2022年高中数学人教A版优秀教案概率的基本性质 .pdf

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1、学习必备欢迎下载3.1.3 概率的基本性质整体设计教学分析教科书通过掷骰子试验,定义了许多事件,及其事件之间的关系,事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念. 教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述 ,没有给出严格的定义,严格的定义 ,要到大学里的概率统计课程中才能给出. 三维目标（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学

2、思想. （2）概率的几个基本性质：必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此 0P(A)1 ；当事件 A 与 B 互斥时 ,满足加法公式： P(AB)=P(A)+P(B) ； 若事件 A 与 B 为对立事件 ,则 AB为必然事件 ,所以 P(AB)=P(A)+P(B)=1, 于是有 P(A)=1-P(B). （3）正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣 . 重点难点教学重点：概率的加法公式及其应用. 教学难点：事件的关系与运算. 课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1

3、 体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50 名学生参加了体育考试,结果如下：优85 分及以上9 人良7584 分15 人中6074 分21 人不及格60 分以下5 人在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“ 优良 ” （优或良）的概率是多少？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题. 思路 2 （1）集合有相等、包含关系,如1,3=3,1,2,42,3,4,5 等；（2）在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1= 出现 1 点,C2= 出现 2 点,C3= 出现 1 点或 2 点,C4= 出现的点数为偶数 .

4、师生共同讨论： 观察上例 ,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载思路 3 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7 和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质 . 推进新课新知探究提出问题在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1= 出现1 点,C2= 出现2 点 ,C3= 出现3点,C4= 出现 4 点,C5=

5、出现 5 点,C6= 出现 6点 ,D1= 出现的点数不大于1,D2= 出现的点数大于 3,D3= 出现的点数小于5,E= 出现的点数小于7,F= 出现的点数大于6,G= 出现的点数为偶数 ,H= 出现的点数为奇数,类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件. (1)如果事件C1发生 ,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？(2)如果事件C2发生或 C4发生或 C6发生 ,就意味着哪个事件发生？(3)如果事件D2与事件 H 同时发生 ,就意味着哪个事件发生？(4)事件 D3与事件 F 能同时发生吗？(5)事件 G 与事件 H 能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？活

6、动： 学生思考或交流,教师提示点拨 ,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案. 讨论结果：(1)如果事件 C1发生 ,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之 ,如果事件 D1,E,D3,H 分别成立 ,能推出事件 C1发生的只有D1. (2)如果事件C2发生或 C4发生或 C6发生 ,就意味着事件G 发生 . (3)如果事件D2与事件 H 同时发生 ,就意味着 C5事件发生 . (4)事件 D3与事件 F 不能同时发生. (5)事件 G 与事件 H 不能同时发生,但必有一个发生. 由此我们得到事件A,B 的关系和运算如下: 如果事件A 发生 ,则事件 B 一定发生 ,这时我们说

7、事件B 包含事件A（或事件A 包含于事件 B）,记为 BA（或 AB）,不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件. 如果事件A 发生 ,则事件 B 一定发生 ,反之也成立 ,（若 BA 同时 AB）,我们说这两个事件相等 ,即 A=B. 如 C1=D1. 如果某事件发生当且仅当事件A 发生或事件 B 发生 ,则称此事件为事件A 与 B的并事件（或和事件） ,记为 AB 或 A+B. 如果某事件发生当且仅当事件A 发生且事件 B 发生 ,则称此事件为事件A 与 B的交事件（或积事件） ,记为 AB 或 AB. 如果 AB 为不可能事件 （ AB=）,那么称事件A 与事件 B 互斥 ,即事件 A

8、与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生. 如果 AB 为不可能事件 ,AB 为必然事件 ,那么称事件A 与事件 B 互为对立事件,即事件A 与事件 B 在一次试验中有且仅有一个发生. 继续依次提出以下问题: （1）概率的取值范围是多少? （2）必然事件的概率是多少? （3）不可能事件的概率是多少? （4）互斥事件的概率应怎样计算? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载（5）对立事件的概率应怎样计算? 活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生 ,根据概率的意义: （ 1）由于事件

9、的频数总是小于或等于试验的次数,所以 ,频率在0 1 之间 ,因而概率的取值范围也在 01 之间 .（2）必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1. （3）不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0. （4）当事件A 与事件 B 互斥时 ,AB 发生的频数等于事件A 发生的频数与事件B 发生的频数之和 ,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和. （5）事件 A 与事件 B 互为对立事件 ,AB 为不可能事件 ,AB 为必然事件 ,则 AB 的频率为 1,因而概率是1,由（ 4）可知事件B 的概率是1 与事件 A 发生的概率的差. 讨论结果：（1

10、）概率的取值范围是01 之间 ,即 0P(A)1.（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E= 出现的点数小于7, 因此 P(E)=1. （3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F= 出现的点数大于6, 因此 P(F)=0. （4）当事件A 与事件 B 互斥时 ,AB 发生的频数等于事件A 发生的频数与事件B 发生的频数之和 ,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即 P(AB)=P(A)+P(B), 这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式. （5）事件 A 与事件 B 互为对立事件,AB 为不可能事件 ,AB 为必然事件 ,P(AB)=1.所以1=P(A)+P(

11、B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G= 出现的点数为偶数 与H= 出现的点数为奇数互为对立事件,因此 P(G)=1-P(H). 上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它的应用. 应用示例思路 1 例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A：命中环数大于7 环；事件 B：命中环数为10 环；事件 C：命中环数小于6 环；事件 D：命中环数为6、7、8、9、10 环. 活动： 教师指导学生 ,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两

12、事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生 ,另一个必发生.解： A 与 C 互斥（不可能同时发生）,B 与 C 互斥 ,C 与 D 互斥 ,C 与 D 是对立事件（至少一个发生） . 点评： 判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义 ,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提 . 变式训练从一堆产品（其中正品与次品都多于2 件）中任取2 件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是 ,再判断它们是不是对立事件. （1）恰好有1 件次品恰好有2 件次品；（2）至少有1 件次品和全是次品；（3）至少有1 件正品和至少有1 件次品；（4）至少有1

13、件次品和全是正品.解： 依据互斥事件的定义,即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断： （2）中的2 个事件不是互斥事件,也不是对立事件.（3）中的 2 个事件既不是互斥事件也不是对立事件.（ 4）中的 2 个事件既互斥又对立. 例 2 如果从不包括大小王的52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载是41,取到

14、方块（事件B）的概率是41,问：（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？活动：学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件 C 是事件 A 与事件 B 的并 ,且 A 与 B 互斥 ,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件 C 与事件 D 是对立事件 ,因此 P(D)=1-P(C).解： （1）因为 C=A B,且 A 与 B 不会同时发生 ,所以事件A 与事件 B 互斥 ,根据概率的加法公式得 P(C)=P(A)+P(B)=21. （2）事件C 与事件D 互斥 ,且CD为必然事件,因此事件C 与事件D 是对立事件,P(D)=1-P(C)=21. 点评： 利

15、用概率的加法公式,一定要注意使用条件,千万不可大意 . 变式训练某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、 8 环、 7 环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中：（1）射中 10 环或 9 环的概率；（2）少于 7 环的概率 .解： （1）该射手射中10 环与射中9 环的概率是射中10 环的概率与射中9 环的概率的和,即为 0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7 环的概率恰为射中10 环、 9 环、 8 环、 7 环的概率的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97, 而射中少于7 环的事件与射中不少于7 环的事件为对立事件

16、,所以射中少于7 环的概率为1-0.97=0.03. 思路 2 例 1 抛掷一骰子 ,观察掷出的点数,设事件 A 为“ 出现奇数点 ”,B为“ 出现偶数点 ”,已知 P(A)= 21,P(B)=21,求出 “ 出现奇数点或偶数点” 的概率？活动：学生思考或讨论,教师引导 ,抛掷骰子 ,事件 “ 出现奇数点 ” 和“ 出现偶数点 ” 是彼此互斥的 ,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.解 ： 记 “ 出 现 奇 数 点 或 偶 数 点 ” 为 事 件 C, 则C=AB, 因 为A 、 B 是 互 斥 事 件 ,所 以P(C)=P(A)+P(B)=21+21=1. 出现奇数点或偶数点的

17、概率为1. 变式训练抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数 ,事件 B 为出现 2 点,已知 P（A）=21,P（B）=61,求出现奇数点或2 点的概率之和.解： “ 出现奇数点 ” 的概率是事件A,“ 出现 2 点” 的概率是事件B,“ 出现奇数点或2 点” 的概率之和为 P（C）=P（A）+P（ B）=21+61=32. 例 2 袋中有 12 个小球 ,分别为红球、 黑球、黄球、绿球 ,从中任取一球 ,得到红球的概率为31,得到黑球或黄球的概率是125,得到黄球或绿球的概率也是125,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？精选学习资料 - - - - - - - -

18、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载活动： 学生阅读题目 ,交流讨论 ,教师点拨 ,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解 .解： 从袋中任取一球,记事件 “ 摸到红球 ”“摸到黑球 ”“摸到黄球 ”“摸到绿球 ” 为 A、B、C、 D,则有P(BC)=P(B)+P(C)=125； P(CD)=P(C)+P(D)=125；P(BCD)=1-P(A)=131=32,解得 P(B)=41,P(C)=61,P(D)=41. 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41. 变式训练已知盒子中有散落的棋子15 粒,其中 6 粒是黑子

19、 ,9 粒是白子 ,已知从中取出2 粒都是黑子的概率是71,从中取出2 粒都是白子的概率是3512,现从中任意取出2 粒恰好是同一色的概率是多少？解： 从盒子中任意取出2 粒恰好是同一色的概率恰为取2 粒白子的概率与2 粒黑子的概率的和,即为71+35173512. 知能训练1.下列说法中正确的是（）A.事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比A、B 中恰有一个发生的概率大B.事件 A、B 同时发生的概率一定比事件A、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案： D 2.课本练习15. 拓展提升1.从男

20、女学生共有36 名的班级中 ,任意选出 2名委员 ,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21,求男女生相差几名?解： 设男生有 x 名 ,则女生有36-x 名.选得 2 名委员都是男性的概率为3536) 1(xx. 选得 2 名委员都是女性的概率为3536)35)(36(xx. 以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于21,得3536)1(xx+3536)35)(36(xx=21.解得 x=15 或 x=21. 即男生有15 名,女生有 36-15=21 名,或男生有21 名,女生有 36-21=15 名. 总之 ,男女生相差6 名. 2.黄种人群中各种血型的人所占的比如

21、下表所示：血型A B AB O 该血型的人所占比/% 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB 型血的人 ,其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血 ,若小明因病需要输血,问：(1)任找一个人 ,其血可以输给小明的概率是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载(2)任找一个人 ,其血不能输给小明的概率是多少？解： （1）对任一人 ,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A,B,C,D,它们是互斥的 .由已知,有 P(A)=0.2

22、8,P(B )=0.29,P(C )=0.08,P(D )=0.35.因为 B,O 型血可以输给B 型血的人 ,故“ 可以输给B 型血的人 ” 为事件 B+D .根据互斥事件的加法公式 ,有 P(B+D )=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.（2）由于A,AB型血不能输给B 型血的人 ,故“ 不能输给B 型血的人 ” 为事件A+C ,且P(A +C )=P(A )+P(C )=0.28+0.08=0.36.即任找一人 ,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概率为0.36. 注：第（ 2）问也可以这样解：因为事件“ 其血可以输给B 型血的人 ” 与事件 “ 其血不

23、能输给B型血的人 ” 是对立事件 ,故由对立事件的概率公式,有 P( DB)=1-P(B+D )=1-0.64=0.36. 课堂小结1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生 ,因此其概率为1.当事件 A 与事件 B 互斥时 ,AB 发生的概率等于A 发生的概率与B 发生的概率的和 ,从而有公式P （AB）=P（A）+P（ B） ；对立事件是指事件A 与事件 B 有且仅有一个发生 . 2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（ 1）事件 A

24、 发生且事件B 不发生；（2）事件 A 不发生且事件B 发生； （3）事件 A 与事件 B 同时不发生 ,而对立事件是指事件A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形:事件 A 发生 B 不发生；事件B 发生事件A 不发生 ,对立事件是互斥事件的特殊情形. 作业习题 3.1A 组 5,B 组 1、2. 设计感想本堂课通过掷骰子试验,定义了许多事件,并根据集合的运算定义了事件的运算,给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式,在运用时要切实注意它们的使用条件,不可模棱两可 ,搞清互斥事件和对立事件的关系,思路 1 和思路 2 都安排了不同层次的例题和变式训练,对刚学的知识是一个巩固和加强,同学们要反复训练,安排的题目既有层次性,又有趣味性 ,适合不同基础的学生,因此本节课授完后,同学们肯定受益匪浅. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页