2022年雅可比行列式 .pdf

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1、1 11.2 . 函数行列式教学目的掌握函数行列式教学要求(1) 掌握函数行列式(2) 能用函数行列式解决一些简单的问题一、函数行列式由nAR 到 R的映射或变换就是n 元函数，即12(, )nnx xxyfARRR，或1212(,),(,).nnyf xxxx xxA由nAR 到nR 的映射或变换就是n 个 n 元函数构成的函数组，即1212(,)nnnnnx xxy yyfARRR，或1112221212,12(,),(,),(,).(1)(,).nnnnnnyf x xxyfx xxx xxAyfx xx表为12(,)nfff，设它 们对每个 自 变量都 存 在偏导数,1,2,1,2ij

2、fin jnx， 行列 式111122221212nnnnnnfffxxxfffxxxfffxxx2称 为 函 数 组12(,)nfff在 点12,(,)nx xx的 雅 可 比 行 列 式 ， 也 称 为 函 数 行 列 式 ， 表 为121212,12,(,)(,)(,)(,)nnnnfffDfffx xxD x xx或. 例：求以下函数组变换的函数行列式：cos ,sin .xryr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页2 cossin( , )sincos( ,)xxrrx yyyrrr22cossin.rrr2

3、. 柱面坐标变换cos ,sin,.xryrzz22cossin0( , , )sincos0cossin( , )001xxxrzrx y zyyyrrrrrzrzzzzrz. sincos ,sinsin,cos .xryrzr2sincoscos cossinsin( , , )sinsincossinsincossin .( , , )cossin0 xxxrrrx y zyyyrrrrrrzzzr二、函数行列式的性质为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n 都是正确的 . 已知一元函数( )yf x与( )xt的复合函数 ( )yft的导数是dydy dxdtd

4、x dt，与它类似的有：定理 1. 假设函数组( , ),( , )uu x yvv x y有连续的偏导数，而( , ),( , )xx s tyy s t也有连续偏导数，则( , )( , )( , )( , )( , )( , )u vu vx ys tx ys t. 证明： 由复合函数的微分法则，有,uuxuyuuxuysxsystxtyt,vvxvyvvxvysxsystxtyt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页3 由行列式的乘法，有( , )( , )uxuyuxuyuuxsysxtytu vstvvvxv

5、yv xvys tstxsysxtyt( , )( ,)( ,)( , )uuxxxyu vx ystvvyyx ys txyst. 假设一元函数( )yf x在点0 x某邻域具有连续的导数( )fx，且0()0fx. 由连续函数的保号性，在点0 x某邻域0,( )()fxfx与保持同一符号， 因而在函数( )yf x严格单调， 它存在反函数( )xy，且1.dxdydydx和它类似的有：定理 2. 假设函数组( , ),( , )uu x yvv x y有连续的偏导数， 且( , )0( , )u vx y，则存在有连续偏导数的反函数组( , ),( , )xx u vyy u v，且( ,

6、)1.(3)( , )( , )( ,)x yu vu vx y证明： 11.1. 定理 3 的推论已给出存在连续偏导数组的证明. 下面证明 3式成立 . 在定理 1 中，令,su tv，有( , )( ,)( , )( ,)( , )( , )u vx yu vx yu vu v10101uuuvvvuv，即( , )1( , )( , )( , )u vx yx yu v，( , )0( , )u vx y. 三、函数行列式的几何性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页4 一元函数( )yf x是1R 到1R0 x

7、，它的象是00()yf x. 当自变量 x 在点0 x有改变量x ，相应 y在0y有改变量y. 线段y的长y 与线段x 的长x 之比yx称为映射 f 在0 x到0 xx的平均伸缩系数 ，假设当0 x时平均伸缩系数yx存在极限，即00000()()limlim()xxyf xxf xfxxx，则称0()fx是映射 f 在点0 x的伸缩系数 . 由此可见， 一元函数( )yf x在点0 x的导数的绝对值0()fx有新的几何意义：它是映射f在点0 x的伸缩系数 . 同样，2R 到2R 的变换( ,),( ,)uu x y vv x y也有类似的几何意义 . 定理 3 . 假设函数组( ,),( , )uu x y vv x y在开区域 G存在连续的偏导数，且 ( , )x yG，有( , )( , )0( ,)u vJ x yx y. 函数组将 xy 平面上开区域 G变换称 uv 平面上的开区域G. 点00(,)xyG变换成 uv 平面上点000000(,) (,), (,)uvu xyv xyG，则包含点00(,)uv的面积微元d与对应的包含点00(,)xy的面积微元之比是00(,)J xy，即0000(,)( , )(,)( , )xydu vJ xydx y. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页