2022年高中人教数学b版必修课时作业与单元检测第三章基本初等函数第课时实数指数幂及其运算 2.pdf

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1、第 23 课时实数指数幂及其运算(2) 课时目标1.熟练掌握指数幂的运算法则2加深根式的性质、分数指数幂的运算识记强化1根式的性质：(1)(na)na(n1，且 nN)；(2)当 n 为奇数时nana，当 n 为偶数时nan |a|. 2分数指数幂的运算法则：ana(a0)；amn(na)mnam(a0， m， nN且mn为既约分数 ) amn1nam(a 0，m，nN且mn为既约分数 ) 3设 a0，b0，对任意有理数 、 ，有理指数幂有如下三条运算法则aa a，(a)a， (ab)ab. 课时作业(时间： 45 分钟，满分：90 分) 一、选择题 (本大题共6小题，每小题5分，共 30 分

2、) 1下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是() A(1)和(1) B02和 0 C2 和 4 D 432和(12)3答案： C 解析： 选项A 中， (1)和( 1)均不符合分数指数幂的定义，故A 不满足题意；选项B 中， 0 的负分数指数幂没有意义，故B 不满足题意；选项D 中， 432和(12)3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中， 22，442222，满足题意故选C. 2将22 2化为分数指数幂为() A2 B 2 C2 D 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页答案：

3、D 解析：22 2 (2)2. 3计算： 3(13)(222)215的值为 () A17 B18 C6 D5 答案： B 解析： 3(13)(222)215(313)2222 1124118. 4已知 x2x2 2 2且 x 1，则 x2x2的值为 () A2或 2 B 2 C.6 D2 答案： D 解析： 解法一：x1， x21. 由 x2x222可得 x221. x2x22112121(21)2. 解法二：令x2x2t， x2x222，22得 t24. x1， x2x2， t0，于是 t2. 即 x2x22.故选 D. 5. 112211321142 112 0122的值是 () A.4

4、0234 024 B.1 0052 012C.12 D.2 0134 024答案： D 解析： 原式132224322 0102 0122 01122 0112 0132 01222 0134 024. 6下列四个结论：当 a0 时， (a2)a3；nan|a|(n1，nN)；函数 y(3x)(3x7)0的定义域是 (， 3)；若 100a5,10b2，则 2ab1. 其中正确的个数是() A0 B 1 C2 D 3 答案： B 解析： 中，当a 0时， (a2) (a2)3|a|3 a3，不正确；中，当 n 是正偶数时，nan|a|成立，当n 是正奇数时，nana，不正确；精选学习资料 -

5、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页中，有3 x0，3x70，则 x3且 x73，故定义域为，73 (73，3，不正确；中，100a5,10b2， 102a5,10b2,102a10b52. 102ab101. 2a b1.正确故选 B. 二、填空题 (本大题共3个小题，每小题5分，共 15 分) 7.3.1424.142_. 答案： 1 解析：3.1424.142|3.14|4.14| 3.14 4.141. 8计算： 8 (0.5)3(13)6(8116)34_. 答案： 4 解析： 8 (0.5)3(13)6(8116)34(2

6、3) (21)3 (312)6(32)4 34 22 2333(32)348 278274. 9.112 307210_. 答案：62 解析：11 2 307210625655 2522652522655262. 三、解答题 (本大题共4小题，共45 分) 10(12 分)计算：(1)(214)0.50.75262(827)23；(2)(0.25)12 2(20152014)02 (2)3 2310(23)11030.5；(3)(74 3)81322(18)2332 (413)1. 解： (1)(214)0.50.75262(827)23(32)212(34)2136(23)3 2332(34

7、)2136(23)232916136941. (2)(0.25) 12 2(20152014)02(2)3 2310(23)110 30.5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页(0.5)2 12 (21)2(2)210123 103 241410(23)103 21. (3)(74 3)81322(18)2332 (413)1(23)2(34)(25)2(23) 232(22) 233882 4. 11(13 分)已知 xx12 3，计算：(1)x x1；(2)x2x2 7xx13. 解： (1)将 xx123 两边

8、平方，得xx1232，即 xx17，(xx12)2xx12x x12 7215，即 xx12 5. xx1(xx12)(x x12) 3 5. (2)将 xx1 7两边平方，得x2x2249，x2x247，x2x27xx13477734. 能力提升12(5 分)式子3535的化简结果为 () A1 B10 C100 D.10 答案： D 解析： (3535)23535235 35 62410. 13(15 分)当 x0，y0，且x(xy) 3 y(x5y)时，求2xxy3yxxyy的值解： 由已知得xxy3 xy 15y? 2 xyx15y? x234xy225y20? (x25y)(x9y)

9、0. 当 x25y 时，2xxy3yxxyy50y5y3y25y 5yy58y29y 2；当 x9y 时，2xxy 3yxxy y18y 3y3y9y 3yy24y11y2411. 习题课 (一) 时间： 45 分钟总分： 90 分一、选择题 (每小题 5 分，共 30分) 1已知下面的关系式：a? a； 00 ， 0?； 1 1,2 其中正确的个数是() A1 B 2 C3 D 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页答案： A 解析： 根据元素与集合、集合与集合的关系可知，错误，正确，错误，错误故选 A. 2设集

10、合U1,2,3,4,5 ，A1,2,3 ，B2,5 ，则 A(?UB)等于 () A2 B 2,3 C3 D 1,3 答案： D 解析：?UB1,3,4 ， A(?UB)1,3 ，故选 D. 3设集合Ax|1x2 ，Bx|x a ，若 A? B，则实数a 的取值范围是 () Aa|a 1 B a|a1 C a|a 2 D a|a2 答案： B 解析： 由子集的概念，可知a1，故选 B. 4设集合Ax|12x2 ，Bx|1x 1，则 AB() Ax|1x2 B x|12x1 C x|x2 D x|1 x2 答案： A 解析： 利用数轴求解，易知A Bx|1x 2，故选 A. 5已知集合A x|x

11、a，B x|1x2 ，且 A(?RB)R，则实数a 的取值范围为() Aa|a 2 B a|a1 C a|a 2 D a|a2 答案： C 解析： 由已知，得?RBx|x1或 x 2，又 A (?RB)R，所以 a 2，故选 C. 6定义集合运算：AB z|z xy(x y)， x A， yB ，设集合A 0,1 ， B2,3 ，则集合AB 的所有元素之和为() A0 B6 C12 D18 答案： D 解析： x0，y2 或 y3 时 z0；x1，y2 时 z6；x1，y3 时 z12， AB0,6,12 ，故选 D. 二、填空题 (每小题 5 分，共 15分) 7已知集合M0,1,2 ，Nx

12、|x2a，aM，则集合MN_. 答案： 0,2 解析： N0,2,4 ， MN0,2 8设A( x，y)|axy30，B( x，y)|xyb0若AB(2,1) ，则a_，b_. 答案： 11 解析： AB(2,1) ， (2,1) A， 2a13 0，a1.(2,1) B， 21 b0，b1. 9方程x2px60 的解集为M，方程 x2 6xq 0的解集为N，且 MN2 ，那么以 p、q 为根的一元二次方程为_答案： x221x800 解析： 由 MN2 ， 222p60，p5； 22 12q 0，q16，pq21，p q80，所以以 p、q 为根的一元二次方程为x221x 800. 三、解答

13、题 (本大题共4小题，共45 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页10(12 分)已知集合A4,2a1，a2，B a 5,1a,9，若 9(AB)，求 a 的值解： 9(AB)， 9A，且 9B，2a19 或 a29， a5 或 a 3. 当 a3 时， B2， 2,9 ，违反了元素的互异性，故 a3(舍去 )当 a 3 时， A 4， 7,9 ， B 8,4,9 ，满足 9(AB)当 a5 时， A4,9,25 ，B0， 4,9 ，满足 9(AB)综上所述， a 3 或 a5 时，有 9(A B)11(13

14、分)已知集合A 3,4 ， B x|x2 2axb0 ，若B? 且 ABB，求a，b 的值解： 因为 ABB，所以 B? A. 又因为 A3,4 且 B?，所以 B3或4 或3,4 若 B 3，则2a 3 3 6b 3 3 9，即a 3b9；若 B4 ，则2a 448b4416，即a4b16；若 B 3,4 ，则2a 3 41b 3 4 12，即a12b 12. 综上所述， a 3，b9或 a 4，b16 或 a12，b 12. 能力提升12 (5 分 )设 2 013 x，x2，x2则满足条件的所有x 组成的集合的真子集个数为() A3 B 4 C7 D 8 答案： A 解析： 由集合元素的

15、不可重复性x 2 013 或 x2 013，满足条件的所有x构成集合含有两个元素，其真子集有2213 个13(15 分)若函数 f(x)ax2ax1a的定义域是一切实数，求实数a 的取值范围解： 函数 yax2ax1a的定义域是一切实数，即对一切实数x，ax2ax1a 0 恒成立，即a0， a24a1a0，a0，a24解得 0a 2. 故所求实数a的取值范围是 a|00 ，x23x x0 .)作出其图象如图，观察图象知递增区间为0，32. 8已知函数f(x)x26x8，x 1，a，并且 f(x)的最小值为f(a)，那么实数a 的取值范围是 _答案： (1,3 解析： 由题意知f(x)在 1，a

16、内是单调递减的又 f(x)的单调递减区间为(，3)， 1a 3. 9若函数f(x)(xa)(bx 2a)(常数 a、bR)是偶函数，且它的值域为(， 4，则该函数的解析式f(x)_. 答案： 2x24 解析： f( x) f(x)且f(x)bx2(2aab)x2a2， b(x)2(2aab)( x) 2a2bx2(2aab)x2a2， (2aab)2aab，即 2aab 0， a0 或 b 2. 当 a0 时， f(x)bx2， f(x)的值域为 (，4，而 ybx2的值域不可能为( ，4， a0. 当 b 2 时， f(x) 2x22a2，值域为 (，2a2， 2a24， a22， f(x)

17、 2x24. 三、解答题 (本大题共4小题，共45 分) 10(12 分)已知函数f(x)ax22(a1)x2. (1)若 f(x)的单调区间为(， 4)，求 a 的值；(2)若 f(x)在区间 (， 4)上是减函数，求a 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页解： (1)由题意知1 aa4，解得 a15. (2)由于f(x)在区间 (， 4)上是减函数，说明(， 4)只是函数f(x)的一个减区间，所以应对 a 加以讨论当 a0 时， f(x) 2x2，在 (， 4)上是减函数，所以a0满足；当 a0 时，a

18、01aa4，解得 0a15. 综合得， a 的取值范围为a|0a15 11(13 分)已知函数f(x)|x a|，g(x) ax(aR)(1)若函数 yf(x)是偶函数，求实数a 的值；(2)若方程 f(x)g(x)有两解，求实数a的取值范围解： (1)因为函数yf(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)，即|xa|x a|，两边平方化简得4ax0. 又 4ax0 在 xR 时恒成立，所以a0. (2)当 a0 时， |xa|ax 0 有两解等价于方程(x a)2a2x20 在(0， )上有两解令 h(x)(a2 1)x22axa2，因为 h(0) a20，所以a210 4a24a2a21 0，

19、解得 0a1. 同理，当 a0 时，得 1a0；当 a0 时，不合题意，舍去综上可知，实数a 的取值范围是(1,0)(0,1)能力提升12(5 分)已知函数f(x)x21 x01 xf(2x)的 x 的取值范围是_答案： (1， 12) 解析： 结合函数图象2x01 x2 01 x22x解得 0 x12，或2x0解得 1x0，满足题意的x 范围 0， 12) (1,0)(1， 12)13(15 分)已知函数f(x)x2mx(m 0)在区间 0,2上的最小值为g(m)(1)求函数 g(m)的解析式(2)定义在 (， 0)(0， )上的函数h(x)为偶函数，且当x0 时， h(x) g(x)若h(

20、t)h(4)，求实数t 的取值范围解： (1)因为 f(x)x2 mx(xm2)2m24(m0)，所以当 0m4 时， 0m22，此时 g(m)f(m2)m24. 当 m4 时，函数f(x)(xm2)2m24在区间 0,2上单调递减，所以 g(m)f(2)42m. 综上可知， g(m)m24，0 m442m， m 4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页(2)因为 x0 时， h(x)g(x)，所以当 x0 时， h(x)x24，0 x442x，x4. 易知函数 h(x)在(0， )上单调递减，因为定义在 (， 0

21、)(0， )上的函数h(x)为偶函数，且h(t)h(4)，所以 0|t|4，解得 4t0 或 0t 4. 综上所述，所求实数t 的取值范围为(4,0)(0,4)习题课 (二) 时间： 45 分钟总分： 90 分一、选择题 (每小题 5 分，共 30分) 1已知函数f(2x1)的定义域为1,4)，则函数f(x)的定义域为 () A(3,7 B 3,7) C(0，52 D 0，52) 答案： B 解析： 令 2x1t，因为 1 x4，所以 32x17，即 3t7，即函数f(t)的定义域为 3,7)所以函数f(x)的定义域为 3,7). 故选 B. 2图中是函数y|x1|的图象的是 () 答案： A

22、 解析： 转化成分段函数yx1x1 ，x1x 1 .或用特殊值法3f(x)x2x 0 x1x0，则 f f(2) 等于 () A 1 B0 C1 D2 答案： B 解析： 20 ，)f(a) 1，则 a 等于 () A4 B15 C4 或 15 D4 或 1 5 答案： C 解析： x0 时， x22x31， x2 2x40，x15(舍 )，x15.x0 时， x31，x4，故选 C. 6函数f(x)恒大于零，且对任意x、yR， f(xy) f(x) f(y)，f(2)14，则f n1f n等于() A.12 B.14C1 D 2 答案： A 解析： 令 xy1，则 f(1) f(1)f(2)

23、14， f(1)0， f(1)12.令 xn，y1，则 f(n 1)f(n) f(1)，f n 1f n12，故选 A. 二、填空题 (每小题 5 分，共 15分) 7函数 f(x)x112x的定义域为 _答案： x|x 1 且 x2 解析： 要使函数有意义，自变量x 的取值须满足x1 0，2x 0.解得 x1 且 x2. 8函数 y xx2的值域为 _答案： 2， ) 解析： 令x2t，则xt22(t0)，原函数表达式变为y t2t2 (t12)274(t0)结合函数图象知y2，即所求函数的值域为2， )9若定义运算abb，ab，a，ab.则函数 f(x)x(2x)的值域为 _答案： (，

24、1 解析： 由题意得f(x)2x， x1，x，x1，)画出函数 f(x)的图象得值域是( ，1，三、解答题 (本大题共4小题，共45 分) 10(12 分)已知 f(x)满足 3f(x)f(1x)2x2(x0)，求函数f(x)的解析式解： 因为 3f(x)f(1x)2x2，以1x代换 x 得 3f(1x)f(x)2x2，由两式消去f(1x)，得 f(x)34x214x2(x0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页11(13 分)如图，在边长为6 的正方形ABCD 的边上有一点P，沿着折线BCDA 由点B(起点 )向

25、点 A(终点 )运动设点P 运动的路程为x， APB 的面积为y. (1)求 y 与 x之间的函数关系式；(2)画出 yf(x)的图象解： (1)当点 P 在线段 BC 上移动时， BP x且 0 x6，则 SAPB12ABBP126x3x；当点 P 在线段 CD 上移动时， 6x12，SAPB12AB6126 618；当点 P 在线段 DA 上移动时， 12 x18，SAPB12ABPA12 6(18x)543x. 于是 y3x，0 x618，6x12543x，12x18(2)画出函数yf(x)的图象，如图所示能力提升12(5 分)已知函数 f(x)x 1， x01x 1， 1x0则 f(x

26、1)_. 答案： f(x1)x， x11x， 0 x1解析： 当 x10 即 x1 时， f(x1)(x1)1x当 1x10，即 0 x1 时 f(x1)1x1 11x f(x 1)x， x11x， 0 x113(15 分)已知函数f(x)x21 x2. (1)求 f(2)与 f12，f(3)与 f13；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与 f1x有什么关系？并证明你的发现；(3)求 f(1)f(2)f(3) f(2 013)f12f13 f12 013. 解： (1)f

27、(x)x21x2，f(2)2212245. f12122112215. f(3)32132910. f131321132110. (2)由(1)发现 f(x)f1x1. 证明如下：f(x)f1xx21x21x211x2x21x211x21. (3)由 f(1)1211212，由(2)知 f(2)f121，f(3)f131f(2 013)f12 0131，原式122 012124 0252. 习题课 (五) 时间： 45 分钟总分： 90 分一、选择题1化简352的结果为 () A5 B.5 C5 D 5 答案： B 解析：352(52)1334512455，故选 B. 2(2ab34) (ab

28、13)6 (3ab14)等于 () A.23ab52 B23a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页C23ab56 D.23ab52答案： A 解析： 原式 (2ab34) (a3b2) ( 3ab14)23a12333 b31-2+4423ab52. 3已知 a3513，b3512，c4312，则 a，b，c 三个数的大小关系是() Acab BcbaCabc Dba12， ba1.又 0c1， cab. 4已知 a1a3(a0)，则 a2aa2a1的值等于 () A1311 B1113 C1311 D1113 答

29、案： D 解析： 由 a1a3，得 (a1a)2 9，因此a21a229，故 a2 a211.又(aa1)2a2a2211213，且 a0，所以aa113.于是a2a a2a11113，选 D. 5下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0， )，当 x1f(x2)”的是 () Af(x)1x Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln( x1) 答案： A 解析： 由题意可知f(x)在(0， )上单调递减，结合选项，可知选A. 6方程 log2(x4)3x的实根的个数是() A0个 B1 个C2 个 D3 个答案： C 解析： 方程的解的个数问题可转化为函数图象y13x， y2

30、log2(x 4)的交点个数问题，如图所示，由图可知有2 个交点二、填空题 (每小题 5 分，共 15分) 7已知3a2b1，则9a 3b3a_. 答案： 3 解析： 利用3a2b1 的关系消去b，即9a3b3a32a331-2a 32a332a+1-22aa3. 8若 a，b，c 为正实数， axbycz，1x1y1z0，则 abc_. 答案： 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页解析： 设 ax byczk，则 k0，ak， bk，c k，因此 abckkkk111xyzk01. 9已知函数f(2x)的定义

31、域为1,2，则函数yflog3(x 2)的定义域为 _答案：32,79 解析： 函数f(2x)的定义域为1,2，即 1x2，122x4. 12log3(x2)4，即3x281. 32 x79. 三、解答题 (本大题共4小题，共45 分) 10(12 分)比较下列各组数的大小(1)40.9,80.48，121.5；(2)log20.4，log30.4，log40.4. 解： (1)40.921.8,80.4821.44，121.521.5，y2x在 (， )上是增函数，40.9121.580.48；(2)对数函数y log0.4x 在(0， )上是减函数，log0.44log0.43log0.4

32、2log0.410. 又幂函数 yx1在(， 0)上是减函数，所以1log0.421log0.431log0.44，即 log20.4log30.40(a0，且 a1)的解集解： f(x)是偶函数，且f(x)在 0， )上单调递增，f120，f(x)在(， 0)上单调递减，f 120，则有 logax12或 logax1 时， logax12或 logaxa或 0 xaa；(2)当 0a12或 logax12，可得 0 xaa. 综上可知，当a1 时， f(logax)0 的解集为0，aa(a， )；当 0a0 的解集为 (0，a)aa，. 能力提升12(5 分)若 x1满足 2x2x5，x2

33、满足 2x2log2(x1)5，则 x1x2() A.52 B3 C.72 D4 答案： C 解析： 由 2x2x5 得 2x52x，作出草图，如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页数形结合可知1x132；由 2x2log2(x1)5 得 log2(x 1)52x，同理可知2x252. 所以 3x1x20，在 t(0,2上恒成立设 g(t)at2t1，则当 a0 时， g(t)t1 在(0,2上恒有 g(t)0；当 a0 时， g(t)的对称轴t12a0；当 a0，只需 g(2)0 即可，即4a30，解得34a34. 解法 2：分离参数法：设12xt，则 t12，则 12x4xa0 在 x(， 1上恒成立可转化为at2t 在 t12，上恒成立，则 a 就大于 (t) t2t t12214t12的最大值由二次函数知识知 (t)max12 11434. 所以 a34. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页