2022年高二文科数学立体几何练习题 .pdf

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1、数学立体几何练习题一、选择题： 本大题共8 小题， 每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点， A1MAN2a3，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ) A相交B平行C垂直D不能确定2将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD 平面 CBD ，E 是 CD 中点，则AED的大小为（）A.45oB.30oC.60oD.90o3 PA， PB， PC 是从 P 引出的三条射线， 每两条的夹角都是60o， 则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦

2、值为（）A12B。32C。33D。634正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F 分别是 AA1与 CC1的中点，则直线ED 与 D1F 所成角的余弦值是A15B。13C。12D。325 在棱长为2 的正方体1111DCBAABCD中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是1CC、AD 的中点，那么异面直线 OE 和1FD所成的角的余弦值等于（）A510B32C55D5156在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 AB=2 ， A A1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为（）A43B23C433D37在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 AB=2BB1,则 AB1与 C1B

3、所成的角的大小为（）A.60oB. 90oC.105oD. 75o 8设 E，F 是正方体AC1的棱 AB 和 D1C1的中点，在正方体的12 条面对角线中，与截面A1ECF 成 60 角的对角线的数目是（）A0 B2 C4 D6 9. 平面外一点到平面内一直角顶点的距离为23cm,这点到两直角边的距离都是17cm,则这点到直角所在平面的距离为（）A.40 B.249 C.7 D.1510. 一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是（）（A）（ 0o，90o） （ B）0o ，90o （C）0o ，180o （D）0o ，180o 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分11.

4、在正方体ABCDA1B1C1D1中， M、N 分别为棱 AA1和 BB1的中点，则A B M D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页Q P D C B A ABCDPsinCMuuu r，1D Nuuuu r的值为 _. 12如图，正方体的棱长为1，C、 D 分别是两条棱的中点，A、B、M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是. 13正四棱锥P-ABCD 的所有棱长都相等，E 为 PC 中点，则直线AC 与截面 BDE 所成的角为14已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中

5、点，则直线AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为. 15已知边长为4 2的正三角形ABC 中， E、F 分别为 BC 和 AC 的中点， PA面 ABC ，且 PA=2 ，设平面过PF 且与 AE 平行，则AE 与平面间的距离为16棱长都为2 的直平行六面体ABCD A1B1C1D1中， BAD=60，则对角线A1C 与侧面 DCC1D1所成角的余弦值为 _. 三、解答题 : 本大题共6 小题，共80 分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17如图，直三棱柱111CBAABC，底面ABC中， CA CB1，90BCA，棱21AA，M 、N 分别 A1B1、A1A是的中点(1)

6、求 BM 的长；(2) 求11,cosCBBA的值；(3) 求证：NCBA1118如图，三棱锥PABC 中，PC平面 ABC ，PC=AC=2 ，AB=BC ， D 是 PB 上一点，且 CD平面 PAB (1) 求证： AB平面 PCB；(2) 求异面直线AP 与 BC 所成角的大小；(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值19如图所示，已知在矩形ABCD 中， AB=1，BC=a（a0）， PA平面 AC，且 PA=1（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、 D 的坐标；（2）问当实数a 在什么范围时，BC 边上能存在点Q，使得 PQQD？（3）当 BC 边上有且仅有一个点Q 使得 P

7、QQD 时，求二面角 Q-PD-A 的余弦值大小20. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCDP中，,60aACPAABCaPDPB2，点 E 在PD上，且PE:ED2:1(1) 证明PA平面ABCD；(2) 求以 AC 为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(3) 在棱 PC 上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论21. 如图四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG平面 ABCD ，垂足为 G，G 在 AD 上，且 PG4，GDAG31，BG GC，GBGC2， E 是 BC 的中点(1)求异面直线GE 与 PC 所成的角的余弦值；(2)求点 D 到平面 PBG 的距离

8、；(3)若 F 点是棱 PC 上一点，且DFGC，求FCPF的值22.已知四棱锥SABCD 的底面 ABCD 是正方形， SA底面xyzB1C1A1C B A M N C D B A P E P A G B C D F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页ABCDPxyzABCD，E 是 SC上的任意一点(1)求证：平面 EBD平面 SAC；(2)设 SA4，AB2，求点 A 到平面 SBD 的距离；(3)当SAAB的值为多少时，二面角BSCD 的大小为 120 ？理科立体几何训练题（B）答案一、选择题题号1 2

9、3 4 5 6 7 8 9 10 答案B D D A D B B C C B 二、 填 空题11.4591223 13. 45 1445 15332 16 43三、解答题17 解析： 以 C 为原点建立空间直角坐标系xyzO. (1) 依题意得B（0，1，0）， M（1，0，1）3)01() 10()01(222BM. (2) 依题意得A1（1，0，2）， B（0，1， 0）， C（0，0，0）， B1（0，1， 2）. 1030,cos111111CBBACBBACBBA. (3) 证明：依题意得C1（0，0，2）， N) 0,21,21(),2, 1 , 1(),2 ,21,21(11NC

10、BA. 18解析：(1) PC平面 ABC,AB平面 ABC ，PCAB. CD平面 PAB ，AB平面 PAB ，CDAB 又CCDPC， AB平面 PCB (2 由(I) AB平面 PCB， PC=AC=2 ，又 AB=BC ，可求得BC=2 以 B 为原点，如图建立坐标系则（, 2,），（ 0,0,0）， C（2,0）， P（2, ,2）APuuu r=(2,2,2)，BCuuu r=(2,0,0)则AP BCuuu r uuu r=2 2+0+0=2 cosAP,BCuuu r u uu r=AP BCAPBCuuu r uuu ruuu ruuu r=2222= 21异面直线AP 与

11、 BC 所成的角为3（3）设平面PAB 的法向量为m= (x，y，z)ABuuu r=(0, 2,0),APuuu r=(2,2,2)，则AB0,AP0.uuu ruuu rmm即20,2220.yxyz解得0,2yxz令 z= -1,得 m= (2，0，-1)由 PC平面 ABC 易知：平面PAC平面 ABC ，取 AC 的中点 E，连接 BE，则BE为平面 PAC 的一个法向xyzB1C1A1C B A M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页量，)0, 1 , 1 (22)0,22,22(BE，故平面PAC

12、的法向量也可取为n= (1，1，0)cos,m nm nm n=33232. 二面角C-PA-B 的大小的余弦值为3319解析：（ 1）以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立坐标系如图所示PA=AB=1，BC=a，P（ 0，0，1）， B（1，0，0），D（0，a，0）（2）设点 Q（1，x，0），则(1,0),( 1,1)DQxaQPxuuu ruu u r由0DQQP?uuu ruuu r，得 x2-ax+1=0显然当该方程有非负实数解时，BC 边上才存在点Q，使得 PQQD ，故只须 =a2-40 因 a0，故 a 的取值范围为a 2（3）易见，当a=2 时，

13、BC 上仅有一点满足题意，此时x=1，即 Q 为 BC 的中点取 AD 的中点 M，过 M 作 MN PD，垂足为N，连结 QM 、QN则 M（0，1，0）， P（0，0，1）， D（0，2，0） D、N、P 三点共线，(0,1,0)(0, 1,1)(0,1, )111MDMPMNuuu u ruuu ruuu u r又(0,2,1)PDuuu r，且0MNPD?uuuu ruuu r，故(0,1, )232(0,2,1)0113?于是2 2(0,1,)1 23 3(0, )25 513MNuuu u r故12(1,)55NQNMMQMNABuuu ruuuu ruuu u ruuu u ru

14、uu r1202()( 1)()055PDNQ?uuu ruuu r，PDNQuuu ruuu r MNQ 为所求二面角的平面角6cos6| |NMNQMNQNMNQ?uuuu ruuu ruuuu ruuu rg，注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简. 20 解析： （1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得30；（3）解以 A 为坐标原点，直线APAD,分别为 y 轴、 z轴，过 A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为所以AE)31,32, 0(aa，AC)0,21,23(aa，z Q P D C B A

15、 y x M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页BP),21,23(aaa，设点 F 是棱PC上的点，PCPF),21,23(aaa，其中10，则)1(),1(21),1(23(aaaPFBPBF令AEACBF21得221131)1 (3221)1(2123)1 (23aaaaaaa解得23,21,2121，即21时，AEACBF2321亦即， F 是 PC 的中点时，AEACBF,共面，又BF平面AEC，所以当F 是 PC 的中点时，BF平面AEC21 解析： (1)以 G 点为原点，GPGCGB、为 x 轴、

16、 y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故 E(1，1，0)，GE(1，1，0)，PC(0，2，4)。10102022|cosPCGEPCGEPCGE ，GE 与 PC 所成的余弦值为1010(2) 平面 PBG 的单位法向量n(0， 1，0) )02323(4343，BCADGD，点 D 到平面 PBG 的距离为GD|n |23. (3) 设 F(0， y，z)，则)2323()02323()0(zyzyDF，。GCDF，0GCDF，即032)020()2323(yzy，23y, 又PCPF，即 (0，23，z4)(0 ，2， 4)，z=1，

17、故 F(0，23，1) ，)1210()3230(，FCPF，FCPF3 52352PFPC。22 解析： (1)SA平面 ABCD，BD?平面 ABCD，SABD，四边形 ABCD 是正方形， ACBD，BD 平面 SAC，BD?平面 EBD，平面 EBD平面 SAC. (2)设 ACBDF，连结 SF，则 SFBD，P A G B C D F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页AB2，SA4，BD22，SFSA2AF242( 2)23 2，SSBD12BD SF12 2 2 326，设点 A 到平面 SBD

18、的距离为 h，SA平面 ABCD，13 SSBD h13 SABD SA，6 h12 2 2 4，h43，即点 A 到平面 SBD 的距离为43. (3)设 SAa，以 A 为原点， AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB1，则 C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，SCuuu r(1,1， a)，SBuuu r(1,0，a)，SDuu u r(0,1， a)，再设平面 SBC、平面 SCD 的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则111111100n SCxyazn SBxazuu u ruu u ry10，从而可取 x1a，则 z11，n1(a,0,1)，x20，从而可取 y2a，则 z21，n2(0，a,1)，cosn1，n21a21，要使二面角 BSCD 的大小为 120 ，则1a2112，从而 a1，即当SAABa11 时，二面角 BSCD 的大小为 120 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页