2022年必修五--不等式的知识点归纳和习题训练 .pdf

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1、知识点精编必修五：不等式知识点一：不等式关系与不等式一、不等式的主要性质：(1) 对称性：abba(2) 传递性：cacbba,(3) 加法法则：cbcaba；dbcadcba,(4) 乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bacdcba0, 0(5) 倒数法则：baabba110,(6) 乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7) 开方法则：) 1*(0nNnbabann且【典型例题】1. 已知 a，b 为非零实数，且ab，则下列命题成立的是() Aa2b2Ba2bab2 C2a2b1b 2. 如果0a，0b，则下列不等式中正确的是（）A11abBabC22abDab3. 已知

2、 a，b，c，d均为实数，有下列命题：（1）若 ab0，bcad0，则 ca db0；(2)若 ab0，cadb0，则 bcad0；(3)若 bcad0，cadb0，则 ab0，其中正确命题的个数是() A0 B1 C2 D3 4. 设 a、 b、c、dR，且 ab，cd，则下列结论中正确的是() A. acbdBacbd CacbdD.adbc 【习题训练】1：已知ab，cd，且c、d不为0，那么下列不等式成立的是（）AadbcBacbcCacbdDacbd2:下列命题中正确的是（）A若ab，则22acbcB若ab，cd，则acbdC若0ab，ab，则11abD若ab，cd，则abcd3.

3、下列命题中正确命题的个数是（）若xyz，则xyyz；ab，cd，0abcd，则abcd；若110ab，则2abb；若ab，则11bbaaA1B2C3D44. 如果aR，且20aa，那么a，2a，a，2a的大小关系是（）A22aaaaB22aaaaC22aaaaD22aaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页知识点精编5. 用“” “”号填空：如果0abc，那么ca_cb6. 已知a，b，c，d均为实数，且0ab，cdab，则下列不等式中成立的是（）AbcadBbcadCabcdDabcd7. 已知实数a和b均为非负

4、数，下面表达正确的是（）A0a且0bB0a或0bC0a或0bD0a且0b8已知1324abab且，则 2a+3b的取值范围是（）A 13 17(,)22 B 7 11(,)22 C 7 13(,)22 D 9 13(,)22二、含有绝对值的不等式1绝对值的几何意义：|x是指数轴上点x到原点的距离；12|xx是指数轴上12,xx两点间的距离2、则不如果, 0aaxaxax或|axaax |axaxax或|axaax |3当0c时，|axbcaxbc或axbc，|axbccaxbc；当0c时，|axbcxR，|axbcx4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号

5、，将其等价转化为一元一次（二次） 不等式（组）进行求解；去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|(0)xa aaxa，|(0)xa axa或xa（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方【典型例题】1. 给出下列命题：22abacbc；22abab；33abab；22abab其中正确的命题是（）ABCD2. 设 a， bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是() Aba0 Ba3b30 Ca2b203. 不等式3529x的解集为（） （运用公式法）A 2,1)4,7) B ( 2,1(4,7 C (2 , 14,7) D ( 2,14,7)4. 求解不等式：

6、|21|2 | 4xx （运用零点分段发）5. 函数46yxx的最小值为（） （零点分段法） A2 B2 C4 D6【习题训练】1.解不等式|1| 3xx2.若不等式| 32| 2|xxa对xR恒成立，则实数 a的取值范围为 _。三、其他常见不等式形式总结：分式不等式的解法：先移项通分标准化，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页知识点精编( ) ( )0( )( )0( ) ( )0;0( )0( )( )fx g xf xf xfx g xg xg xg x指数不等式：转化为代数不等式( )( )( )( )(

7、)(1)( )( );(01)( )( )(0,0)( ) lglgfxgxfxgxfxaaaf xg xaaaf xg xab abf xab对数不等式：转化为代数不等式( )0( )0log( )log( )(1)( )0;l og( )log( )(01)( )0( )( )( )( )aaaaf xf xf xg x ag xf xg xag xf xg xf xg x例 1 .不等式2lg(1)1x的解集是 _. 例 2.解不等式1lg()0.xx例 3.解关于 x 的不等式222(1)31.xaxxax例 4. 不等式x51x的解集是（）)(A| x4x 1)(Bxx | 1)(C

8、xx | 1)(D1| xx 1四、三角不等式：|b|a|ba|b|- |a|五、不等式证明的几种常用方法比较法（做差法、做商法） 、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。【典型例题】1.若231xx，22xx，则（）ABCD2.若2x或1y，2242xyxy，5，则与的大小关系是（）ABCD3. 若0,0,0abmn，则ba, ab, mamb, nbna按由小到大的顺序排列为4.若 aln 22 ，bln 33 ，cln 55则 a，b，c 按从小到大排列应是_5.设 a25，b52，c525，则 a、b、c 之间的大小关系为_6.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（） A2lg

9、1lg2xxB212xxC2111xD12xx7. 若a、b是任意实数，且ab，则（）A22abB1baClg0abD1122ab8. 已知0ab，0cd，0e，求证：eeacbd【习题训练】1. 不等式222aa，2221abab，22abab恒成立的个数是（）A0B1C2D32. 已知0ab，0b，那么a，b，a，b的大小关系是（）AabbaBababCabbaDabab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页知识点精编3. 若231fxxx，221gxxx，则fx，g x的大小关系是（）Afxg xBfxg xCf

10、xg xD随x值的变化而变化4. 已知a、bR，且ab，比较55ab与3223a bab的大小六、数轴穿跟法 : 奇穿，偶不穿例题：不等式03)4)(23(22xxxx的解为（）A1x1 或 x2 Bx3 或 1x2 Cx=4 或3x1 或 x2 Dx=4 或 x0,b0，则不等式bxa1的解集是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页知识点精编A. 1001|bxxax或B. 11|axbxC. 1001|axxbx或D.11|bxaxx或4. 关于实数x 的方程032222mmxx有两个正根 ,则实数 m 的取值

11、范围是. 5. 已知不等式4632xax的解集为, 1|bxxx或.(1)求 a,b; (2)解不等式0)(2bcxbacax. 【习题训练】1. 解下列不等式(1)(x 1)(3x)52x；(2)x(x 11)3(x1)2 （3）(2x1)(x3)3(x22) (4)3x231325113122xxxxx x( )()2不等式（ x+2）(1 x)0 的解集是（）A 或x1 B xC 2 1 D 3设 f(x)=x2+bx+1，且 f( 1)=f(3)，则 f(x)0的解集是（）A),3()1,( BRC 1 D 14. 已知集合 032|,4|22xxxNxxM, 则集合NM等于 ( )

12、A. 2|xxB. 3|xxC. 21|xxD. 32|xx5若不等式 ax2+x+a0 的解集为，则实数 a 的取值范围（）A a -21或 a21 B a21 C -21a21 D a216:设 mR,解关于 x 的不等式03222mxxm. 7.若10a，则不等式01axax的解是（）AaxBxa 11aaCxaDxxa 或 或 xaa118.若 ax2bx10 的解集为 x| 1 x2，则 a_，b_9. 不等式 (x+5)(3 2x) 6 的解集为（） x 1或29 129 x1 或2929 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

13、第 6 页，共 11 页知识点精编10设一元二次不等式ax2+bx+10 的解集为131 ，则 ab 的值是（） 6 5 6 5 11不等式组1) 1(log2222xx的解集为（）A （ 0，3） B （3，2） C （3， 4） D （2，4）12设集合RxxxA, 914, RxxxxB,03, 则 AB=（） A 2,3( B25, 02, 3( C ),253,( D),25)3,(13关于 x 的方程 x2+ax+a2-1=0 有一正根和一负根，则a 的取值范围是14不等式（ x-2 ）322xx0 的解集为 _知识点三：简单的线性规划1、一元一次不等式与线性规划(1) 若0，00

14、0 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的上方若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的下方(2) 线性规划：线性约束条件可行域线性目标函数（截距、斜率、距离）可行解最优解【典型例题】1.下面给出的四个点中，位于xy10)表示的平面区域内的点是() A(0,2)B(2,0) C(0， 2) D(2,0) 2已知变量x、y 满足条件x1，xy0，x2y90，则 xy 的最大值是 () A2 B5 C6 D8 3.若实数 x、y 满足 xy10 x0) ，则 yx 的取值范围是 () A(0,1)B.rc(avs4alco1(0，1) C(1， ) D. avs4alco1(1， )

15、3已知实数x，y 满足 y1，y 2x1，xym，如果目标函数zxy 的最小值为 1，则实数m 等于 () A7B5C4D3 【提高训练】1已知变量x、y 满足条件x1，xy0，x2y90，则 xy 的最大值是 () A2 B5 C6 D8 2点 P(x，y)在直线 4x3y0 上，且满足 14 xy 7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是()A0,5B0,10C 5,10D5,15 3设 D 是不等式组x2y 10 2xy 30 x4y1表示的平面区域，则D 中的点 P(x，y)到直线 xy10 距离的最大值是_5. 设x、y满足条件310 xyyxy，则22(1)zxy的最小值精选学习资

16、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页知识点精编【习题训练】1已知实数x、y 满足 y 2x，y2x，x3，则目标函数zx2y 的最小值是 _2不等式组x0，y0，4x3y0,y0 且281xy，则 xy 的最小值是；4. 若实数a、b满足a+b=2，则 3a+3b的最小值是；5.x1,y1且 lgx+lgy=4则 lgxlgy最大值为；6. 点（ x，y）在直线x+3y-2=0 上，则3273xy最小值为；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页知识点精

17、编7.已知正整数a， b 满足 4ab30，使得 1a1b 取最小值时，则实数对(a，b)是() A(5,10) B(6,6) C(10,5) D(7,2)8. 若0ab，且12ab，则12，a，2ab，22ab中最大的是 _9.设函数则( ) A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数10. 函数的值域为（）A.2,) B.（,2C. 2,2D.（,22,) 11. 已知不等式91yaxyx对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为；12. 不等式1(1 3)( 0)3y xxx的最大值是（）(A)4243(B)11 2(C)164(D)172【提高训练】1. 已知032,zy

18、xRyx，则x zy2的最小值 2 已知点 ()在直线上, 其中,则（）A.有最大值为2 B.有最小值为2 C.有最大值为1 D.有最小值为1 3. 已知非负实数、满足，则的最大值是（）A.B.C.5 D.10 4 . 设,则 ( ) A.有最大值8 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最小值8 5 . 设，则（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值4 D.有最小值4 6. 已知点在直线上移动，则的最小值是 ( ) A.8 B.6 C. 3D. 47. 已知 xy0，求24()xy xy的最小值及取最小值时的x、y 的值 . 【习题训练】1.下列命题中正确的是A、1yxx的最小值是2 B、2

19、232xyx的最小值是2 C、423(0)yxxx的最大值是24 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页知识点精编D、423(0)yxxx的最小值是24 32. 若21xy，则24xy的最小值是 _ 3. 正数,x y满足21xy，则yx11的最小值为 _4 . 若,且,则在下列四个选项中,较大的是 ( ) A.B. C.D. 5. 设a，bR ，a+2b=3 ，则11ab最小值是；6. 若 x2y1，则 2x4y的最小值是 _7. 若yx,是正数，且141xy，则xy有A.最大值 16 B 最小值116 C 最小

20、值16 D最大值1168.函数xxy2sin92cos4的最小值是（）A）24 B）13 C）25 D）26 知识点五：不等式的综合应用常见、常用结论：（1）maxmin()()()()kf xkf xkf xkf x恒成立恒成立（2）minmax()()()()xkf xkf xxkf xkf x存在 使成立存在 使成立1.不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 _ 2.若不等式) 1(122xmx对满足2m的所有 m都成立，则 x的取值范围 _ 3.若不等式22210 xmxm对01x的所有实数 x 都成立，求 m的取值范围 . 4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页