2022年高中空间立体几何典型例题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载1如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，侧面对角线 AB1，BC1上分别有两点 E，F，且 B1E=C1F. 求证：EF平面 ABCD . 证明方法一分别过 E，F作 EM AB于 M ，FNBC于 N，连接 MN . BB1平面 ABCD ，BB1AB ，BB1BC ，EM BB1，FN BB1，EM FN . 又B1E=C1F，EM =FN ，故四边形 MNFE 是平行四边形， EFMN . 又 MN 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD ，所以 EF平面 ABCD . 方法二过 E作 EG AB交 BB1于 G ，连接 GF ，则BBGBABEB1111，B1E

2、=C1F，B1A=C1B，BBGBBCEC1111，FG B1C1BC ，又 EG FG =G ，AB BC =B，平面 EFG 平面 ABCD ，而 EF 平面 EFG ，EF平面 ABCD . 2 已知 P为ABC 所在平面外一点， G1、G2、G3分别是 PAB 、PCB 、PAC 的重心 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载（1）求证：平面 G1G2G3平面 ABC ；（2）求 S321GGGS ABC. （1）证明如图所示，连接 PG1、PG2、PG3并延长分别与边 AB 、BC 、AC

3、交于点 D、E、F，连接 DE 、EF 、FD，则有 PG1PD =23，PG2PE =23，G1G2DE . 又 G1G2不在平面 ABC内，G1G2平面 ABC . 同理 G2G3平面 ABC . 又因为 G1G2G2G3=G2，平面 G1G2G3平面 ABC . （2）解由（1）知PEPGPDPG21=32，G1G2=32DE . 又 DE =21AC ，G1G2=31AC . 同理 G2G3=31AB ，G1G3=31BC . G1G2G3CAB ，其相似比为 13，S321GGGS ABC=19. 3 如图所示，已知 S是正三角形 ABC所在平面外的一点，且 SA =SB =SC ，

4、SG为SAB上的高，D、E、F分别是 AC 、BC 、SC的中点，试判断SG与平面 DEF的位置关系，并给予证明 . 解SG 平面 DEF ，证明如下：方法一连接 CG交 DE于点 H，如图所示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载DE是ABC的中位线，DE AB . 在ACG 中，D是 AC的中点，且 DH AG . H为 CG的中点 . FH是SCG 的中位线，FH SG . 又 SG 平面 DEF ，FH 平面 DEF ，SG 平面 DEF . 方法二EF为SBC 的中位线，EFSB . E

5、F 平面 SAB ，SB 平面 SAB ，EF平面 SAB . 同理可证， DF 平面 SAB ，EF DF =F，平面 SAB 平面 DEF ，又 SG 平面 SAB ，SG 平面 DEF. 5 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G 、H分别是 BC 、CC1、C1D1、A1A的中点 .求证：（1）BF HD1；（2）EG 平面 BB1D1D；（3）平面 BDF 平面 B1D1H . 证明（1）如图所示，取 BB1的中点 M ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载易证四边形 H

6、MC1D1是平行四边形， HD1MC1. 又MC1BF，BF HD1. （2）取 BD的中点 O ，连接 EO ，D1O ，则 OE 21DC ，又 D1G 21DC ，OED1G ，四边形 OEGD1是平行四边形，GE D1O . 又 D1O 平面 BB1D1D，EG 平面 BB1D1D. （3）由（1）知 D1HBF ，又 BD B1D1，B1D1、HD1平面 HB1D1，BF、BD 平面 BDF ，且 B1D1HD1=D1，DB BF =B，平面 BDF 平面 B1D1H. 6 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形 . （1）求证： AB 平面

7、 EFGH ，CD 平面 EFGH . （2）若 AB =4，CD =6，求四边形 EFGH 周长的取值范围 . （1）证明四边形 EFGH 为平行四边形， EFHG . HG 平面 ABD ，EF 平面 ABD . EF 平面 ABC ，平面 ABD 平面 ABC =AB，EFAB . AB 平面 EFGH . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载同理可证， CD 平面 EFGH . (2) 解设 EF=x（0 x4） ，由于四边形 EFGH 为平行四边形，4xCBCF. 则6FG=BCBF=BCC

8、FBC=1-4x. 从而 FG =6-x23. 四边形 EFGH 的周长 l =2(x+6-x23)=12- x. 又 0 x4, 则有 8l 12, 四边形 EFGH 周长的取值范围是（ 8，12）. 7 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面 ABCD 的中心， P是 DD1的中点，设 Q是 CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面 D1BQ 平面 PAO ？解当 Q为 CC1的中点时，平面 D1BQ 平面 PAO . Q为 CC1的中点， P为 DD1的中点， QB PA . P、O为 DD1、DB的中点， D1BPO . 又 PO PA =P，D1BQB =B，D1

9、B平面 PAO ，QB 平面 PAO ，平面 D1BQ 平面 PAO . 8 正方形 ABCD 与正方形 ABEF所在平面相交于 AB ，在 AE 、BD上各有一点 P、Q ，且 AP =DQ . 求证：PQ 平面 BCE . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载证明方法一如图所示，作 PM AB交 BE于 M ，作 QN AB交 BC于 N，连接 MN . 正方形 ABCD 和正方形 ABEF有公共边 AB ，AE =BD . 又AP =DQ ，PE =QB ，又PM AB QN ，AEPEABPM

10、，BDBQDCQN，DCQNABPM，PM QN，四边形 PMNQ 为平行四边形， PQ MN . 又 MN 平面 BCE ，PQ 平面 BCE ，PQ 平面 BCE . 方法二如图所示，连接 AQ ，并延长交 BC于 K，连接 EK ，AE =BD ，AP =DQ ，PE =BQ ，PEAP=BQDQ又AD BK ，BQDQ=QKAQ由得PEAP=QKAQ，PQ EK . 又 PQ 平面 BCE ，EK 平面 BCE ，PQ 平面 BCE . 方法三如图所示，在平面ABEF内，过点 P作 PM BE ，交 AB于点 M ，连接 QM . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

11、归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载PM BE ，PM 平面 BCE ，即 PM 平面 BCE ，PEAP=MBAM又AP =DQ ，PE =BQ ，PEAP=BQDQ由得MBAM=BQDQ，MQ AD ，MQ BC ，又 MQ平面 BCE ，MQ 平面 BCE . 又PM MQ =M ，平面 PMQ 平面 BCE ，PQ 平面 PMQ ，PQ 平面 BCE . 8 如下的三个图中 , 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm). (1) 在正视图下面 , 按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)

12、 按照给出的尺寸 , 求该多面体的体积 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载(3) 在所给直观图中连接BC , 证明: BC 平面 EFG . (1) 解如图(1) 所示. 图（1）(2) 解所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-31(2122) 2=3284(cm3). (3) 证明如图(2), 在长方体 ABCD ABC D中, 连接 AD , 则 AD BC . 因为 E, G分别为 AA , AD的中点 , 所以 AD EG , 从而 EG BC . 又 BC 平面 EFG ,

13、图（2）所以 BC 面 EFG . 9. 如图所示，正四棱锥PABCD 的各棱长均为 13，M ，N分别为 PA ，BD上的点，且 PM MA =BN ND =58. （1）求证：直线 MN 平面 PBC ；（2）求线段 MN的长. （1）证明连接 AN并延长交 BC于 Q ，连接 PQ ，如图所示 . AD BQ ， AND QNB ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载NQAN=NBDN=BQAD=58，又MAPM=NDBN=85，MPAM=NQAN=58，MN PQ ，又PQ 平面 PBC ，M

14、N 平面 PBC ，MN 平面 PBC . （2）解在等边 PBC中，PBC =60，在PBQ 中由余弦定理知PQ2=PB2+BQ2-2 PB BQ cosPBQ=132+2865-2 1386521=642818，PQ =891，MN PQ ，MN PQ =813，MN =891138=7. 10 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， M ，N分别是 AB ，PC的中点，求证： MN 平面 PAD 证明： 方法一，取 PD中点 E，连接 AE ，NE 底面 ABCD 是平行四边形， M ，N分别是 AB ，PC的中点，MA CD ，.21CDMAE是 PD的中点，NE C

15、D ，.21CDNEMA NE ，且 MA NE ，AENM 是平行四边形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载MNAE又 AE 平面 PAD ，MN 平面 PAD ，MN 平面 PAD 方法二取 CD中点 F，连接 MF ，NF MF AD ，NF PD ，平面 MNF 平面 PAD ，MN 平面 PAD 11 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1AC ，AB AC ，求证： A1C BC1【分析】 要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明 A1C垂直于经过 BC1的平面即

16、可证明： 连接 AC1ABC A1B1C1是直三棱柱，AA1平面 ABC ，AB AA1又 AB AC ，AB 平面 A1ACC1，A1CAB又AA1AC，侧面 A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得 A1C 平面 ABC1，A1CBC112 在三棱锥 PABC中，平面 PAB 平面 ABC ，AB BC ，AP PB ，求证：平面 PAC 平面 PBC 【分析】 要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载证明：

17、平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面 ABC AB ，且 AB BC ，BC 平面 PAB ，AP BC 又 AP PB ，AP 平面 PBC ，又 AP 平面 PAC ，平面 PAC 平面 PBC 13 如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 A1ABB1是菱形，且垂直于底面 ABC ，A1AB 60，E，F 分别是 AB1，BC的中点( ) 求证：直线 EF平面 A1ACC1；( ) 在线段 AB上确定一点 G ，使平面 EFG 平面 ABC ，并给出证明证明： ( ) 连接 A1C，A1E侧面 A1ABB1是菱形，E是 AB1的中点，E也是A1B的中点，又 F 是 B

18、C的中点， EFA1CA1C平面 A1ACC1，EF平面 A1ACC1，直线 EF 平面 A1ACC1(2) 解：当31GABG时，平面 EFG 平面 ABC ，证明如下：连接 EG ，FG 侧面 A1ABB1是菱形，且 A1AB 60， A1AB是等边三角形E是 A1B的中点，31GABG，EG AB 平面 A1ABB1平面 ABC ，且平面 A1ABB1平面 ABC AB ，EG 平面 ABC 又 EG 平面 EFG ，平面 EFG 平面 ABC 14如图，正三棱柱 ABC A1B1C1中，E是 AC的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

19、- -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载( ) 求证：平面 BEC1平面 ACC1A1；()求证： AB1平面 BEC1证明： ( ) ABC A1B1C1是正三棱柱， AA1平面 ABC ，BE AA1ABC 是正三角形，E是 AC的中点，BE AC ， BE 平面 ACC1A1， 又 BE平面 BEC1，平面 BEC1平面 ACC1A1( ) 证明：连接 B1C，设 BC1B1CDBCC1B1是矩形， D是 B1C的中点，DE AB1又 DE 平面 BEC1，AB1平面 BEC1，AB1平面 BEC115 在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，AB DC ，PA

20、D是等边三角形，已知 BD 2AD 8，542DCAB( ) 设 M是 PC上的一点，证明：平面MBD 平面 PAD ；( ) 求四棱锥 PABCD 的体积证明： ( ) 在ABD中，由于 AD 4，BD 8，54AB，所以 AD2BD2AB2故ADBD又平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ，BD 平面 ABCD ，所以 BD 平面 PAD ，又 BD 平面 MBD ，故平面 MBD 平面 PAD ( ) 解：过 P作 PO AD交 AD于 O ，由于平面 PAD 平面 ABCD ，所以 PO 平面 ABCD 因此 PO为四棱锥 PABCD 的高，精选学习资料

21、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载又PAD 是边长为 4 的等边三角形因此.32423PO在底面四边形 ABCD 中，AB DC ，AB 2DC ，所以四边形 ABCD 是梯形，在 RtADB 中，斜边 AB边上的高为5585484，即为梯形 ABCD 的高，所以四边形ABCD的面积为.2455825452S故.316322431ABCDPV16如图，三棱锥 PABC 的三个侧面均为边长是1 的等边三角形， M ，N分别为PA ，BC的中点( ) 求 MN 的长；( ) 求证： PA BC ( ) 解：连接 M

22、B ，MC 三棱锥 PABC的三个侧面均为边长是1 的等边三角形，23MCMB，且底面 ABC也是边长为 1 的等边三角形N为 BC的中点， MN BC 在 RtMNB 中，2222BNMBMN( ) 证明： M是 PA的中点，PA MB ，同理 PA MC MB MC M ，PA 平面 MBC ，又 BC 平面 MBC ，PA BC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载17 如图，在四面体 ABCD 中，CB CD ， AD BD ， 且 E、F分别是 AB 、 BD的中点求证：( ) 直线 EF

23、平面 ACD ；( ) 平面 EFC 平面 BCD 证明： ()E、F分别是 AB 、BD的中点，EF是ABD的中位线， EF AD 又 EF平面 ACD ，AD 平面 ACD ，直线 EF平面 ACD ( ) EF AD ，AD BD ，EF BD CB CD ，F是 BD的中点， CF BD CF EF F，BD 平面 CEF BD 平面 BCD ，平面 EFC 平面 BCD 18 如图，平面 ABEF 平面 ABCD ，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形， BAD FAB 90，BC AD ，AFBEAFBEADBC21,/,21，G ，H分别为 FA，FD的中点( ) 证明：

24、四边形 BCHG 是平行四边形；( ) C ，D ，F，E四点是否共面 ?为什么 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载( ) 由题意知， FG GA ，FH HD ，GH AD ，,21ADGH又 BC AD ，ADBC21，GH BC ，GH BC ，四边形 BCHG 是平行四边形( ) C ，D ，F，E四点共面理由如下：由BEAF，AFBF21，G是 FA的中点，得 BE FG ，且 BE FG EF BG 由( ) 知 BG CH ，EF CH ，故 EC ，FH共面，又点 D在直线 FH上，所以C，D，F，E四点共面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页