2022年恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用 .pdf

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1、精品资料欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1） 若不等式Axf)(在区间D上恒成立 ,则等价于在区间D上Axfmin)(， 即)(xf的下界大于A（2）若不等式Bxf)(在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上Bxfmax)(, 即)(xf的上界小于B例 1设22)(2axxxf, 当,1x时，都有axf)(恒成立，求a的取值范围例 2已知xaxxxf2)(2对任意, 1x，0)(xf恒成立 , 试求实数a的取值范围例3 R上 的 函 数)(xf既 是 奇 函 数 ， 又 是 减 函 数 ， 且 当)2,0(时 ， 有0)2

2、2()sin2(cos2mfmf恒成立，求实数m的取值范围 . 例 4已知函数)0(ln)(44xcbxxaxxf在1x处取得极值c3，其中ba、为常数 . （1）试确定ba、的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意0 x，不等式22-)(cxf恒成立，求c的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页精品资料欢迎下载2、主参换位法例 5. 若不等式01ax对2, 1x恒成立，求实数a的取值范围 . 例 6. 若对于任意1a，不等式024)4(2axax恒成立，求实数x的取值范围 . 例7. 已

3、知 函 数1) 1(233)(23xaxxaxf， 其 中a为 实 数 若 不 等 式1)( 2axxxf对任意),0(a都成立，求实数x的取值范围3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为)()(xfg（或)()(xfg）恒成立的形式；（2）求)(xf在Dx上的最大（或最小）值；（3）解不等式max)()(xfg( 或min)()(xfg) ，得的取值范围适用题型：（1）参数与变量能分离； （2）函数的最值易求出。例 8当)2, 1(x时，不等式042mxx恒成立，求m的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共

4、14 页精品资料欢迎下载例 9已知函数331)(23xbxaxxf, 其中0a（1）当ba、满足什么条件时,)(xf取得极值 ? （2）已知0a, 且)(xf在区间1 ,0上单调递增 , 试用a表示出b的取值范围 . 4、数形结合例 10若对任意Rx, 不等式axx恒成立，则实数a的取值范围是 _例 11当)2, 1(x时，不等式xxalog)1(2恒成立，求a的取值范围二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式Axf)(成立 , 则等价于在区间D上Axfmax)(；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf)(成立 , 则等价于在区间D上的Bxfmin)(. 例 12已知不等式a

5、xx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围例 13若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，求实数a的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精品资料欢迎下载例 14已知函数xaxxxf221ln)(2（0a）存在单调递减区间，求a的取值范围三、不等式恰好成立问题的处理方法例 15不等式012bxax的解集为311xx则ab_例 16已知xaxxxf2)(2当,1x，)(xf的值域是,0, 试求实数a的值 . 例 17已知两函数kxxxf168)(2，xxxxg452)(23，其中k为实数（1）对任

6、意3,3x，都有)()(xgxf成立，求k的取值范围；（2）存在3 , 3x，使)()(xgxf成立，求k的取值范围；（3）对任意3 ,3,21xx，都有)()(21xgxf，求k的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精品资料欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1若不等式0)1(3)1() 1(2mxmxm对任意实数x恒成立，求实数m取值范围2已知不等式22622xxkxkx对任意的Rx恒成立，求实数k的取值范围3设函数axxxxf629)(23对于任意实数x，mxf)( 恒成立，求m的最大值4对

7、于满足2a的所有实数a, 求使不等式xaaxx212恒成立的x的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页精品资料欢迎下载5已知不等式022axx对任意实数3,2x恒成立，求实数a的取值范围6对任意的2,2a，函数axaxxf24)4()(2的值总是正数，求x的取值范围7若不等式0log2xxm在)21, 0(内恒成立，则实数m的取值范围 _8不等式)4(xxax在3 ,0 x内恒成立，求实数a的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14

8、页精品资料欢迎下载9不等式022kkx有解，求k的取值范围10对于不等式axx12，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是M；对于任意5 ,0 x，使此不等式恒成立的实数a的集合为N，求集合M，N11对一切实数x, 不等式axx23恒成立，求实数a的范围若不等式axx23有解，求实数a的范围若方程axx23有解，求实数a的范围12若yx,满足方程1)1(22yx，不等式0cyx恒成立，求实数c的范围若yx,满足方程1)1(22yx，0cyx，求实数c的范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页精品资料欢迎下载13

9、设函数bxaxxxf2342)(，（Rx） ， 其中Rba, 若对于任意的2,2a，不等式1)(xf在1 , 1x上恒成立，求b的取值范围14 设函数aaxxaxxf244)1 (31)(23， 其中常数1a， 若当0 x时，0)(xf恒成立，求a的取值范围15已知向量),1 (),1,(2txbxxa。若函数baxf)(在区间)1 , 1(上是增函数，求t的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页精品资料欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案例 1、解： a 的取值范围为 -3 ，1 例 2、 解：

10、等价于022axxx对任意, 1x恒成立 , 又等价于1x时,x的最小值0成立 . 由于112axx在, 1上为增函数 , 则31minax, 所以3, 03aa例 3、解：由022sin2cos2mfmf得到：22sin2cos2mfmf因为xf为奇函数，故有22sin2cos2mfmf恒成立，又因为xf为 R减函数， 从而有22sin2cos2mm对2, 0恒成立设tsin，则01222mmtt对于1 ,0t恒成立，在设函数1222mmtttg, 对称轴为mt. 当0mt时，0120mg，即21m，又0m021m( 如图 1) 当1 ,0mt，即10m时, 012442mmm, 即0122

11、mm, 2121m, 又1 ,0m, 10m( 如图 2) 当1mt时，0212211mmg恒成立 .1m( 如图 3) 故由可知：21m. 例 4、解： （1） （2）略（ 3）由（ 2）知，)(xf在1x处取得极小值cf3)1(，此极小t g(t) o 1 图 1 t=m t g(t) o 1 图 2 t=m t g(t) o 1 图 3 t=m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页精品资料欢迎下载值也是最小值. 要使)0(2)(2xcxf恒成立，只需223cc. 即0322cc，从而0)1)(32(cc. 解得

12、23c或1c. c的取值范围为),23 1,(. 例 5、解：12a例 6、解：(,1)(3,)x例7、解析：由题设知“223(1)1axxaxxa对(0)a，都成立，即22(2)20a xxx对(0)a，都成立。设22( )(2)2g axaxx（aR） ，则( )g a是一个以a为自变量的一次函数。220 x恒成立，则对xR，( )g a为R上的单调递增函数。所以对(0)a，( )0g a恒成立的充分必要条件是(0)0g，220 xx，20 x，于是x的取值范围是|20 xx。例 8、解析 : 当(1,2)x时，由240 xmx得24xmx. 令244( )xf xxxx，则易知( )f

13、x在(1,2)上是减函数， 所以1,2x时( )(1)5maxf xf，则2m i n4()5xx5m. 例 9、 解析： （1）2ab（2）)(xf在区间(0,1上单调递增2( )210fxaxbx在(0,1上恒成立1,(0,122axbxx恒成立max1()22axbx，(0,1x。设1( )22axg xx，2221()1( )222a xaagxxx，令( )0gx得1xa或1xa( 舍去 )，当1a时,101a，当1(0,)xa时( )0gx，1( )22axg xx单调增函数；当1(,1xa时( )0gx，1( )22axg xx单调减函数 , 精选学习资料 - - - - - -

14、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页精品资料欢迎下载max( )g x1()gaa。ba。当01a时，11a，此时( )0g x在区间(0,1恒成立，所以1( )22axg xx在区间(0,1上单调递增，max( )g x1(1)2ag，12ab。综上，当1a时, ba；当01a时，12ab。例 10、解析：对xR, 不等式|xax恒成立则由一次函数性质及图像知11a，即11a。例 11、解： 10,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p) 在-2,2上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或

15、或x3. 5、解：0a 6 、解：),4()0,(x 7 、解：)1 ,161x y 0 3 axy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页精品资料欢迎下载8、解：画出两个凼数axy和)4(xxy在3,0 x上的图象如图知当3x时3y，33a当33a3,0 x时总有)4(xxax所以33a9 、 解 ： 不 等 式220kxk有 解2(1 )2k x有 解221kx有 解2ma x221kx，所以(2)k，。10、解：由21(1)( )213( 12)21(2).xxf xxxxxx，又( )af x有解min( )3

16、af x，所以3 Maa令( )g x2105 ()xxxagx，恒成立max()(5)9agxg所以9Na a11、解：5a5a5 ,5a 12 、解：12c21,21c13、解：322( )434(434)fxxaxxxxax由条件2 2a，可知29640a，从而24340 xax恒成立当0 x时，( )0fx；当0 x时，( )0fx因此函数( )f x在11 ，上的最大值是(1)f与( 1)f两者中的较大者为使对任意2 2a，不等式( )1f x在11 ，上恒成立，当且仅当max( )1fx，即(1)1( 1)1ff，即22baba在2 2a，上恒成立即minmin( 2)( 2)ba

17、ba，2 2a，所以4b，因此满足条件的b的取值范围是4，14、解： （II ）由（ I ）知，当0 x时，)(xf在ax2或0 x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1()2(31)2(23aaa2443423；af24)0(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页精品资料欢迎下载则由题意得,0)0(, 0)2(1fafa即. 024, 0)6)(3(34, 1aaaaa解得16a(1,6)a。15、解：依定义ttxxxxtxxxf232)1()1()(。则txxxf23)(2，若)(xf在（ -1 ，1）上是增函数，则在（-1 ，1）上可设0)(xf恒成立。0)(xfxxt232在（ -1 ，1）上恒成立。考虑函数xxxg23)(2， （如图）由于)(xg的图象是对称轴为31x，开口向上的抛物线，故要使xxt232在（ -1 ，1）上恒成立)1(gt，即5t。而当5t时，)(xf在（ -1 ，1）上满足)(xf0，即)(xf在（ -1 ，1）上是增函数。故t 的取值范围是5t. o x 1 -1 y g(x) 31x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页