2022年数学思维训练教材六年级上册2 .pdf

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1、第 1 讲比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：（1）比较这几个分数的大小：52、73、2310、2912、3715（2）试比较77755和7777555，那个分数大？如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例 1：已知 A321=B43= C109= D54=E511(ABCDE 都不等于 0)，将 A、 、B、C、D、E 按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成 A321=B311=C109=D54=E65。下面我们可以运用倒

2、数的知识来解决这一问题。首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。那么， A 就是321的倒数，即53；同理，B 应是43，C 是911，D 是411，E 是511。这样，我们很容易就能比较出这五个数的大小。因为4115119114353, 所以 DECBA. 随堂练习一：如果 a=b521=65c=d54(a、b、c、d 均不等于 0)，a、b、c、d 四个数中，谁最大 ?谁最小？例 2：将下列分数从小到大排列起来：52、73、2310、2912、3715。分析与解比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，

3、分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为 2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为：15060、14060、13860、14560、14860。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页1 由 150148 145 140 138，可以得到：1506014860145601406013860，即5237152912732310。方法点评如果几个分数的公分母比较大时， 采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同

4、分子的分数，再比较大小。随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。175、196、4615、3310、3730例 3：已知 A=55555555555553，B=666663666661。试比较 A 与 B 的大小。分析与解这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点， 先比较这两个分数与1 的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。因为比 A 比 1 少55555552，B 比 1 少6666632，而5555555

5、26666632，所以 AB。方法点评如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法， 即先比较这两个分数与 1 的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三：试比较下列两个分数的大小。445443和559557例 4：比较77755和7777555，那个分数大？分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14 倍多 7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？77755的倒数是55714，7777555的倒数是555714

6、， 因为55714555714， 所以777557777555。方法点评从本题可以看出， 如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四：试比较19219和17217的大小。例 5：试比较下面两个分数的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页2 10061207和20062207分析与解观察这两个分数， 你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母 2006=1006+1000 ，即第一个分数100

7、61207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数20062207。方法点评当 ab 时，bakbka,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以1006120720062207。同理，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五：比较2329与123129的大小拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。1918、3736、3231、4847、16152、比较下面两个分数的大小。999499和10015013、比较332221和665443的大小。4、比较123456789987654321与2009123456789

8、2009654321987的大小。5、比较83837171与838383717171的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页3 第 2 讲速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例 1：计算下面各题。（1）171649 （2）2003200420032003分析与解同学们都会计算带分数除法， 但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会

9、发现：可以把（1）17164分成一个9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003 后，计算就很简便了。（1）171649 （2）2003200420032003= （63+1711） 9 = （20032003） （2004200320032003）=63 9 + 17119 =1（2003 2003+200420032003）=7+911718=1200411=1727=20052004方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往

10、往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算： （1）555655（2）167168167167例 2：计算： （1+61514131）（1+5141）（ 1+5141）（61514131）分析与解这道题虽然算式很长， 但仔细分析其中的数据， 可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。设61514131=A 1+5141=B，原来的算式可以转化成：（1+A）B-BA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页4 =B+AB-AB =B 所以本题的结果为： 1+5141=20

11、91方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。随堂练习二：计算： （1+978573）（52+978573）-（1+52+978573）（978573）例 3：计算.313233323121222111501502.50485049505050495048.503502501分析与解这组分数的特点是：分母为1 的分数有 1 个，分母为 2 的分数有 3 个，分母为 3 的分数有 5 个且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）项数 2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50 =（1+50）502 =

12、1275 方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：.313233323121222111+201.202.201920202019.203202201例 4：计算： （1） （1321111213）（135115）（2）032003200320200320032003022002200220200220022002分析与解（1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：1321111213=1314511145=145(131111),135115=5(131111). 所以，原式=（1

13、314511145）（135115）=145(131111)5(131111)=1455=29 （2）我们注意到， 这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和 2003 组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为 2002=20021 20022002=2002 10001 200220022002=2002 1000110001 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页5 所以 2002+20022002+200220022002=2002 （1+10001+10001

14、0001 ）同理 2003+20032003+200320032003=2003 （1+10001+100010001 ）原式=)100010001100011 (2003)100010001100011(2002=20032002随堂练习四：计算： （1） （91111119）（94114）（2）2323232323232323232317171717171717171717例 5：计算20191.431321211分析与解这道题的加数很多， 如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：211=1-21，321=3121，.20191=20119120191.43

15、1321211=1-21+3121+201191=1-201=2019方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。当 ab 时,ba1= (ba11) ab1随堂练习五：计算100991.321211拓展训练1.、计算（ 1+5141）（5141+61）- （1+5141+61）（5141）2、计算（34398.343634343432） -（68699.68656863）3、计算23232323232323232323232323232319191

16、91919191919191919191919194、计算16131131011071741411精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 41 页6 5、计算（ 1+21） （1-21）（ 1+31）（ 1-31）（ 1+501）（ 1501-）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 41 页7 第 3 讲比的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍” 。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例 1：两

17、只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是12, 另一只杯子中盐与比是 15 。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了， 因为两只杯子相同， 所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占211，水占212；第二只杯子中的盐占511，水占515。两只杯子中的盐水混合后，盐为211+511=21，水为212+515=23。所以，混合液中的盐与水的比为：（211+511）（212+515）=2123=13。答：混合后，盐与水的比为 13。方法点评：求两个量的比时， 首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分

18、率，然后再进行解答。随堂练习一：六年（1）班男、女人数的比是54，六年（ 2）班男、女人数的比是21，两班人数相等。求六年（ 1）班男男生与六年（ 2）班男生的人数比。例 2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的41，占正方形面积的31，三角形中阴影部分的面积占三角形面积的51，占正方形面积的41。圆，正方形、三角形面积的最简整数比是多少 ? 分析与解要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是 :12 3141=16；三角形的面积为： 12 4151=15。所以这三个图

19、形的面积比就是： （123141）12（124151）=161215 方法点评在求几个量的比时， 我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页8 计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。随堂练习二：如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的71，相当于小长方形面积的41。这两个长方形的面积比是多少？例 3：有大小两个长方形，大长方形的长比小长方形的长多41，而小长方形的宽比大长方形的宽多.101。求这两个长方形的面积比。分析与解大长方形的长比小长方形的长多41，可以把小

20、长方形的长看做4 份，大长方形的长就是1+4=5 份；小长方形的宽比大长方形的宽多.101。可以理解成八大长方形的宽看做 10 份，小长方形的宽是1+10=11 份。所以，这两个长方形的面积比为：(510) (411) =5544= 2522 答：大小两个长方形的面积比为 25 22 。随堂练习三：有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多41。求两个正方形的周长比。例 4：六年（ 1）班男人数的32与女生人数的54相等，已知男生比女生多5 人，这个班男、女生各有多少人？分析与解根据男人数的32与女生人数的54相等，可以列出数量关系： 男生人数32=女生人数54。假设男人数的32与女生

21、人数的54都是1，则男生人数为132=23；女生人数为154=45。所以，男、女生人数的比为：（132）（ 154）=2345=65 每一份的人数就是： 5（6-5）=5（人）男生人数就是： 56=30（人）女生人数就是： 55=25（人）答：男生有 30 人，女生有 25 人。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页9 随堂练习四：拔一根绳子按 53 截成甲、乙两段，已知乙比甲短1.2 米。这根绳子原来全长多少米？例 5：小丽读一本书，已读的页数和未读的页数的比是 1 5 ，若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是

22、3 5 。这本书共有多少页？分析与解根据“已读的页数和未读的页数的比15”可知，把未读的页数看做1 份，未读的页数看5 份，总页数就是1+5=6 份，已读的页数占总页数的511。若再读45 页，则已读的页数和未读的页数的比是3 5. 即把这时已读的页数看做3 份，未读的页数看做 5 份，总页数就是 3+5=8份，这时已读的页数占总数的533。45 页占总页数的533-511=245，这本书共有的页数是：45（533-511）=45245=216（页）答 ：这本书共有 216 页。随堂练习五：一条路，已修的米数和未修的米数比为23，后来又修了 2000 米，这时已修的米数与未修的米数比为32。这

23、条路全长多少米？拓展训练1、两个西服厂，一个月内生产的西服数量比是65，两个厂西服价格比是1110.求两个厂这个月生产西服总产值的比。2、如图，求图中阴影部分与圆环的面积比。3、把 100 克纯酒精装在一个玻璃瓶里，正好装满。用去20 克后，加满蒸流水；又用去 20 克后，再加满蒸馏水。求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。4、一个长方形长与宽的为73，如果把长减少 12 厘米，宽增加 16 厘米，正好变成一个正方形。这个长方形的面积是多少平方厘米？5、 水池里直立着两根木桩， 露出水面部分的长度比为101， 当水面下降 20 厘米后，露出水面那部分的长度之比为52。求木桩原来露出的部分是多少厘米？精

24、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页10 第 4 讲按比例分配例 1：有一块长方形的土地，测得周长为60 米，. 长与宽的比是 32.求这块地的面积。分析与解求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长为60 米，那么，长与宽的和就是： 602=30(m)；它的长就是： 30323=18（米） ；它的宽就是： 30322=12（米。 ）至此，长方形的面积很容易求出。602=30(m) 30323=18（米）30323=18（米）1812=216（平方米）答：这块长方形土地的面积是216 平方米。方法点评：此题的解题

25、关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，进而求出它的面积。随堂练习一：长方体的棱长总和为220厘米，已知长、宽、高的比为542. 这个长方体的体积是多少立方厘米？例 2：西园村挖一条水渠，全长420 米，第一、二两队所挖米数比是34，第二、三两队所挖米数比是67。三个队各挖了多少米？分析与解我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。第一队第二队第三队34=（33）（ 43）=912 67=（62）（ 72）=1214

26、这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为91214，下面只需将420米按比例分配就行了。9+12+14=35 420359=108（米）4203512=144（米 ）4203514=168（米 ）答：第一队挖了 108 米，第二队挖了 144 米 ，第三队挖了 168米 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页11 方法点评：这道题的解题关键是：应用比的基本性质，把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。随堂练习二：人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为 54，第

27、二批与第三批的人数比为32. 已知六年级共有学生210 人，第二批有多少人？例 3：工厂把 10000 元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是32，第三车间比第二车间多200 元。三个车间各得多少元？分析与解根据题意，把第一车间所得奖金看做3 份，第二车间所得奖金数是2份，第三车间所得将金属应为2 份多 200 元。从 10000 元奖金中先拿出200 元给第三车间，那么剩下的9800元中，三个车间应得奖金的比是322，再按比例进行分配。最后第三车间的奖金加上先分得的200 元就行了。3+2+2=7 10000-200=9800（元）980073=4200（元）980072=28

28、00（元）2800+200=3000 （元）答：第一车间分得 4200元，第二车间分得 2800元，第三车间分得 3000 元。随堂练习三：甲、乙、丙三堆煤共450吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为54，丙堆煤的重量是乙堆煤的 1.5 倍。三堆煤各重多少吨 ? 例 4：A、B 两桶油共重 90 千克，若把 A 桶中油的41倒入 B 桶，则两桶油的重量比是 12. A 、B 两桶油原来各多少千克？分析与解把 A 桶油的41倒入 B 桶，两桶油的总重量没有变，还是90 千克。因此可以按比例分配求出现在A 桶油的重量： 90211=30（千克） 。A 桶倒出41后是 30千克，即 30千克占 A 桶油原有

29、油的43，这样可以倒推 A 桶原有油的重量。 则就可求出 B桶油的重量。90211=30（千克）3043=40（千克）9040=50（千克）答 ：A 桶原有油 40 千克，B 桶原有油 50 千克。方法点评解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出 A 桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。随堂练习四：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页12 两个书架一共放书360 本，如果从第一个书架取出41放入第二个书架，则第一个书架上的书与第二个书架上的书的本数比是911.两个书架上原来各有多少本书？例 5：水果批发部

30、运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。出售时，苹果、橘子、和香蕉每千克的价格比为456.已知上周这三种水果售出数量比是324， 又知苹果共卖得 2160 元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？分析与解根据这三种水果的单价比为456.，以及数量比为324，可以先计算出这三种水果的总价比（43）（52）（64）=121024=6512 由此可知，苹果的总价占售出水果总价的23612566。因此售出水果的总价很容易求出。（43）（ 52）（ 64）=6512 2160236=8280（元）答：这个批发部上周售出水果的总价为8280 元。方法点评解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价

31、比，进而求出总价。随堂练习五：甲乙两个三角形，他们的底边之比为23，高之比为35. 已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小30 平方厘米，求这两个三角形的面积。拓展训练1、一个长方体，长、 宽、高的比是 437. 已知这个长方体的底面周长为56 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2、甲数和乙数的比是23，乙数和丙数的比是45，甲数和丙数的比是多少？3、大、小两筐苹果共60 千克，把大筐苹果重量的73放入小筐后，大、小两筐苹果的重量比为 23。大、小两筐原来各装多少千克苹果？4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克，重量比为495. 两天后，三种水果工卖出780千克，这时苹果还余50 千克，梨还余

32、20 千克，橘子余下的是卖出的41。原来三种水果各有多少千克？5、学校田径队和游泳队共有32个男生、 18 个女生。已知田径队中男生人数与女生人数的比为 53，游泳队中男生人数与女生人数的比是21，那么，田径队中女生有多少人？6、商店购进奶糖和酥糖这两种糖果所用钱数之比是21，已知奶糖每千克 6 元，酥糖每千克 2 元。如果把这两中堂混在一起成为什锦糖，那么，什锦糖的成本为每千克多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页13 第五讲分数第应用题（一）例 1：一池水，第一天放出60 吨，第二天放出 65 吨，剩下的

33、水比原来这池水的41少 5 吨。原来水池有多少吨？分析与解这道题把原来这池水的吨数看作单位“1” ，但具体数量与分率之间的关系却不容易看出，关键是剩下的水不是正好占单位“1” 的41。我们可以假设第二天少放出 5 吨水，那么剩下的水就正好占单位“ 1” 的41，两天共用去（ 60+65-5）吨的水，的对应分率就是（ 141） 。（60+65-5）（ 141）=12043=160（吨）答：原来水池有水160 吨。随堂练习一：一批稻谷放在两个粮库中， 甲库所存稻谷的数量是乙库的83， 后来向甲库运进45吨，向乙库运进 36 吨，这时两库稻谷重量相等。甲库原有稻谷多少吨？例 2：五年级的图书窗内有文

34、艺书、科技书、故事书共96 本。已知科技书是故事书的31，是文艺术的41，三种图书各有多少本？分析与解这道题出现了两个不同的单位“1” ，因而 ，我们需要将他转化成同一个单位“1” 。把故事书看作单位“ 1” ，科技书的对应分率就是31，文艺书的对应分率是3141=34故事书的本数： 96（1+31+3141）=96322=36（本）科技书的本数： 3631=12（本）文艺书的本数： 1241=48（本）答：故事书有 36 本，科技书有 12 本，文艺书有 48 本方法二：这道题也可以把科技书的本数看作单位“1” ，故事书的对应分率就是1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

35、纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页14 31=3 文艺书的对应分率就是141=4 96（1+131+141）=968 =12（本）科技书的本数1231=36（本）故事书的本数1241=48（本）文艺书的本数答：(略) 方法点评： 在分数应用题中，如果遇到单位“1”不同时，就要注意将各分率进行转化，将这些分率转化成同一个单位“1”的几分之几或几倍，然后再去寻找分率与具体数量之间的对应关系。随堂练习二：某校四、五、六年级共有学生580 人，四年级的学生人数是五年级的98，五年级的人数是六年级的43。三个年级各有多少人？拓展训练1、小明和小虎都是小集邮迷，他们两人共有邮票2

36、85张，现在小明拿出自已邮票的51，现在小虎拿出 15 张，送到少年宫参加邮票展，两人剩下的邮票张数正好相等。两人原来有多少张邮票？2、某厂男职工比全厂职工总数的53还多 60 人，女职工的人数是男职工的31。这个厂公有制共多少人？3、东方小学六年级有23 人、五年级有 18 人参加数学竞赛，结果五、六年级的获奖人数相等，五年级未获奖人数比六年级少31。两个年级共有多少人获奖？4、甲乙丙三人合作一批机器零件，甲做零件的歌数是乙丙的21，乙做零件的个数是甲丙的31，丙做了 450 个，这批零件有多少个？5、国庆节前，两位工人给某个城市装彩灯，他们工作了5 天后，还剩下需装彩灯数量的91，这时若再

37、增加200 只彩灯的装饰任务，才正好够两人一天的工作量。原来准备装彩灯多少只 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页15 第 6 讲分数应用题（二）例一：人民商场运来空调和冰箱共240台，其中空调占52。后来有几台空调因质量问题要退回厂家，这时空调台数占总数的135。退回空调多少台？分析与解根据题意题目中空调的数量在变化，而并向的数量是不变量。 我们可以先求出冰箱的台数 ; 240(1-52) =24053=144(台) 根据“这时空调台数占总数的135” ，我们把现在空调与冰箱的总数看作单位“1” ，冰箱占总数

38、的（ 1-135） ，这样我们可以求出现在空调与冰箱的总数：144（1-135）=234（台）最后用原来空调与冰箱的总数减去现在空调与冰箱的总数，就是退回的空调台数；240-234=6（台）答：退回空调 6 台。随堂练习一：幼儿班图书角共有连环画与漫画书216 本，其中连环画占31。后来又卖来一些连环画，这时连环画占图书总数的5923。后来又买来多少本连环画？例 2：由甲乙两个车间，驾车简单公认的人数是乙车间的75。如果从乙车间调12人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的54。原来甲乙两个车间各有人多少人？分析与解根据题意，原来甲车间公认的人数是乙车间的75，从乙车间调 12 人到甲车间，甲车间的

39、人数是乙车间的54，说明甲乙两个车间的人数都发生了变化，甲乙两个车间的总人数是不变的。因此可以把甲乙两个车间的总人数看作单位“1” ，则原来甲车间人数占两个车间总数的755，同时把甲车间的人数是乙车间的54转化成现在甲车间的人数占两个车间总数的544。根据题目中所说“从乙车间调12 人到甲车间”，可知甲车间现在的人数比原来的人数多12 人，它的对应分率应是 （544-755）就可以求出辆车间的总人数，再求两车间的人数就简单了。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 41 页16 12（544-755）=12361=432（人）

40、两车间人数432755=180（人）甲车间人数432-180=252（人）乙车间人数答：原来甲车间人数有180 人，乙车间的人数有252 人。方法点评 ;在一些分数应用题中，题目中会出现一些变化量，造成单位“1”的量无法确定，未结题增加了难度， 这种情况下， 我们要善于抓住其中的 “不变量”，抓住“不变量”进行分析。通常分两种情况： （1）先求出不变量，然后利用这个不变量作为“桥梁”进行解答； （2） 、 一步变量作为单位 “1” ， 把题目得分率全部转化成以不变量作单位 1”然后在寻找对应关系进行解答。随堂练习二：修一条水渠，已修的米数是剩下的21，如果再修 50米，那么已修的米数就是剩下的

41、43。这条渠去长多少米？拓展训练1、水果店运来苹果和梨共360 箱，其中苹果占127。后来由有运来几箱苹果，这时苹果占两种水果总箱数的53。又运来苹果有多少箱？2、师徒两人合作 280 个零件，徒弟做了自己人物的43，师傅做了自己任务的54，这时还剩下 64 个零件没有做。师徒两人原来各需做多少个零件？3、甲、乙两校共有60 人参加小学生数学竞赛，甲校参加人数的31比乙校参加人数的41多 6 人，甲、乙两校各有多少人参加竞赛? 4、某次会议，昨天参加会议的代表共2100人，今天男代表减少101，女代表增加了201。今天共 2016 人出席会议，那么昨天参加会议的男代表共有多少人？5、兄弟两人各

42、有邮票若干张，现在爸爸又买回18 张邮票。如果全部给哥哥，那么哥哥的邮票张数是弟弟的2 倍；如果全部给弟弟，则弟弟的邮票张数是哥哥的87。两人原来各有多少张邮票？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 41 页17 第 7 讲列方程解分数应用题专题简析：用算术方法解应用题， 虽然有利于提高思维的灵活性，但使用算术方法解应用题时，总是把未知数置于特殊的位置，使解题思路和方法受到很大限制，有时解题很困难。这时，我们可以选择用方程解答应用题，用字母表示未知数，未知数直接参加列式和运算，思维直接，解法灵活。用列方程的解题方法，往往能获

43、得事半功倍的效果，这样取得成功的机会会更多一些。例 1：某工厂有职工 980 人，其中女职工的人数比男职工的52多 28 人。这个工厂的男、女职工各多少人？分析与解这题中有两个等量关系，男职工人数+女职工人数 =980 人，女职工人数=男职工人数52+28 人。在解答分数应用题时 ,通常设单位“ 1”的量为 x，这里可以设男职工人数为x，那么女职工人数就可以根据第二个数量关系表示为（52x+28）,再分别把男职工人数和女职工人数带入第一个等量关系，列出方程，求出结果。解：设这个工厂有男职工x 人，则女职工有（52x+28）人。X+52x+28=980 152X+28=980 X=680 980

44、680=300（人）答：这个工厂有男职工680 人，女职工 300 人。方法点评：在用方程解答应用题时，我们应注意以下几点：（1）一般设单位“ 1”的量为 X； （2）找准等量关系列方程。随堂练习一：师徒两人合作一批零件，完工时，徒弟做的零件个数比师父的43少 10 个。已知师傅比徒弟多做了 50 个零件，师徒两人个做了多少个零件?例 2：商场运来空调与彩电共152 台，卖出彩电的111和 5 台空调空调后，剩下的空调与彩电台数正好相等。商场运来空调与彩电各多少台？分析与解由于题目中彩电台数是单位“1”那么可以设彩电台数为x，则空调台数为（ 152x）台。根据“剩下的空调与彩电台数正好相等”，

45、我们可以列方程来解答解：设商场运来彩电x 台，则空调台数为（ 152x）台。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页18 X111x=152x5 1110=147x x1121=147 X=77 15277=55(台) 答：商场运来彩电77 台，空调 75 台。随堂练习二：甲乙两桶油共重44 千克，甲桶用去它的51，乙桶又倒入10 千克后，先在两桶油的重量相等，甲桶原有油多少千克？拓展训练1、两筐橘子，甲筐比乙筐多21 千克，若从甲筐取出18 千克橘子给乙筐，则甲筐重量是乙筐的74。乙筐原有橘子多少筐？2、甲乙两人共储

46、蓄 1000 元，甲取出 240元乙又存入 80 元，这时乙储蓄的钱数正好是甲的31。原来乙储蓄了多少元钱？3、学校田径队中，女队员人数的31等于男队员人数的51。已知男队员比女队员多6人，田径队中男、女队员各有多少人？4、六（1）班有学生 50 人，当男生的31和 5 个女生离开后，剩下的男、女生人数相等，那么这个班原有多少个男生？5、某校上学期男、女生共有500 人，本学期有81的男生转学，而女生又增加了61。这学期共有学生 490 人。求这学期男、女生的人数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 41 页19 第 8

47、讲百分数应用题百分数应用题与分数应用题一样，其中的百分数表示的是两个量之间的倍数关系，它的具体大小也取决于单位“1”的大小。因此，解答白分数应用题也需要首先弄清谁是单位“ 1” ，这同样是解决百分数应用题的关键。例 1：六（ 1）班男生人数比女生人数多25，女生数比男生人数少百分之几？分析与解男生比女生多 25% ， 就是男生比女生多女生的25% 。 把女生看做单位 “1”男生就是女生的1+25%=125%。求女生人数比男生少百分之几，就是求女生比男生少的人数占男生恩数的百分之几，应该用女生比男生少的人数除以男生人数。25% （1+25% ）=20% 方法点评：解决求一个数是另一个数百分之几的

48、应用题时，关键是要区分清谁是谁的百分之几。随堂练习一：果园里的苹果树的棵树比桃树多32，桃树比苹果树的棵数少百分之几？例 2： 某商店同时卖出两件商品，售价都是60 元，但其中一件赚 20%，另一件亏本 20%。这个商店卖出这两件商品是赚钱，还是亏本？分析与解要知道商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本，必须要求这两件商品的成本是多少钱。一件商品赚了20%，是 60 元，是把这件商品的原价看作单位“1” ，60元的对应分率是（ 1+20%）可以求出原价。另一件商品亏本20%以后，是 60 元，是把这件商品的原价看作单位“1” ，60 元的对应分率是（ 120%）可以求出原价。所以：60（1+20%）

49、=50（元）60（120%）=75（元）75+5060+60 答：这个商店卖出这两件商品是亏本了。随堂练习二：某商店同时卖出两件商品， 售价都是 100 元， 但其中一件赚 25% ， 另一件亏本 25%。这个商店卖出这两件商品是亏本了，还是赚钱了？拓展训练1、商店卖出甲乙两种电脑的价格不同，如果甲种电脑的价格提高20%，乙种电脑的价格降低10%，那么两种电脑的价格相同。原来甲种电脑的价格是乙种电脑的百分之几？2、国家规定，个人存款应缴20%的利息税。张叔叔今天从银行取出一年前的存款，缴纳了 18 元的利息税，已知银行一年定期存储的年历率为2.25%。那么，张叔叔一年前存入银行多少钱 ? 3、

50、商场购进一件商品，加上15%的利润作为定价。可是一直无人购买，只好降低定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 41 页20 价的 20%出售。结果亏了 200元，商场购进这件件商品花了多少钱？4、某商店进了一批茶叶，分一级品和二级品，二级品的进价比一极品便宜20%。按优质优价的原则，一级品按20%的利润定价，二级品按15%的利润定价，一级品茶叶比二极品茶叶每 500 克贵 70 元。一级品茶叶的进价是每500 克多少元？5、甲公司有 600 人，其中技术人员占5%；乙公司有 400 人，技术人员占 20%。为了支援甲公司进行