2022年高中数学知识点和例题讲义 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 1 讲 第 1 章 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征知识要点 ：结 构 特 征图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行； （2）侧面的母线平行于圆柱的轴；（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体 . 棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点 . 圆锥（1）底面是圆； （2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分

2、. 圆台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 1.下列说法错误的是（）A.多面体至少有四个面B.九棱柱有 9 条侧棱， 9 个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形答案： D 2.一个棱柱有10 个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_ cm. 答案： 12 3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是_. 答案： 棱锥、棱柱、棱台、圆锥第

3、 2 讲 1.1.2 简单组合体的结构特征例题精讲 ： 【例 1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（） . A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个选 D. 【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R，求球的半径 . 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为22()()2rRRrrR，所以，球的半径为rR. 第 3 讲 1.2.2 空间几何体的三视图例题精讲 ： 【例 1】画出下列各几何体的三视图：解：【例 2】画出下列三视图所表示的几何体. 解：【例 3】如图，图（ 1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位

4、：cm） ，所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图. 解第精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载第 4 讲 1.2.3 空间几何体的直观图知识要点 ： “直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和 y 轴，得到直角坐标系xoy，直观图中画成斜坐标系x o y，两轴夹角为45.(2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x 或 y 轴

5、的线段 .（3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半. 第 5 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积学习目标 ：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题. 知识要点 ：表面积相关公式表面积相关公式棱柱2SSSSlc侧全底侧侧棱长直截面周长，其中圆柱222Srrh全（r：底面半径， h：高）棱锥SSS侧全底圆锥2Srrl全（r：底面半径， l：母线长）棱台SSSS侧全上底下底圆台22( )Srrr lrl全（r：下底半径， r ：上底半径， l：母线长）例题精讲

6、：【例 1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：297l【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积. 解：212342242 3248 3()2SSSmm侧底. 第 6 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积知识要点 ：1. 体积公式：体积公式体积公式棱柱VSh底高圆柱2Vr h棱锥13VSh底高圆锥213Vr h棱台1()3VSS SS h圆台221( )3Vrr rrh2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.

7、 因而体积会有以下的关系：13VS h锥0S1()3VSS SS h台SSVS h柱. 例题精讲 ： 【例 1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 . 解：设长方体的长宽高分别为, ,a b c ，则2,3,6abacbc，三式相乘得2()36abc.所以，长方体的体积为6. 【例 2】一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与 x 的函数关系式 ,并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm. 在Rt EOF中 ，15,2EFcm OFx

8、cm, 所 以21254EOx, 于 是22112534Vxx.依题意函数的定义域为| 010 xx. 【例 3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为 6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的56时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为. 解： 容器中水的体积为22(3)618Vr l.流出水的体积为5(1)36VV， 如图，222232(3)Vlr.设圆柱的母线与水平面所成的角为 ，则2 3tan32，解得60. OFEDBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢

9、迎下载第 7 讲 1.3.2 球的体积和表面积知识要点 ：1. 表面积：24SR球面（R：球的半径） . 2. 体积：343VR球面. 例题精讲 ： 【例 2】表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积. 解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，14AA，2ACa，又24324R，9R，228 2ACACCC，8a，6423214576S表. 【例 3】设 A、B、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）. A86B646C242D722【解】由已知可得， A、B、C、D

10、在球的一个小圆上. AB=BC=CD=DA=3， 四边形ABCD为正方形 . 小圆半径3 22r. 由222Rrh得2223 2()()22RR，解得6R. 球的体积3344(6)8 633VR. 所以选 A. 第 8 讲 2.1.1 平面知识要点 ：1. 点A在直线上 , 记作Aa；点A在平面内, 记作A；直线a在平面内, 记作a.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、 “符号语言” 、 “图形语言”列表如下：公理 1 公理 2 公理 3 图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内 . 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一

11、个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言,Al BllAB,A B CA B C不共线确定平面,lPPPl3.公理 2 的三条推论：推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 例题精讲 ：【例 1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？【例 2】空间四边形ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，已知EF 和 GH 交于 P 点，求证： EF、GH 、AC 三线共点 . 解 ： PEF，EF面 ABC， P面 ABC.

12、 同理 P面 ADC. P 在面 ABC 与面 ADC的交线上，又面 ABC面 ADC=AC， PAC，即 EF、HG 、AC 三线共点 . 【例 3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线,AB BC CA两两相交，交点分别为,A B C，求证：直线,AB BC CA共面 . 证明 ：因为 A，B，C 三点不在一条直线上，所以过A，B，C 三点可以确定平面 因为 A，B，所以 AB 同理 BC，AC.所以 AB，BC，CA 三直线共面【例 4】在正方体1111ABCDA B C D中，（1）1AA与1CC是否在同一平面内？（2）点1,B CD是否在同一平面内？（3

13、）画出平面1AC与平面1BC D的交线，平面1ACD与平面1BDC的交线 . 解 ：（1） 在正方体1111ABCDA B C D中，11/AACC，由公理2 的推论可知，1AA与1CC可确定平面1AC，1AA与1CC在同一平面内 . （ 2）点1,B C D不共线，由公理3 可知，点1,B C D可确定平面1BC D，点1,B CD在同一平面内. （ 3）ACBDO，11D CDCE， 点O平面1AC，O平面1BCD，又1C平面1AC ，1C平面1BC D ， 平面1AC平面1BC D1OC ，同理平面1ACD平面1BDCOE 第 9 讲 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系知识要点

14、：1.空间两条直线的位置关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载2. 已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线/ ,/aa bb，把,a b所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角）. ,a b所成的角的大小与点O的选择无关，为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90 ，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面

15、直线垂直，记作ab. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算. 例题精讲 ： 【例 1】已知异面直线a 和 b 所成的角为50， P 为空间一定点，则过点P 且与a、b 所成角都是30的直线有且仅有（）. A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条解 ：过 P 作aa，bb，若 Pa，则取 a 为a，若 Pb，则取 b 为b这时a，b相交于 P 点，它们的两组对顶角分别为50和 130. 记a，b所确定的平面为，那么在平面 内，不存在与a，b都成 30的直线过点 P 与a，b都成 30角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是a，b所成对顶角的平分线其中射影是50对顶角

16、平分线的直线有两条l 和l，射影是130对顶角平分线的直线不存在故答案选B. 【例 2】如图正方体1111ABCDA B C D中， E、F 分别为 D1C1和 B1C1的中点， P、Q 分别为 AC 与 BD、A1C1与 EF 的交点 . （1）求证： D、B、F、E 四点共面；（2）若 A1C 与面DBFE 交于点 R，求证： P、Q、R 三点共线 . 证明 ： （1）正方体1111ABCDA B C D中，1BB /1DD，BD/11B D. 又 111B D C中， E、F 为中点，EF/1112B D. /EFBD, 即 D、B、F、E 四点共面 .（2）1QAC平面，QBE平面，1

17、PAC平面，PBE平面，1ACBEPQ平面平面.又1ACBER平面， 1RAC平面，RBE平面， RPQ. 即 P、Q、R 三点共线【例 3】已知直线a/b/c，直线 d 与 a、b、c 分别相交于A、B、C，求证： a、b、 c、d 四线共面 . 证明 ：因为 a/b，由公理2 的推论，存在平面，使得,ab. 又因为直线d 与 a、b、c 分别相交于A、B、C，由公理1，d. 假设c，则cC, 在平面内过点 C 作/cb，因为 b/c，则/cc，此与ccC矛盾 . 故直线c. 综上述， a、b、c、d 四线共面 . 【例 4】如图中，正方体ABCD A1B1C1D1，E、F 分别是 AD、A

18、A1的中点 .（ 1）求直线AB1和 CC1所成的角的大小； （2）求直线AB1和 EF 所成的角的大小. 解 ： （1）如图， 连结 DC1 ， DC1AB1， DC1和 CC1所成的锐角CC1D 就是 AB1和 CC1所成的角 . CC1D=45， AB1和 CC1所成的角是45.（2）如图，连结DA1、A1C1， EF A1D，AB1DC1， A1DC1是直线 AB1和 EF 所成的角 . A1DC1是等边三角形， A1DC1=60o，即直线AB1和 EF 所成的角是60o. 第 10 讲 2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系知识要点 ：1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面

19、内（有无数个公共点）； （2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：l；lP；/l. 2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点） ； 相交（有一条公共直线）.分别记作/；l. 例题精讲 ： 【例 1】已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线AB 和 CD 所成的角的大小. 解 ：分别取AC、AD、BC 的中点 P、M、N 连接 PM、PN，由三角形的中位线性质知PN AB，PM CD，于是 MPN 就是异面直线AB 和 CD 成的角（如图所示）.连结 MN、DN，设 AB=2， PM=PN=1.而 AN=DN=3，由 MN AD

20、， AM=1，得 MN=2， MN2=MP2+NP2， MPN=90.异面直线AB、CD 成 90角 . 【例 2】在空间四边形ABCD 中， E、H 分别是 AB、AD 的中点， F、G 分别是 CB、CD的中点，若AC + BD = a ， AC BD =b，求22EGFH. 解 ：四边形EFGH 是平行四边形，22EGFH=222()EFFG=22211()(2 )22ACBDab. 【例 3】已知空间四边形ABCD 中， E、H 分别是 AB、AD 的中点， F、G 分别是 BC、CD 上的点，且23CFCGCBCD.求证：（1）E、F、G、H 四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC

21、 交于一点 . cbadcCBAPQFED1C1B1A1DCBAABCDEHFGA B C D E F G H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载A B C D E F G M O 证明 ： （1） 在 ABD 和 CBD 中，E、H 分别是 AB 和 CD 的中点， EH/12BD. 又 23CFCGCBCD， FG/23BD. EHFG. 所以， E、F、G、H 四点共面 . 第 11 讲 2.2.1 直线与平面平行的判定知识要点 ：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判

22、定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：,/ababa. 图形如右图所示. 例题精讲 ：【例 1】已知 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E、F 分别为 AB、PD 的中点， 求证：AF平面 PEC证明 ：设 PC 的中点为G，连接 EG、FG.F 为 PD 中点，GFCD 且 GF=12CD. ABCD， AB=CD， E 为 AB 中点，GFAE，GF=AE， 四边形 AEGF 为平行四边形. EGAF，又AF平面 PEC， EG平面 PEC， AF平面 PEC. 【例 2】在正方体ABCD -A1B1C1D1中， E、F 分别为棱BC

23、、C1D1的中点 . 求证： EF 平面BB1D1D. 证明 ：连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，则 OEDC， OE=12DC. DC D1C1， DC=D1C1，F 为 D1C1的中点，OED1F， OE=D1F，四边形 D1FEO 为平行四边形. EF D1O. 又 EF平面 BB1D1D， D1O平面 BB1D1D，EF平面 BB1D1D. 【例 3】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM平面EFG. 证明 ：如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE，在BCD中，G、F分别是BD、CD中点，/GFBC，G为BD中点，O为MD中点，在AM

24、D中，E、O为AD、MD中点，/EOAM，又AM平面EFG，EO平面EFG， AM平面EFG. 点评 ： 要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用. 【例 4】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、PC 的中点（ 1）求证： MN /平面 PAD； （2）若4MNBC，4 3PA，求异面直线PA 与 MN 所成的角的大小. 解 ： （1）取 PD 的中点H，连接 AH，由 N 是 PC 的中点， NH/12DC. 由 M 是 AB的中点， NH/AM， 即 AMNH 为平行四边形.

25、/MNAH. 由,MNPAD AHPAD平面平面， /MNPAD平面. （ 2） 连接 AC 并取其中点为O， 连接 OM、 ON， OM/12BC， ON/12PA， 所以ONM就是异面直线PA 与 MN 所成的角，且MONO. 由4MNBC，4 3PA, 得OM=2，ON=2 3所以030ONM，即异面直线PA 与 MN 成 30的角点评 ：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得. 第 12 讲 2.2.2 平面与平面平行的判定知识要点：面面平行判定定理：如果一个平

26、面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为：,/,/ababPab.例题精讲 ： 【例 1】如右图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， M、N、P 分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面 A1BD. 证明 ：连结 B1D1， P、N 分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又 B1D1BD，PNBD. 又 PN 不在平面A1BD 上， PN平面 A1BD.同理， MN 平面 A1BD. 又 PNA1 AB1 BC1 CD1 DGEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共

27、15 页学习必备欢迎下载 MN=N， 平面 PMN 平面 A1BD. 【例 2】正方体ABCD A1B1C1D1中 （1）求证：平面A1BD平面 B1D1C；（ 2）若 E、F 分别是 AA1， CC1的中点，求证：平面EB1D1平面 FBD 证明 ： （1）由 B1B/DD1，得四边形BB1D1D 是平行四边形，B1D1BD，又 BD 平面 B1D1C，B1D1平面 B1D1C， BD平面 B1D1C同理 A1D平面 B1D1C而 A1DBDD，平面A1BD平面 B1CD（2）由 BDB1D1，得 BD平面 EB1D1取 BB1中点 G， AEB1G从而得 B1EAG，同理 GF AD AG

28、DF B1EDF DF平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD 【例 3】已知四棱锥P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、N、Q 分别 在PA、BD、PD上 , 且PM： MA=BN ： ND=PQ ： QD. 求证：平面MNQ 平面 PBC. 证明 ：PM：MA =BN：ND= PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而 BP平面 PBC，NQ平面 PBC, NQ/平面 PBC. 又ABCD 为平行四边形，BC/AD， MQ/BC，而 BC平面 PBC，MQ平面 PBC, MQ/平面 PBC. 由 MQNQ=Q， 根据平面与平面平行的判定定理， 平面 MNQ平面 PB

29、C. 点评 ：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行. 第 13 讲 2.2.3 直线与平面平行的性质知识要点 ：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：/aaabb. 例题精讲 ：【例 1】经过正方体ABCD - A1B1C1D1的棱 BB1作一平面交平面AA1D1D 于 E1E，求证： E1EB1B证明 ：11111111/,AABBAABEE BBBBEE B平面平面，111/AABEE B平面. 又1

30、1111111AAADD AADD ABEE BEE平面，平面平面，11/AAEE. 则111111/AABBBBEEAAEE. 【例 2】如图，/AB，/ACBD，C，D，求证：ACBD. 证明 ：连结CD，/ACBD，直线AC和BD可以确定一个平面，记为，,C D，,C D，CD，/AB，AB，CD/AB CD，又/ACBD， 四边形ACDB为平行四边形，ACBD.第 14 讲 2.2.4 平面与平面平行的性质知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平 行 . 用 符 号 语 言 表 示 为 ：/,/abab.2. 其 它 性 质 ： /,/l

31、l； /,ll；夹在平行平面间的平行线段相等. 例题精讲 ： 【例 1】如图，设平面平面 ，AB、CD 是两异面直线，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且A、C ，B、 D. 求证： MN. 证明 ：连接 BC，取 BC 的中点 E，分别连接ME、 NE，则 MEAC，ME平面 ，又NE BD， NE，又 MENE=E，平面MEN 平面 ， MN平面 MEN ， MN. 【例 2】如图， A，B， C， D 四点都在平面， 外，它们在内的射影A1，B1，C1， D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形N M P D C Q B A

32、 D1C1B1ABCDA1E1EA B C D abENMDBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载证明 ：A，B，C，D 四点在内的射影 A2，B2，C2，D2在一条直线上，A，B，C，D 四点共面又 A，B， C，D 四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，平面 ABB1A1平面 CDD1C1AB，CD 是平面 ABCD 与平面 ABB1A1，平面 CDD1C1的交线ABCD同理 ADBC 四边形ABCD 是平行四边形第 15 讲 2.3.1 直线与平面垂直的判定知识要点 ：

33、1. 定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l. l平面的垂线，直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足 .（线线垂直线面垂直 ）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若lm，ln，mnB，m，n，则l3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）证（证所作为所求） 求（解直角三角形） ”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连

34、线是产生线面角的关键 . 例题精讲 ： 【例 1】四面体ABCD中，,ACBD E F分别为,AD BC的中点，且22EFAC，90BDC，求证：BD平面ACD. 证明 ：取CD的中点G，连结,EG FG，,E F分别为,AD BC的中点，EG12/AC，12/FGBD. 又,ACBD12FGAC， 在EFG中 ，222212EGFGACEF， EGFG， BDAC， 又90BDC，即BDCD，ACCDC，BD平面ACD. 【例 2】已知棱长为1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E 是 A1B1的中点， 求直线 AE 与平面ABC1D1所成的角的正弦值. 解 ：取 CD 的中点 F，连接

35、EF 交平面11ABC D于 O，连 AO.由已知正方体，易知EO平面11ABC D， 所 以EAO为 所 求 . 在Rt EOA中 ，1112222E OE FA D，2215()122AE，10sin5EOEAOAE. 所以直线AE 与平面11ABC D所成的角的正弦值为105. 【例 3】三棱锥PABC中，PABC PBAC，PO平面 ABC，垂足为 O，求证：O 为底面 ABC 的垂心 . 证明 ：连接 OA、OB、OC，PO平面 ABC， ,POBCPOAC. 又 PABC PBAC，BCPAOACPBO平面，平面，得AOBCBOAC，, O 为底面 ABC 的垂心 . 点评 ： 此

36、例可以变式为 “已知PABCPBAC， 求证PCAB” ， 其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OCAB后进行证明 . 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.第 16 讲 2.3.2 平面与平面垂直的判定知识要点 ：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB. （简记PABQ）2. 二面角的平面角：在二面角l 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 范围：0180. 3. 定义：两

37、个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作. 4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直 ）例题精讲 ： 【例 1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC、 CD 的中点 E、F，连结 AE、EF、 AF，以 AE、EF、FA 为折痕，折叠使点B、C、D 重合于一点P. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载BDCAEFG（1）求证： APEF； （2）求证：平面APE平面 APF. 证明 ： （1）如右图，APE=APF=90，

38、 PEPF=P， PA平面 PEF. EF平面 PEF， PAEF. （2） APE=EPF=90， APPF=P， PE平面 APF. 又 PE平面 PAE，平面APE平面 APF. 【例 2】如图 , 在空间四边形ABCD 中，,ABBCCDDA,E F G分别是,CD DA AC的中点，求证：平面BEF平面BGD. 证明 ：,ABBC G为 AC 中点，所以ACBG. 同理可证,ACDGAC面 BGD. 又易知 EF/AC，则EF面 BGD. 又因为EF面 BEF，所以平面BEF平面BGD.第 17 讲 2.3.3 线面、面面垂直的性质知识要点 ：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面

39、的两条直线平行. （线面垂直线线平行） 2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，l，a，al，则a.（面面垂直线面垂直）例题精讲 ：【例 1】把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面， 另一条直角边AC 与桌面所在的平面垂直，a 是内一条直线，若斜边 AB 与 a 垂直，则 BC 是否与 a 垂直？解：注 ：若 BC 与 a 垂直，同理可得AB 与 a 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直线面垂直线线垂直”. 【例 2】如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点，

40、PA平面 ABC. （ 1）求证：平面PAC平面 PBC；（ 2）若 D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面 . 解： （1）证明： C 是 AB 为直径的圆O 的圆周上一点， AB 是圆 O 的直径，BC AC. 又 PA平面 ABC，BC平面 ABC，BCPA，从而 BC平面 PAC. BC平面 PBC， 平面 PAC平面 PBC. （2）平面PAC平面 ABCD ；平面 PAC平面 PBC；平面PAD平面 PBD ；平面 PAB 平面 ABCD ；平面 PAD平面 ABCD . 第 18 讲 第 3 章 3.1.1 倾斜角与斜率知识要点 ：1.

41、 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角 .当直线l 与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0. 则直线 l 的倾斜角的范围是0. 2. 倾斜角不是90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tank. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P xyP xy，则有斜率公式2121yykxx. 特别地是，当12xx，12yy时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12xx，12yy时，直线与 y 轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角=90时， 斜率不存在， 即直线与y 轴平行或者重合. 当=90时，斜率 k=0；当09

42、0时，斜率0k，随着 的增大，斜率k 也增大；当90180时，斜率0k，随着 的增大，斜率k 也增大 . 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题. 例题精讲 ：【例 2】已知过两点22(2,3)A mm, 2(3,2)Bmmm的直线 l 的倾斜角为45，求实数m的值 . 解 ： 202232tan 4512(3)mmmmm， 2320mm，解得1m或2. 但当1m时， A、B 重合，舍去2m【例 3】已知三点A(a，2)、B(3， 7)、 C(-2 ，-9a)在一条直线上，求实数a 的值aACAABACABaACaBCaABCBCABCa平面平面A C B a 精选学习资料

43、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载解 :72533ABkaa，7( 9 )793( 2)5BCaak. A、B、C 三点在一条直线上，ABBCkk，即57935aa，解得2a或29a. 第 19 讲 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定知识要点 ：1. 对于两条不重合的直线1l、2l，其斜率分别为1k、2k，有：（ 1）12/ll12kk； （2）12ll121kk. 2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴； . 例题精讲 ：【例 1】四边形ABCD 的顶点为(

44、2,22 2)A、( 2,2)B、(0,22 2)C、(4,2)D，试判断四边形ABCD 的形状 . 解 ：AB 边所在直线的斜率2(22 2)2222ABk，CD 边所在直线的斜率2(22 2)2422CDk, BC 边所在直线的斜率(22 2)2202BCk，DA 边所在直线的斜率(222)2224DAk, ,ABCDBCDAkkkk， AB/CD，BC/DA，即四边形ABCD 为平行四边形.又 2(2)12ABBCkk， AB BC，即四边形ABCD 为矩形 . 【例 2】已知ABC的顶点(2,1),( 6,3)BC，其垂心为( 3,2)H，求顶点A的坐标解 ：设顶点A 的坐标为( ,

45、)x y,ACBHABCH，11ACBHABCHkkkk， 即31()16511()123yxyx，化简为53335yxyx，解之得：1962xy. A 的坐标为( 19, 62). 【例 3】 （1）已知直线1l经过点 M（-3，0） 、N（-15，-6） ，2l经过点 R（-2，32） 、S （0，52） ，试判断1l与2l是否平行？（ 2）1l的倾斜角为45，2l经过点 P（ -2， -1） 、Q（3，-6） ，问1l与2l是否垂直？点评 ：当1l与2l的斜率存在时，1212/kkll，12121k kll. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，

46、从而判别平行或垂直. 第 20 讲 3.2.1 直线的点斜式方程知识要点 ：1. 点斜式：直线l过点000(,)P xy,且斜率为k，其方程为00()yyk xx. 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在 y 轴上截距为b，其方程为ykxb. 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线 . 若直线l过点000(,)P xy且与 x 轴垂直 ,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00 xx，或0 xx. 4. 注意 ：00yykxx与00()yyk xx是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P xy，后者才是整条直线. 例题精讲 ：【例 1】写出下

47、列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A，斜率是4；（2）经过点(3, 1)B，倾斜角是30. 【例 2】已知直线31ykxk.（1）求直线恒经过的定点； （2）当33x时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围 . 解 ： （1）由(3)1yk x，易知3x时，1y，所以直线恒经过的定点( 3,1).（2）由题意得( 3)3103310kkkk，解得16k. 【例 3】光线从点A（ 3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B（ 2，6） ，求射入y 轴后的反射线的方程 . 解 ： A（ 3，4）关于 x 轴的对称点A1（ 3， 4）在经 x 轴反射的光线上，同样A1（

48、 3， 4）关于 y 轴的对称点A2（ 3， 4）在经过射入y 轴的反射线上，k2A B=6423=2. 故所求直线方程为y6=2（x+2） ， 即 2x+y2=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载点评 ：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例 4】已知直线l经过点( 5, 4)P，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程解 ：由已知得l与两坐标轴不垂直直线l经过点( 5, 4)P

49、，可设直线l的方程为( 4)( 5)yk x，即4(5)yk x.则直线l在x轴上的截距为45k，在y轴上的截距为54k.根据题意得14|5| |54|52kk，即2(54)10 |kk. 当0k时，原方程可化为2(54)10kk，解得1228,55kk；当0k时，原方程可化为2(54)10kk，此方程无实数解. 故直线l的方程为24(5)5yx，或84(5)5yx.即 25100 xy或 85200 xy. 点评 ：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负

50、，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距. 第 21 讲 3.2.2 直线的两点式方程知识要点 ：1. 两点式：直线l经过两点111222(,),(,)P xyP xy，其方程为112121yyxxyyxx，2. 截距式：直线l在 x、y 轴上的截距分别为a、b，其方程为1xyab. 3. 两点式不能表示垂直x、y 轴直线；截距式不能表示垂直x、y 轴及过原点的直线. 4. 线段12P P中点坐标公式1212(,)22xxyy. 例题精讲 ：【例 1】已知ABC顶点为(2,8),( 4,0),(6,0)ABC，求过点B且将ABC面积平分的直线方程. 解：求出AC