2022年高中数学三角函数知识点总结实用版 5.pdf

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1、三角函数1. 与（ 0 360 ） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ） ：Zkk,360|终边在x 轴上的角的集合：Zkk,180|终边在y 轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360 k2. 角度与弧度的互换关系：3

2、60 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式：1rad180 57.30=571811800.01745 （ rad）3、弧长公式：rl|. 扇形面积公式：211| |22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y ）P与原点的距离为r ，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；. yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxyxy6、三角函数线正

3、弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. yxSIN COS三角函数值大小关系图sinxcosx1、 2、 3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的终边P（ x,y )TMAOPxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页7. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx |)(xfcosxRxx |)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xf

4、cscxZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsi ncos1cottan1sincsc1co ssec1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式： （一）基本关系公式组二公式组三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxc o t)c o t (t an)t a n (c o s)c o s (s i n)s i n (公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)

5、tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxc o t)2co t (t a n)2t a n (c o s)2co s (s i n)2s i n (xxxxxxxxc o t)c o t (t an)t a n (c o s)c o s (s i n)s i n (公式组一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1(3) 若 ox2,则sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxco

6、sxsinx16. 几个重要结论:OOxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页（二）角与角之间的互换公式组一公式组二sinsincoscos)cos(c o ss i n22s i nsinsincoscos)cos(2222s i n211c o s2s i nc o s2c o ssincoscossin)sin(2t a n1t an22t ansincoscossin)sin(2c o s12s i ntantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公式组三公式组

7、四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan242675cos15sin, ,3275cot15tan,. 3215cot75tan42615cos75sincoscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)

8、21tan(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域R R R 值域 1, 1 1, 1R R AA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性22,22kk上 为 增 函数；223,22kk上 为 减 函数（Zk）2,12kk；上 为 增 函数12,2kk上 为 减 函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1, kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（

9、Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在,ba上递增（减） ，则)(xfy在,ba上递减（增） . xysin与xycos的周期是. )sin(xy或)cos( xy（0）的周期2T. 2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效）. )sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk） ，对称中心（0,k） ；)c o s (xy的对称轴方程是kx（Zk） ， 对称中心（0,21k） ；)t a n (xy的对称中心 （0,2k） . xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当 tan, 1tan)(2Zkk； tan

10、, 1tan)(2Zkk. xycos与kxy22sin是同一函数 ,而)( xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页函数xytan在R上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函

11、数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T） ；xycos是周期函数（如图） ；xycos为周期函数（T） ；212cos xy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(. abbabaycos)sin(sincos22有yba22. yxy= cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象精选

12、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x ）的振幅 |A| ，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位） （当 A0， 0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长 （当 |A|1）或缩短 （当 0|A|1）到原来的 |A|倍，得到 yAsinx 的图象， 叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长 （0| |1）或

13、缩短（| 1）到原来的1|倍，得到ysin x 的图象，叫做 周期变换 或叫做沿x 轴的伸缩变换(用x替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到 y sin（x ）的图象，叫做相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b 0）或向下 （当 b 0）平行移动 b个单位，得到 y sinxb 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+(-b) 替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数yAsin（ x ） （A0， 0） （x R）的图象， 要特别注意： 当周期变换和相位变换的先后顺

14、序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页高中数学三角函数常见习题类型及解法1. 三角函数恒等变形的基本策略。（ 1 ） 常 值 代 换 ： 特 别 是 用 “ 1 ” 的 代 换 ， 如1=cos2 +sin2=tanx cotx=tan45 等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x； 配凑角：= （+） ， =22等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。 asin +bcos=2

15、2basin( +)，这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan=ab确定。2. 证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3. 证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4. 解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转

16、化。四、例题分析例 1已知2tan，求 （1）sincossincos； （2）22cos2cos.sinsin的值. 解： （1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos； (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例 2求函数21 sincos(sincos )yxxxx的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

17、 - - - - - -第 7 页，共 15 页解：设sincos2 sin()224txxx，则原函数可化为22131()24yttt，因为22t，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3324y，。例 3已知函数2( )4sin2sin 22f xxxxR，。（1）求( )f x的最小正周期、( )f x的最大值及此时 x 的集合；（2）证明：函数( )f x的图像关于直线8x对称。解：22( )4sin2sin 222sin2(1 2sin)f xxxxx2 s i n 22 c o s 222 si n ( 2)4xxx(1)所以( )f x的最小正周

18、期T，因为xR，所以，当2242xk，即38xk时，( )f x最大值为 2 2；(2)证明：欲证明函数( )f x的图像关于直线8x对称，只要证明对任意xR，有()()88fxfx成立，因为()2 2 sin2()22 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，()2 2 sin2()2 2 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，所以()()88fxfx成立，从而函数( )f x的图像关于直线8x对称。例 4 已知函数 y=21cos2x+23sinx cosx+1 （xR ）, （1）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x

19、R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1） y=21cos2x+23sinx cosx+1=41 (2cos2x1)+ 41+43（2sinx cosx）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x sin6+sin2x cos6)+45=21sin(2x+6)+45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页所以 y 取最大值时，只需 2x+6=2+2k,（kZ） ，即 x=6+k,（kZ） 。所以当函数 y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=6+k,k Z （2）将函数 y=sinx 依次

20、进行如下变换：（i ）把函数 y=sinx 的图像向左平移6，得到函数 y=sin(x+6)的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数 y=sin(2x+6) 的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数 y=21sin(2x+6) 的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到 y=21cos2x+23sinxcosx+1 的图像。说明：本题是 2000 年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。 这类题一般有两种解法： 一是化

21、成关于 sinx,cosx的齐次式， 降幂后最终化成 y=22basin ( x+)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（ 1）还可以解法如下：当cosx=0 时，y=1；当 cosx0 时，y=xxxxx222cossincossin23cos21+1=xx2tan1tan2321+1 化简得： 2(y 1)tan2x3tanx+2y 3=0 tanx R， =38(y 1)(2y 3) 0, 解之得：43y47ymax=47，此时对应自变量x 的值集为 x|x=k +6,k Z 例 5已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（）将 f(x) 写成)sin(xA

22、的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（）如果 ABC的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x的范围及此时函数f(x) 的值域 . 解：23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf（）由)332sin(x=0即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk，213（）由已知 b2=ac 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页，231)332sin(31)332sin(3sin|295|23|953323301cos2

23、1212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax即)(xf的值域为231 ,3(. 综上所述，3,0(x，)(xf值域为231 ,3( . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力， 对知识进行整合的能力。例 6在ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cos3cosCacBb，(1)求sin B的值；(2)若4 2b，且 a=c，求ABC的面积。解：(1)由正弦定理及cos3cosCacBb，有cos3sinsincossinCACBB，即sincos3sinco

24、ssincosBCABCB，所以sin()3sincosBCAB，又因为ABC，sin()sinBCA， 所以sin3sincosAAB， 因为sin0A，所以1cos3B，又0B，所以22 2sin1cos3BB。(2)在ABC中，由余弦定理可得222323acac，又 ac，所以有22432243aa，即，所以ABC的面积为211sinsin8 222SacBaB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页三角函数一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分) 1已知点 P （tan ，cos ）在第

25、三象限， 则角 的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2集合 M x|xk24，kZ与 Nx|xk4，kZ之间的关系是（）A.MN B.NM C.MN D.MN3 若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（）A.60B.60C.30D.304已知下列各角（1） 787 ， (2) 957 ， (3) 289 ， (4)1711 ，其中在第一象限的角是( ) A.（1） （2）B.（2） （3）C.（1） （ 3）D.（2） （4）5设 a0，角 的终边经过点P（ 3a，4a） ，那么 sin 2cos的值等于（）A. 25B.25C. 15D.156若 cos( )12，

26、32 2 ，则 sin(2 )等于（）A.32B. 32C. 12D.327 若 是第四象限角， 则 是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8已知弧度数为2 的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A.2 B. 2sin1C.2sin1 D.sin2 9如果 sinxcosx15，且 0 x ，那么 cotx 的值是（）A.43B.43或34C.34D. 43或3410 若实数 x 满足 log2x2 sin ， 则|x1|x10|的值等于（）A.2x9 B.92x C.11 D.9 二、填空题 (本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分) 11 ta

27、n300 cot765 的值是 _. 12若sin cossin cos2，则 sin cos的值是 _. 13不等式（ lg20)2cosx1，(x(0， )的解集为 _. 14若 满足 cos 12，则角 的取值集合是 _. 15若 cos130 a，则 tan50 _. 16已知 f(x)1x1x，若 (2， )，则 f(cos ) f( cos )可化简为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页三、解答题（本大题共5 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分12 分）

28、设一扇形的周长为C(C0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18 (本小题满分14 分）设 90 180 ，角 的终边上一点为P（x，5 )，且 cos 24x，求 sin与 tan 的值 . 19 (本小题满分14 分 )已知2 ，sin m3m5，cos 42mm5，求 m 的值 . 20 (本小题满分15 分 )已知 0 45 ，且 lg(tan )lg(sin )lg(cos )lg(cot ) 2lg3 32lg2，求 cos3 sin3的值 . 21 (本小题满分15 分)已知 sin(5 )2 cos(72 )和3 cos( )2 cos( )，且 0 ， 0

29、 ，求 和 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页三角函数一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）1 下列函数中， 最小正周期为的偶函数是（）A.ysin2xB.y cosx2C.ysin2xcos2x D.y1tan2x1tan2x2设函数 ycos(sinx)，则（）A.它的定义域是1， 1B.它是偶函数C.它的值域是cos1，cos1D.它不是周期函数3把函数y cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍 ， 然 后 把 图 象 向 左 平 移4个

30、单 位 . 则 所 得 图 象 表 示 的 函 数 的 解 析 式 为（）A.y2sin2x B.y 2sin2xC.y2cos(2x4) D.y2cos(x24) 4 函数 y2sin(3x4)图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）A. 3B. 23C.D. 435若 sin cos m，且2 m 1，则 角所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6函数 y|cotx| sinx （ 0 x32且 x ）的图象是（）7设 ycos2x1sinx， 则下列结论中正确的是（）A.y有最大值也有最小值B.y 有最大值但无最小值C.y有最小值但无最大值D.y 既无最大值又无最小值

31、8 函数 ysin （42x)的单调增区间是（）A.k 38，k 8(k Z) B.k 8，k 58(kZ) C.k 8，k 38(kZ) D.k 38，k 78(kZ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页9已知 0 x ，且12a 0，那么函数f(x)cos2x2asinx1 的最小值是（）A.2a1 B.2a1 C.2a1 D.2a 10求使函数ysin(2x )3 cos(2x )为奇函数，且在0，4上是增函数的 的一个值为（）A. 53B. 43C. 23D. 3二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分

32、，共 30 分）11函数 ycosx12cosx的值域是 _. 12函数 ycosxlg（1 tanx）的定义域是 _. 13如果 x，y 0， ，且满足 |sinx|2cosy2，则 x_， y_. 14已知函数y2cosx，x 0， 2 和y2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是 _ 15函数 ysinxcosxsin2x 的值域是 _. 16关于函数f(x)4sin(2x3)(xR)有下列命题：由 f(x1)f(x2)0 可得 x1x2必是 的整数倍；yf(x)的表达式可改为y4cos(2x6)；yf(x)的图象关于点（6，0)对称；yf(x)的图象关于直线x6对称 . 其中

33、正确的命题的序号是_. 三、解答题（本大题共5 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分12 分）如图为函数yAsin(x )(A 0， 0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式. 18 （本小题满分14 分）已知函数y(sinxcosx)22cos2x.(xR) (1)当 y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合 . (2)该函数图象可由ysinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页19 （本小题满分14 分）已知函数f(x)21l

34、og(sinxcosx) （1）求它的定义域和值域；（ 2）求它的单调减区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 20 （本小题满分15 分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值m，渠深 3 米，则水渠侧壁的倾斜角应为多少时，方能使修建的成本最低？21 (本小题满分15 分）已知函数f(x)sin(x )( 0，0 )是 R 上的偶函数，其图象关于点M（34，0)对称，且在区间0，2上是单调函数，求和 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页