cF， 由FBAF4， 得),(4),(2211ycxyxc214yy，设过F点斜率为3的直线方程为cyx3，精选

13、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页优秀教案欢迎下载由03222222bayaxbcyx消去x得：032)3(42222bycbyab，224212222133)3(36abbyyabcbyy， 将214yy代入得224222222334)3(363abbyabcby化简得)3(43)3(32224222222abbyabcby，)3(43)3(3422422224abbabcb，化简得：)3(9)3(916222222acabac，223625ac，25362e，即56e。故本题选（ A）【例 2】 （20XX年，四川

14、卷）设定义在R上的函数)(xf满足13)2()(xfxf，若2)1(f，则)99(f（）（A）13 （B）2 （C）213（D）132【巧解 】)(13)2(xfxf，)()(1313)2(13)4(xfxfxfxf函数)(xf为周期函数，且4T，213)1 (13)3()3244()99(ffff故选（ C）巧练一：（20XX 年，湖北卷）若),1()2ln(21)(2在xbxxf上是减函数，则b 的取值范围是（）A), 1B), 1(C 1,(D) 1,(巧练二：（20XX 年，湖南卷）长方体 ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点在同一个球面上，且AB= 2，AD=，3AA1=1，则顶点

15、A、B 间的球面距离是（）A22B2C22D42三、定义法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 41 页优秀教案欢迎下载所谓定义法， 就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。【例 1】 （20XX年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22ppxy的焦点 F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B 两点，线段AB 的长为 8，则p【巧解 】依题意直线AB的方程为2pxy，由pxypxy222

16、消去y得：04322ppxx，设),(11yxA，),(22yxB，pxx321，根据抛物线的定义。2|2pxBF，2|1pxAF，84|21ppxxAB，2p，故本题应填2。【例 2】 （20XX年，山东卷，理10）设椭圆 C1的离心率为135，焦点在 x 轴上且长轴长为26. 若曲线 C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， 则曲线 C2的标准方程为（）（A）1342222yx（B）15132222yx（C）1432222yx（D）112132222yx【 巧 解 】 由 题 意 椭 圆 的 半 焦 距 为5c， 双 曲 线2C上 的 点P满 足|,|8|2121FFPFP

17、F点P的轨迹是双曲线，其中5c，4a，3b，故双曲线方程为1342222yx，选（ A）巧练一：（20XX年，陕西卷）双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别是F1，F2，过 F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若 MF2垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（）A6B3C2D33巧练二： （20XX年，辽宁卷） 已知点 P 是抛物线xy22上的一个动点， 则点 P 到点（0，2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 41 页优秀教案欢迎下载的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）（A）217（B

18、）3 （C）5（D）29四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系， 使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、 巧用和活用， 则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。【例 1】 （20XX 年，广东卷）在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD的中点， AE 的延长线与CD 交于点 F. 若AC=a，BD=b，则AF=（）A41a +21bB32a +31bC21a +41bD31a +32b【巧解 】如图所示，选取边长为2 的正方形ABCD则)0 ,

19、2(B，)2,2(C，)2,0(D，)1 , 1 (O，)23,21(E，直线AE的方程为xy3，联立23yxy得)2 ,32(F)2,32(AF，设BDyACxAF，则)22,22()2 , 2()2,2(yxyxyxAF2223222yxyx解之得32x，31y，baBDACAF31323132，故本题选B 【例 2】 已知点O为ABC内一点，且OCOBOA320，则AOB、AOC、BOC的面积之比等于（）A9：4：1 B1： 4：9 C3：2： 1 D 1：2：3 【巧解 】不妨设ABC为等腰三角形，090B3BCAB，建立如图所示的直角坐标系，则点)0,0(B)3,0(A，)0, 3(

20、C，设),(yxO，OCOBOA320，即)0,0(),3(3),(2)3,(yxyxyx3696yx解之得23x，21y，即)21,23(O，又直线AC的方程为03yx，则点O到直线AC的距离2211|32123|22h，23| AC，因此A x y O B D C E A B C x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页优秀教案欢迎下载49|21xABSAOB，43|21yBCSBOC，23|21hACSAOC，故选 C巧练一：（20XX年，湖南卷）设D、 E、F 分别是 ABC 的三边BC、CA 、AB

21、 上的点，且,2,2EACEBDDCBCCFBEADFBAF与则,2（）A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直巧练二： 设O是ABC内部一点，且OBOCOA2，则AOB与AOC面积之比是. 五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似 “查字典” 的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题， 避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位） ，查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“”位中第“ 2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注

22、意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3 的倍数和5 的倍数的特征，0 的特性等等。以免考虑不全而出错。【例 1】 （20XX年，四川卷） 用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000大的五位偶数共有（）（A）288 个（B）240 个（C）144 个（D）126 个【巧解 】本题只需查首位，可分3 种情况，个位为 0，即0型，首位是2，3， 4，5 中的任一个，此时个数为3414AA；个位为2，即2， 此种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为3413AA；个位为4，4型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所

23、以个数为3413AA；故共有240234133414AAAA个。故选（ B）【例 2】 （20XX年全国 II卷）在由数字1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有（）A56 个B57 个C58 个D 60 个【巧解 】 （1）查首位 ：只考虑首位大于2 小于 4 的数，仅有1 种情况：即3型，此特点只需其它数进行全排列即可。有44A种，（2）查前位 ：只考虑前“”位中比既大又小的数，有4 种情况：24，25，41，42型，而每种情况均有33A种满足条件， 故共有334A种。（3）查前位 ：只考虑前“ 3”位中既比大又小于5 的数，有

24、4 种情况：234，235，431，432型，而每种情况均有22A种满足条件， 故共有224A种。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页优秀教案欢迎下载（3）查前 4 位：只考虑前“ 4”位中既比4 大又小于2 的数，此种情况只有 23154 和 43512 两种情况满足条件。故共有58244223344AAA个，故选C 巧练一： 用数字5,4, 3 ,2, 1 ,0可以组成没有重复数字，并且不大于4310 的四位偶数共有 （）A110 种B109 种C108 种D 107 种巧练二： （20XX年，四川卷） 用数字

25、1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有（）（A）48 个（B）36 个（C）24 个（D）18 个六、挡板模型法挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。【例 1】体育老师把9 个相同的足球放入编号为1，2，3 的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（）A8 种B10 种C12 种D 16 种【巧解 】先在 2 号盒子里放1 个小球，在3 号盒子里放2 个小球，余下的6 个小球排成一排为：OOO

26、OOO，只需在6 个小球的 5 个空位之间插入2 块挡板，如：OOOOOO|，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为1025C种. 故选 B 【例 2】两个实数集1250,Aa aa，1225,Bb bb，若从 A 到 B 的映射f使得 B中每个元素都有原象，且1250faf af a，则这样的映射共有（）个A2450AB2449CC2550CD2549A【巧解 】不妨设BA和两个集合中的数都是从小到大排列，将集合A的 50 个数视为50 个相同的小球排成一排为：OOOOOOOOO，然后在 50 个小球的49 个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件1250faf af a对

27、应方法，故共有不同映射共有2449C种 . 故选 B 巧练一： 两个实数集合A= a1, a2, a3, a15 与 B=b1, b2, b3, b10，若从 A 到 B 的是映射f使 B 中的每一个元素都有原象，且f(a1) f(a2) f(a10)f(a11)f(a15), 则这样的映射共有（）A510C个B49C个C1015个D1015105A巧练二： 10 个完全相同的小球放在标有1、2、3、4 号的四个不同盒子里，使每个盒子都不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页优秀教案欢迎下载空的放法有（）种A 24

28、B84 C120 D 96 七、等差中项法等差中项法是根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项， 从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。【例 1】 （20XX年，浙江卷）已知2,0,0baba且，则（）（A）21ab（B）21ab（C）222ba（D）322ba【巧解 】根据2ba特征，可得ba ,1 ,成等差数列，1为a与b的等差中项。可设xa1，xb1，其中11x；则21xab，22222xba，又102x，故10ab，4222ba，由选项知应选（C）【例 2】 （20XX年，重庆卷） 已知函数31xxy的最大值为M,最小值

29、为 m,则mM的值为（）（A）14（B）12（C）22（D）32【巧解 】由31xxy可得，2y为x1与3x的等差中项，令tyx21，tyx23，其中2|yt，则431)2()2(22xxtyty，即4222yt，又2|yt，则4022yt，故442022yy，解之得222y，即22M，2m22222Mm，故选（ C）巧练：（20XX 年，江苏卷）xzyzyxRzyx2,032*,的最小值. 八、逆向化法逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息。逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息，解题时，要“盯住选精选学习资料 - - - - - - -

30、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页优秀教案欢迎下载项” ，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。【例 1】 （20XX年，湖北卷）函数)4323ln(1)(22xxxxxxf的定义域为（）A),24,(B)1 , 0()0, 4(C 1 ,0()0,4D)1 ,0()0,4【巧解 】观察四个选项取端点值代入计算即可，取1x，出现函数的真数为0，不满足，排含有 1 的答案 C，取4x代入计算解析式有意义，排不含有4的答案 B，取2x出现二次根式被开方数为负，不满

31、足，排含有2 的答案 A，故选 D 评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。【例 2】 （20XX年，江西卷）已知函数mxxgxmmxxf)(, 1)4(22)(2，若对于任一实数)(,xfx与)(xg的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A （0，2）B （0，8）C （2，8）D （，0）【巧解 】观察四个选项中有三个答案不含2，那么就取2m代入验证是否符合题意即可，取2m，则有22)12(144)(xxxxf，这个二次函数的函数值0)(xf对Rx且21x恒成立，现只需考虑xxg2)(当21x时函数值是否为正数即可。

32、这显然为正数。故2m符合题意，排除不含2m的选项 A、C、D。所以选 B巧练一：（20XX年，湖北卷）函数1212xxy（x0）的反函数是（）A.11log2xxy（x1）C.11log2xxy（x1）巧练二：（20XX年，重庆卷）不等式221xx的解集是（）A( 1,0)(1,)B(, 1)(0,1) C( 1,0)(0,1)D(, 1)(1,)九、极限化法极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究 ,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算 ,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化 ,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法. 【例 1】 正

33、三棱锥BCDA中，E在棱AB上，F在棱CD上，使FDCFEBAE)0(，设为异面直线EF与AC所成的角，为异面直线EF与BD所成的角， 则的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页优秀教案欢迎下载值是（）A6B4C3D2【巧解 】当0时，AE，且CF，从而ACEF。因为BDAC，排除选择支CBA,故选 D（或时的情况，同样可排除CBA,） ，所以选D 【例 2】 若32232() ,log3xabxcx，当x1 时，, ,a b c 的大小关系是（）A abcB cabC cbaD acb【巧解 】当0 x时，32a，

34、1b，0c，故 cab，所以选B 巧练一： 若xxxsin32,20与则的大小关系（）Axxsin32Bxxsin32Cxxsin32D与 x 的取值有关巧练二：对于任意的锐角,，下列不等关系式中正确的是（）（A）sinsin)sin(（B）coscos)sin(（C）sinsin)cos(（D）coscos)cos(十、整体化法整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握 ,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如 ,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域 ,而不一定关心它的解析示式,对函数图象 ,有时可以从它的整体变化趋

35、势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对 4个选项进行比较以得出结论,或者从整体 ,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法. 【例 1】 已知是锐角，那么下列各值中，cossin可能取到的值是（）A43B34C35D21【巧解 】)4sin(2cossin，又是锐角，204344，1)4sin(22，即2)4sin(21，故选 B 【例 2】 (20XX 年 ,全国卷 )据 20XX 年 3 月 5 日九届人大五次会议 政府工作报告 指出 “20XX年国内生产总值达到95933 亿元 ,比上一年增长7.3%.” 如果 “ 十 五” 期间

36、(2001-20XX 年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么 ,到 “ 十 五” 末,我国国内生产总值约为（）（A） 115000亿元(B)120000 亿元(C) 127000 亿元(D)135000 亿元【巧解 】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 20XX 年国内生产总值达到95933亿元 ,精确到亿元 ,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元 ,即后三位都是0,因此 ,可以从整精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页优秀教案欢迎下载体上看问题 ,忽略一些局部的细节. 把95933亿元近似地视为9

37、6000亿元 ,又把20.073近似地视为0.005,这样一来 ,就有429593317.3%96000 14 0.0736 0.07396000(10.29260.005)126720127000.巧练一：如图所示为三角函数)sin(xAy，（)0,2|A的图象的一部分，则此函数的周期 T 可能是（）A4B2CD811巧练二：（全国卷）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EFAB，EF23，EF 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为（）（A）29（B）5 （C）6 （D）215十一、参数法在解题过程中， 适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些

38、量，使得原式中仅含有这些新变量， 以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法叫参数法。【例 1】 （20XX年，安徽卷）设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且左焦点为1(2,0)F（）求椭圆C的方程；（）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交于两不同点,A B时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上。【巧解 】(1)由题意：2222222211cabcab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy(2) 由APQBAQPB得：|QBAQPBAP设点Q、 A 、 B 的坐标分别为DEFCBAO x y 22

39、 43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页优秀教案欢迎下载1122( ,),(,),(,)x yxyxy。由题设知,APPBAQQB均不为零，记APAQPBQB,则0且1，又 A，P，B，Q 四点共线，从而,APPB AQQB，于是1241xx，1211yy，121xxx，121yyy从而22212241xxx，2221221yyy，又点 A、B 在椭圆 C 上，即221124,xy222224,xy2并结合，得424xy,即点( ,)Q x y总在定直线220 xy上。【例 2】 （20XX 年，辽宁卷）设椭圆方

40、程为1422yx，过点 M（0，1）的直线l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，点P 满足)(21OBOAOP，点 N 的坐标为)21,21(，当 l 绕点 M 旋转时，求动点P 的轨迹方程；【巧解 】直线 l 过点 M（0，1）设其斜率为k，则 l 的方程为.1kxy记),(11yxA、),(22yxB由题设可得点A、B 的坐标),(11yx、),(22yx是方程组14122yxkxy的解 . 将代入并化简得，032)4(22kxxk，所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP设点 P 的坐标为),(yx则精选学习资

41、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页优秀教案欢迎下载.44,422kykkx消去参数k 得0422yyx当 k 不存在时， A、B 中点为坐标原点（0，0） ，也满足方程，所以点P 的轨迹方程为.0422yyx巧练一：（20XX 年，全国 I 卷）直线1byax通过点)sin,(cosM，则有（）A122baB122baC11122baD11122ba巧练二：如图，已知直线l 与抛物线yx42相切于点 P(2，1)，且与 x 轴交于点 A，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（ 2，0）. （I）若动点 M 满足0|2AMBMA

42、B，求点 M 的轨迹 C；（II）若过点 B 的直线 l（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C 交于不同的两点E、F（E在 B、F 之间），试求 OBE 与 OBF 面积之比的取值范围. 十二、交轨法如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。【例 1】已知椭圆C：12222byax36)0(的离心率为ba,短轴一个端点到右焦点F的距离为3. （）求椭圆C 的方程；（）设直线l经过椭圆的焦点F 交椭圆 C 交于 A、B 两点 ,分别过 A、B 作椭圆的两条切线， A、B 为切点

43、，求两条切线的交点P的轨迹方程。【巧解 】 （）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，解之得2c1b，所求椭圆方程为2213xy（）由（ I）知)0,2(F，设),(11yxA，),(22yxB，),(00yxP，对椭圆2213xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 41 页优秀教案欢迎下载求 导 ：0232yyx， 即yxy3， 则 过A点 的 切 线 方 程PA为)(31111xxyxyy整理得3311yyxx同理过B 点的切线方程PB为3322yyxx，又),(00yxP在两切线PA、PB上，330101yyxx3

44、30202yyxx，因此，),(11yxA，),(22yxB两点在均在直线3300yyxx上，又)0,2(F在直线3300yyxx上， 303200yx， 即2230 x为交点P的轨迹方程【例 2】过抛物线C：2xy上两点 M，N 的直线l交 y 轴于点 P（0， b）. （）若 MON 是钝角（ O 为坐标原点） ，求实数b 的取值范围；（）若 b=2，曲线 C 在点 M，N 处的切线的交点为Q.证明：点Q 必在一条定直线上运动 . 【巧解 】 （）设点 M，N 坐标分别为).,(),(),)(,(),(22221121222211xxONxxOMxxxxxx则由题意可设直线l方程为 y=k

45、x+b,bxxkxxbkbkxxybkxyxy212122204,0得消去由分的取值范围是不成立三点不共势此时得由且是钝角6).1 ,0(.1cos,.10,0.1cos, 0|cos,2222121bMONNMObbbxxxxONOMMONONOMONOMMONMON（）当b=2 时，由（）知,2,2121bxxkxx函数 y=x2的导数 y=2x，抛物线在),(),(222211xxNxxM两点处切线的斜率分别为,2,221xkxkNM在点 M， N处的切线方程分别为.2,2,2,2),(),()(2),(2).(2:),(2:2121212222112122221121上运动点在定直线即

46、满足的坐标解得交点由yQykxxxyxxxyxQxxxxxxyxxxxyxxxxylxxxxylNM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 41 页优秀教案欢迎下载巧练一： 已知定点A（1，0）和定直线1x上的两个动点E、 F，满足AFAE，动点P满足OPFOOAEP/,/（其中 O 为坐标原点） . （）求动点P的轨迹 C 的方程；（） 设直线l经过点)0, 1(M与轨迹 C 交于 A、B 两点 ,分别过 A、B 作轨迹 C 的两条切线， A、B 为切点，求两条切线的交点P的轨迹方程。巧练二： 如图，在以点O 为圆心， |A

47、B|=4 为直径的半圆ADB 中， ODAB，P 是半圆弧上一点， POB=30. 曲线 C 是满足 |MA| |MB|为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点 P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（）设过点D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点E、F. 分别过 E、F.作轨迹 C 的两条切线，E、F.为切点，求两条切线的交点Q的轨迹方程。十三、几何法利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。【例 1】(20XX 年，浙江卷 ) 已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足|, 0)()(ccbca则的最大值是

48、（）（A）1 （B）2 （C）2（D）22【巧解 】不妨设以a、b所在直线为x轴，y轴，且)0, 1(a，) 1 , 0(b，),(yxc由已知0)()(cbca得0|)(2ccbaba，整理得022yxyx即21)21()21(22yx，所以向量c的坐标是以)21,21(为圆心，22为半径的一个圆且过原点，故|c的最大值即为圆的直径为2，故本题选（C）【例 2】 （20XX 年，江苏卷）若AB= 2，AC=ABCSBC 则,2的最大值. O x y C |c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页优秀教案欢迎下载【巧

49、解 】建立如图平面直角坐标系，设),(yxC，)0, 0(A，)0,2(B，由BCAC2即|2|BCAC，2222)2(2yxyx，化简得08822yxx配方得8)4(22yx，所以C点轨迹是以)0 ,4(D为圆心，22为半径的一个圆（除去与x轴的两个交点） ，所以当C点纵坐标绝对值为22，即22| y时，ABCS有最大值为222222，所以答案为22巧练一： 已知)1,1(mmmmA，)0 , 1(B，其中0m，则| AB的最小值为. 巧练二： 已知实数x、y满足6)2()2(2222yxyx，则yx2的最大值等于.十四、弦中点轨迹法有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；

50、平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。 “点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。【例 1】 （20XX 年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为)0 ,1 (F，直线l与抛物线C 相交于A，B 两点，若AB 的中点为（ 2，2） ，则直线l的方程为. 【 巧解 】由)0, 1(F知抛物线C 的方程为xy42，设),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程则有：1214xy，2224xy，两式相减有)(4212221xxyy，即4)(4)(21212121yykyyxxyy，又421yy，44k，即1k。故ABl：22xy，即xy，本题应填xy【 例 2】椭圆