2022年高中数学必修五考点及典型例题 .pdf

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1、必修五第一章 解三角形一、考点列举1、正弦定理的理解与应用2、余弦定理的理解与应用二、常考题型1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单三角形例 1、 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （2）已知 B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么， 尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形

2、的面积。解： （1）应用 S=21acsinB ，得S=2114.823.5sin148.5 90.9(cm2)(2)根据正弦定理，Bbsin = Ccsin c = BCbsinsinS = 21bcsinA = 21b2BACsinsinsinA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5S = 213.1627 .62sin5.51sin8.65sin4.0(cm2)(3)根据余弦定理的推论，得cosB =cabac2222=4.417.3823.274.417.382220.7697 sinB = B2cos127697.010.6384 精选学习资料 -

3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页应用 S=21acsinB ，得S 2141.438.70.6384 511.4(cm2) 例 2、在ABC中，求证：（1）;sinsinsin222222CBAcba（2）2a+2b+2c=2（bccosA+cacosB+abcosC ）分析： 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明： （1）根据正弦定理，可设Aasin = Bbsin = Ccsin = k 显然 k0，所以左边 =CkBkAkcba222222222sinsinsin

4、=CBA222sinsinsin=右边（2）根据余弦定理的推论，右边 =2(bcbcacb2222+cacabac2222+ababcba2222) =(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边2、利用正余弦定理测量和几何计算有关的实际问题.例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从 B出发 , 沿北偏东32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?( 角度精确到0.1, 距离精确到 0.01n mile) 精

5、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页解：在ABC中，ABC=180 - 75+ 32=137，根据余弦定理，AC=ABCBCABBCABcos222 =137cos0.545.6720.545.6722113.15 根据正弦定理, CABBCsin = ABCACsin sinCAB = ACABCBCsin = 15.113137sin0.540.3255, 所以CAB =19.0, 75- CAB =56.0答: 此船应该沿北偏东56.1的方向航行 , 需要航行113.15n mile 例 2、在某点 B处测得建筑

6、物AE的顶端 A的仰角为，沿 BE方向前进30m ，至点 C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至 D点，测得顶端 A的仰角为 4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=103，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页ADC =180 -4，2sin310=)4180sin(30。因为 sin4=2sin2cos2cos2=23, 得 2=30=15，在 RtADE中， AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为15m 解法二：

7、（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(103+ x)2 + h2=302在 RtADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得x=53,h=15 在 RtACE中,tan2=xh310=332=30,=15答：所求角为 15，建筑物高度为15m 第二章数列一、考点列举1、数列的概念和简单表示法2、等差数列的概念及其表示3、等比数列的概念及其表示4、简单数列求和二、常考题型1、等差数列、等比数列的概念.例 1 已知数列 na的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定na是不是等差数列，只

8、要看1nnaa（n2）是不是一个与n 无关的常数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页解：当 n2 时, （取数列na中的任意相邻两项1na与na（n2） ）) 1()(1qnpqpnaannpqppnqpn)(为常数na是等差数列，首项qpa1，公差为p。例 2 在等差数列 na 中，若1a+6a=9, 4a=7, 求3a, 9a. 分析： 要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差） ，本题中，只已知一项，

9、和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手,解 ：an 是等差数列1a+6a=4a+3a=93a=94a=97=2 d=4a3a=72=5 9a=4a+(94)d=7+5*5=32 3a=2, 9a=32 例3. 已知cba,依次成等差数列，求证：abcacbbca222,依次成等差数列. 分 析 ： 要 证 三 个 数abcacbbca222,成 等 差 数 列 ， 只 需 证 明 等 式 ：)()()()(2222acbabcbcaacb， 即证)()()(2222abcbcaacb成立. 证明：cba,成等差数列，dacdbcab2,（ 设 其 公 差 为d），dbcdba,，)()()

10、()()()(2222bccbaabccabaabcbca.22)(2dddacdcdad又222222)()(ddbbdbdbbacb，)(2)()(222acbabcbca，abcacbbca222,成等差数列 . 例 4、 等差数列na中：（1）如果5,1185aa，求数列的通项公式（2）如果,1171715951aaaaa求.113aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页分析： （ 1）求等差数列的通项公式只要求da、1两个量即可解： （法 1）由题意),2() 1(192195711411815nadada

11、adaan故数列的通项公式为.221nan（法 2）194,2311511558adaaddaa，故.221nan分析： （2）显然不能通过已知条件求出数列的通项公式，只有寻找已知条件和所求问题的关系解：,117611711715951daaaaaa而.234)6(212211113dadaaa例 5、等比数列na中128,666372aaaa，求等比数列的通项公式na分析： 求等比数列的首项为1a，q两个参数即可解： （法 1）设等比数列的道项为1a，公比为q，由题意.128,66128667216216372qaqaqaaaaa以下求解1a，q不易找到思路转换思路，利用等和列的性质，不难得

12、以下解法（法 2）设等比数列的首项为1a,公比为d，由题意.128,661286672726372aaaaaaaa故72,aa为方程0128662xx的两个根解得64272aa或21264172qaaa或.21,1281qa所以数列通项公式为12nna或.28 nna例6、在等比数列na中，已知2031aa，4042aa，求该数列的第11项11a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页分析： 首先根据已知条件求出等比数列的通项解： 设首项为1a，公比为q，则)2(40)1(20311211qaqaqaa)1()2(得：2

13、q，将2q代入（ 1） ，得41a，所以，4096)2()4(1010111qaa2、等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.例 1、在等差数列na中，已知34151296aaaa，求前 20 项之和分析： 本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求1a，d求解；也可以用等差数列的性质求解解： 法一由343841151296daaaaa.由daS2192020120da190201)384(51da345170法二由)(10202)(20120120aaaaS，而201129156aaaaaa，所以17201aa，所以170171020a例2、 等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT

14、，若对一切正整数n都有1223nnTSnn，求1111ba的值 . 分析：由nS、nT的通项公式可求得na、nb的通项公式，利用等差数列前n 项和公式的特点先假设公式的形式. 解法一 ：令nnnnTnnnnSnn222)12(,23)23(，则当*, 2Nnn时，有14,5611nTTbnSSannnnnn，所以.4361111451161111ba解法二：.43611212221322)(21)(21222121212121121121121111111111TSTSbbaabbaababa例 3、设na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT精选学习资料 - -

15、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页为数列nSn的前n项和，求nT分析： 由题设条件，不难求出1a和d，从而可得nS，再进一步探求nSn，看能否与等差或等比数列沟通解： 设等差数列na的公差为d，则dnnnaSn)1(211由77S，7515S，得,7510515, 721711dada即,57, 1311dada解得21a，1d. )1(212)1(211ndnanSn2111nSnSnn数列nSn是首项为2，公差为21的等差数列，故nnTn494123、具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 .例

16、1、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24 小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕，如果第一台收割时间是最后一台的5 倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间分析： 这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需的时间，即求数列的首项解：设从每台投入工作起，这n台收割机工作的时间依次为1a，2a，3a，, ，na小时依题意，na是一个等差数列，且每台收割机每小时的工作效率为n241，则有)2(1242424) 1( ,5211nananaaan

17、n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页由（ 2） ，得naaan2421，即naann242)(1，亦即481naa（3）由（ 1） ， （3）得401a故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40 小时例 2、从盛满a升（1a）纯酒精的容器里倒出1 升，然后填满水，再倒出1 升混合溶液后又用水填满，如此继续下去问第n次操作后溶液的浓度是多少？若2a，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于%10？分析： 这是一道数学应用题解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化注意到开始浓度为1，操作一次后溶液浓度是aa111

18、.操作二次后溶液浓度是)11(12aaa， , ，操作n次后溶液浓度是)11(1aaann.则不难发现，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型解决数列问题， 便可能达到解决实际问题之目的解： 设每次操作后溶液浓度为数列na，则问题即为求数列的通项)(nfan依题意，知原浓度为1，aa111，)11 (12aaa， , ，)11(1aaannna构成以首项aa111，公比aq11的等比数列，所以，11nnqaannaaa)11()11)(11(1，故第n次操作后酒精浓度是na)11(当2a时，由101)21(nna，得4n. 因此，至少应操作4 次后，才能使酒精浓度低于%10第二章

19、不等式及其解法一、考点列举1、不等式的关系及其性质2、一元二次不等式的解法3、二元一次不等式组与简单线性规划4、基本不等式二、常考题型1、了解现实世界和日常生活中的不等关系，会利用不等式的性质证明不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页例 1已知 a，b，cR+，求证： a3+b3+c33abc【分析】用求差比较法证明证明： a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)a2+b2+c2-ab-b

20、c-ca a，b，cR+，a+b+c0(c-a)20 即 a3+b3+c3-3abc 0，a3+b3+c33abc例 2已知 a，bR+，求证 aabbabba【分析】采用求商比较法证明证明： a，bR+，abba0 例 3 已知 a、b、c 是不全等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) 6abc【分析】采用综合法证明，利用性质a2+b22ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页证明： b2+c22bc，a0，a(b2+c2) 2abc同理 b(c2+a2)2abc c(a2+b2)2

21、abc a，b，c 不全相等，中至少有一个式子不能取“=”号+，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc综上所述，当 a0，b0，必有 aabbabba2、通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系例 1 不等式049) 1(220822mxmmxxx的解集为R,求实数m的取值范围解：当时，并不恒成立；当时，则得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页例 2、若函数的值域为，求实数的取值范围解：令，则须取遍所有的正实数，即，而例 3、解不等式：解：当时，；当时，精选学习资

22、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决例 1（1）求的最大值，使式中的、满足约束条件（2）求的最大值，使式中的、满足约束条件解： （1）作出可行域； （2）令，则，当直线和圆相切时，例 2、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和 50% ，可能的最大亏损率分别为30% 和 10% ，投资人计划投资金额不超过10 万元，要求确精选学习资料 - - -

23、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页保可能的资金亏损不超过1.8 万元，问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资万元， y 万元，由题意知目标函数作 出 可 行 域 ， 作 直 线， 并 作 平 行 于 直 线的 一 组 直 线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和 0.3x+0.1y=1.8的交点，解方程组解得 x=4,y=6 ，此时 z=1 4+0.5 6=7（万元）70 当 x=4、y=6 时 z 取得最大值。答：投资人用4 万元投资

24、甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。（0,18）（0,10）M（4,6）（10,0）（6,0）O x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页4、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题例 1 设，则函数在=_时，有最小值_解：例 2 下列各函数中，最小值为的是( )AB，CD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页解：D 对于 A：不能保证，对于 B：不能保证，对于 C：不能保证，对于 D：例 3 如果,则的最大值是( ) ABCD解： D 设例 4、一批货物随17 列货车从A 市以 v km/h 的速度匀速直达B 市。已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计） ，那么这批货物全部运到B 市最快需要多少小时？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页解：这批货物从A 市全部运到B 市的时间为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页