2022年高三数学高考填空题常胜技巧doc .pdf

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1、高考数学填空题常胜技巧数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多项选择填空题、条件与结论开放的填空题 . 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型 )和概念 ( 性质 )判断型的试题，应答时必须按规则进

2、行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准” 、 “巧” 、 “快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。例 1设,)1(,3)1(jmibiima其中 i， j 为互相垂直的单位向量， 又)()(baba，则实数 m = 。解：.)2(,)4()2(jmmibajmimba)()(baba， 0)()(baba0)4)(2()4()2()2(222jmmjimmmjmm， 而 i， j 为互相垂直的单位向量

3、，故可得, 0)4)(2()2(mmmm2m。例 2 已知函数21)(xaxxf在区间), 2(上为增函数，则实数a的取值范围是。解：22121)(xaaxaxxf，由复合函数的增减性可知，221)(xaxg在),2(上为增函数，021a，21a。例 3 现时盛行的足球彩票， 其规则如下： 全部 13 场足球比赛， 每场比赛有 3 种结果：胜、平、负， 13 长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12 场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。解：由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

4、 - - - - -第 1 页，共 16 页故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331。二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。例 4 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。假设 a、b、c 成等差数列，则CACAcoscos1coscos。解：特殊化：令5,4,3cba，则ABC 为直角三角形，0cos,53cosCA，从而所求值为53。例 5 过抛物线)0(2aaxy的焦点 F 作一直线交抛物线交于P、Q 两点，假设线段PF、FQ 的长分别为 p、q，则qp11。分析：此抛物线开口

5、向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当 k变化时 PF、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。解：设 k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a把直线方程ay41代入抛物线方程得ax21，aFQPF21|，从而aqp411。例 6 求值)240(cos)120(coscos222aaa。分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令0a，得结果为23。三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，假设能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得

6、出正确的结果。例 7如果不等式xaxx) 1(42的解集为 A，且20|xxA，那么实数 a 的取值范围是。解：根据不等式解集的几何意义， 作函数24xxy和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页函数xay)1(的图象如图，从图上容易得出实数a的取值范围是, 2a。例 8求值)21arctan3sin(。解：)21arctan3sin()21sin(arctan21)21cos(arctan23，构造如下列图的直角三角形，则其中的角即为21arctan，从而.51)21sin(arctan,52)21cos(arcta

7、n所以可得结果为101525。例 9 已知实数 x、y 满足3)3(22yx，则1xy的最大值是。解：1xy可看作是过点 P x， y 与 M 1， 0 的直线的斜率，其中点 P 的圆3)3(22yx上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1xy最大，最大值为3tan。四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉” ，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。例 10 不等式23axx的解集为 4，b ，则 a= ，b= 。解：设tx，则原不等式可转化为：,0232tata 0，且 2 与)4(bb是方程0232tat的两根，由此可得：36,81ba。例 11 不管 k 为何实数

8、，直线1kxy与曲线0422222aaaxyx恒有交点，则实数 a的取值范围是。解： 题设条件等价于点0， 1 在圆内或圆上，或等价于点0， 1 到圆42)(22ayax，31a。例 12 函数xxy3214单调递减区间为。解：易知.0,3 ,41yxy 与 y2有相同的单调区间，而313441122xxy，可得结果为 3,813。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。五、练习1 已知函数1xxf，则._31f讲解由13x，得431xf，应填 4.

9、 请思考为什么不必求xf1呢？2 集合NxxMx,2110log11的真子集的个数是._讲解NxxxxM,10010Nx2,lgx1，显然集合 M中有 90 个元素， 其真子集的个数是1290，应填1290. 快速解答此题需要记住小结论; 对于含有n 个元素的有限集合, 其真子集的个数是.1223假设函数baxxaxy, 322的图象关于直线1x对称，则._b讲解由已知抛物线的对称轴为22ax, 得4a，而12ba，有6b，故应填 6. 4 果函数221xxxf，那么._4143132121fffffff讲解容易发现11tftf，这就是我们找出的有用的规律，于是原式2731f，应填.27此题是

10、 2002 年全国高考题，十分有趣的是，2003 年上海春考题中也有一道类似题：设221xxf，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得._650f45ffff5已知点 Pcos,tan在第三象限，则角的终边在第_象限 . 讲解由已知得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页, 0cos,0sin,0cos,0tan从而角的终边在第二象限，故应填二. 6 不等式120lgcos2x, 0 x的解集为_. 讲解注意到120lg，于是原不等式可变形为.0cos0cos2xx而x0，所以20 x，故应填.20Rxx

11、x，7如果函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，那么._a讲解2sin12ay，其中atan. 8x是已知函数的对称轴，282k，即Zkk，43，于是.143tantanka故应填1. 在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数xAysin和xAycos的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形 . 8 设复数24cossin21z在复平面上对应向量1OZ，将1OZ按顺时针方向旋转43后得到向量2OZ，2OZ对应的复数为sincos2irz，则._tan讲解应用复数乘法的几何意义，得43sin43cos12izzicossin2cossin222，于是，1tan21ta

12、n2cossin2cossin2tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页故应填.1tan21tan29 设 非 零 复 数yx,满 足022yxyx， 则 代 数 式20052005yxyyxx的 值 是_. 讲解将已知方程变形为112yxyx，解这个一元二次方程，得.2321iyx显然有231, 1, 而166832005, 于是原式20052005200511120052200521.112在上述解法中， “两边同除”的手法到达了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.10已知na是公差不为零的等差数

13、列，如果nS是na的前 n 项和，那么._limnnnSna讲解特别取nan，有21nnSn，于是有.211212limlimlim2nnnnSnannnnn故应填 2. 11列na中，是偶数），（是奇数，nnannn5251nnaaaS2212, 则._2limnnS讲解分类求和，得，nnnaaaaaaS24212312精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页8151152511512222limnnS，故应填8112以下四个命题：；3122nnn；1226422nnnn凸 n边形内角和为；31nnnf凸 n边形对角线

14、的条数是.422nnnnf其中满足 “假设0,kkNkkn时命题成立， 则当 n=k+1 时命题也成立 . 但不满足 “当0nn0n是题中给定的n 的初始值时命题成立”的命题序号是. 讲解当 n=3 时，13223，不等式成立；当 n=1 时，21122，但假设n=k 时等式成立，则2111221264222kkkkkk；133f，但假设1kkf成立，则；111kkfkf22444f，假设22kkkf成立，则.221131kkkkfkf故应填 . 13某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000 到 999999. 假设号码的奇位数字是不同的 奇 数 ， 偶 位 数 字 均 为 偶

15、数 时 ， 为 中 奖 号 码 ， 则 中 奖 面 即 中 奖 号 码 占 全 部 号 码 的 百 分 比 为. 讲解中奖号码的排列方法是：奇位数字上排不同的奇数有35P种方法，偶位数字上排偶数的方法有35，从而中奖号码共有3355P种，于是中奖面为%,75.0%10010000005335P故应填%.75. 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页147221 xx的展开式中3x的系数是._讲解由772722221xxxxx知，所求系数应为72x的 x 项的系数与3x项的系数的和，即有，100822447667CC故

16、应填 1008. 15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的外表积是_. 讲解长方体的对角线就是外接球的直径R2, 即有,505434222222RR从而5042RS球，故应填.5016假设四面体各棱的长是1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其体积是只需写出一个可能的值 讲解此题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边” ，就可否认 1，1，2 ，从而得出 1， 1，1 ， 1，2， 2 ， 2，2，2三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：611,

17、1211 ,1214，故应填 .611、1211、1214中的一个即可 . 17 如右图， E、F 分别是正方体的面ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是. 要求：把可能的图的序号都填上讲解因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、 左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面 ABB1A1、面 ADD1A1上的射影 . 四边形 BFD1E在面 ABCD和面 ABB1A1上的射影相同，如图2所示；四边形 BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内， 它在面 ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图3所示

18、 . 故应填23.1234A B D C E F A1 B1 C1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页18直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标是_. 讲解由xyxy4, 12消去 y，化简得,0162xx设此方程二根为21xx，所截线段的中点坐标为00yx ，则.213200210 xyxxx，故 应填2, 3. 19 椭圆125922yx上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m取最大值时，点P 的坐标是_. 讲解记椭圆的二焦点为21FF，有,10221aPFPF则知.25222121PFPFP

19、FPFm显然当521PFPF，即点 P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25. 故应填0, 3或.0, 3 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是20022yxy，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是_. 讲解依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为.222rryx由，22222xyrryx消去 x，得0122yry*解出0y或.12ry精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页要使 * 式有且只有一个实数根0y

20、，只要且只需要,012 r即. 1r再结合半径0r，故应填.10r数学 怎样解填空题【考点梳理】一、题型特点填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中， 答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容既可以是条件，也可以是结论，留

21、下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出

22、错的真正原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。对于解答题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差异，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确实是一种独立的题型，有其固有的特点。二、考查功能1填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，

23、因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从这一点看，一组好的填空题虽然精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的深入程度方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型尤其是推理计算型和概念性质判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但与解答题相比其考查的深

24、度还是差得多。就计算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。2填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的利弊和考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不多。三、思想方法同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法等。【例题解析 】一、直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定

25、理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。例 1 已知数列 an、 bn 都是等差数列，a1=0、b1= -4，用 Sk、Sk、分别表示数列an、bn的前 k 项和k 是正整数，假设 Sk+Sk =0，则 ak+bk的值为。解法一直接应用等差数列求和公式Sk=2)(1kaak，得2)(1kaak+2)(1kbbk=0，又 a1+b1= -4, ak+bk=4。法二由题意可取k=2注意： k 1，为什么？ ，于是有a1+a2+b1+b2=0，因而 a2+b2

26、=4,即 ak+bk=4。例 2 乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员，派5 名参加比赛。3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种用数字作答。解三名主力队员的排法有33A种，其余 7 名队员选2 名安排在第二、四位置上有27A种排法，故共有排法数 A33A72=252 种。例 3 如图 14-1，E、F 分别为正方体的面ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是要求：把可能的图的序号都填上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

27、 11 页，共 16 页解正方体共有3 组对面，分别考察如下：1四边形BFD1E 在左右一组面上的射影是图。因为B 点、F 点在面 AD1上的射影分别是A 点、E 点。 2四边形 BFD1E 在上下及前后两组面上的射影是图。因为 D1点、 E 点、 F 点在面 AC 上的射影分别是D 点、 AD 的中点、 BC 的中点； B 点、 E 点、 F 点在面DC1上的射影分别是C 点、 DD1的中点、 CC1的中点。故此题答案为。例 4 已知抛物线的焦点坐标为F(2,1)，准线方程为2x+y=0，则其顶点坐标为。解过焦点F(2,1)作准线的垂线段，由解几知识可得抛物线顶点为垂线段的中点。又由于准线的

28、斜率k= -2,kOF=21， O 为垂足，从而易得OF 的中点，即顶点为(1, 21)。例 5 老师给出一个函数y=f(x) ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x R，都有 f(1+x)=f(1-x) 乙：在(-,0上函数递减丙：在 (0,+)上函数递增丁： f(0)不是函数的最小值如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数。解由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的一个函数即可。例如同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y=(x-1)2。例 6 假设cos1-sin1=1，则 sin2的值等于。解由cos1-sin1=1 得 sin -

29、cos =sincos令 sin2 =t，则式两边平方整理得t2+4t-4=0 ，解之得 t=22-2 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页例 7 已知 z1=3+4i,z2= -2-5i,则 arg(211zziz)= 。解将 z1=3+4i,z2= -2-5i 代入211zziz整理得211zziz=3i，故 arg(211zziz)=2。例 8假设 (x+x2)n展开式中的第5 项为常数，则n= 。解由 Tr+1=Cnr(x)n-r(x2)r=Cnr2rx23rn及题意可知，当r=4 时， n-3r=0，

30、n=12。二、图像法借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。例 9 假设关于x 的方程21x=k(x-2) 有两个不等实根，则实数k 的取值范围是。解令 y1=21x,y2=k(x-2),由图 14-3 可知 kABk0，其中 AB 为半圆的切线，计算得kAB= -33,-335)。此题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无交点的问题，结合图形判断，易得直线与双曲线的右支有交点。例 11 点 P(x,y)是曲线 C：sincos2yx(为参数， 0 b1，则 logab,logba,logabb 的大小关

31、系是。解考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则 logab=21,logba=2,logabb=31, logabblogablogba。2特殊函数法例 13如果函数f(x)=x2+bx+c 对任意实数t 都有 f(2+t)=f(2-t) ，那么 f(1),f(2),f(4) 的大小关系是。解由 于f(2+t)=f(2-t)， 故 知f(x) 的 对 称 轴 是x=2 。 可 取 特 殊 函 数f(x)=(x-2)2, 即 可 求 得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4 。 f(2)f(1)f(4) 。3特殊角法例 14 cos2+cos2( +120)+cos2( +2

32、40)的值为。解此题的隐含条件是式子的值为定值，即与无关，故可令=0，计算得上式值为23。例 15 已知等差数列 an的公差 d0，且 a1,a3,a9成等比数列，则1042931aaaaaa的值是。解考虑到 a1,a3,a9的下标成等比数列， 故可令 an=n， 又易知它满足题设条件，于是1042931aaaaaa=1613。5图形特殊位置法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页例 16 已知 SA， SB，SC 两两所成角均为60，则平面SAB 与平面 SAC 所成的二面角为。解取 SA=SB=SC ，将问题置于

33、正四面体中研究，不难得平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为arccos31。6特殊点法例 17 椭圆92x+42y=1 的焦点为F1、F2，点 P 为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是。解设 P(x,y)，则当 F1PF2=90时，点 P 的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P 的横坐标x=53，又当点 P在 x 轴上时， F1PF2=0；点 P 在 y 轴上时， F1PF2为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是-53x0) 的焦点， 并且与 x 轴垂直， 假设 l 被抛物线截得的线段长为4，则 a=。解抛物线 y2=a(x+1) 与抛物线y2=ax 具有相同的垂

34、直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程y2=ax替换一般方程y2=a(x+1)求解，而a 值不变。由通径长公式得a=4。8特殊模型法例 19 已知 m,n 是直线，、是平面，给出以下命题：假设，则；假设 n， n，则；假设内不共线的三点到的距离都相等，则；假设 n， m，且 n ,m，则；假设 m,n 为异面直线， n， n， m ,m ,则；则其中正确的命题是。 把你认为正确的命题序号都填上解依题意可构造正方体AC1，如图 14-5，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页四、构造法在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。例 20 如图 14-6，点 P 在正方形ABCD 所在的平面外，PDABCD ，PD=AD ，则 PA 与 BD 所成角的度数为。解根据题意可将上图补形成一正方体，在正方体中易求得为60。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页