2022年高中数学坐标系与参数方程教案新人教A版选修 .pdf

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1、数学选修 4-4 坐标系与参数方程（教师版）主干知识一、坐标系1平面直角坐标系的建立：在平面上 ，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。2空间直角坐标系的建立：在空间中 ，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。3极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中 O称为极点，射线OX称为极轴。）设 M是平面上的任一点，表示 OM的长度，表

2、示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对( , )称为点 M的极坐标。其中称为极径，称为极角。约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。4直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点， x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和( , )，则x2ytan二、曲线的极坐标方程1 直 线 的 极 坐 标 方 程 ： 若 直 线 过 点00(,)M， 且 极 轴 到 此 直 线 的 角 为， 则 它 的 方 程 为 ：00sin()sin()几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3

3、）直线过( ,)2M b且平行于极轴图：方程：2圆的极坐标方程：若圆心为00(,)M，半径为r 的圆方程为：2220002cos()0r几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点（2）当圆心位于( ,0)M r（3）当圆心位于( ,)2M r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页图：方程：3直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化利用：x2ytan三、参数方程1参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线C上的点( , )P x y满足( )( )xf tyf t，该方程叫曲线C的参数方程，变量t 是参变数，简称 参

4、数2参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：cossinxayb（为参数）；00(xxattyybt为参数）（3）2sincosxy0,2)（4）1()21()2axttbytt（t 为参数）（5）cossinxarybr（为参数）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！（2）普通方程化为参数方程常见化普通方程为参数方程，1、圆222()()xaybr的参数方程。2、经过点P00()xy，倾斜角为的参数方程。3、椭圆22221(0)xyabab的参数方程。4、抛物线22(0)ypx p普通方程化为参数

5、方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。二、考点阐述考点 1、极坐标与直角坐标互化例题 1、在极坐标中，求两点)4,2(),4, 2(QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。练习 1.1 、已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，4cos0 02，则曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页1C与2C交点的极坐标为【 解 析 】 我 们 通 过 联 立 解 方 程 组cos3(0,0)4cos2解 得2 36, 即 两 曲 线 的 交 点 为(23,)6。12. （宁夏 09）已知圆C ：2

6、2(1)(3)1xy，则圆心C的极坐标为 _(0, 02 )答案：（2(2,)3）练习 1.2 （2009 丹东） （1）已知点c 极坐标为(2,)3，求出以 C为圆心，半径r=2 的圆的极坐标方程（写出解题过程） ；（ 2）P是以原点为圆心，r=2 的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是 PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。解：1MM（ ）如图所示，设为圆上一点， (,),2MOC44 cos()4333则或，由余弦定理得4cos()3极坐标方程为=。（ 2）依题意x2cosoMx yP2cos ,2sin ).y=2sin的参数方程为设（ , ), 点 （MPQQ6 0M为

7、中点，（ ，），的参数方程为62sinxx3cos22siny=siny2即考点 2、极坐标与直角坐标方程互化例题 2、福建省龙岩市2009 年已知曲线C的极坐标方程是4sin 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是22(242xttyt为参数） ，点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ| 的最小值解：曲线C的极坐标方程4sin可化为24sin, 其直角坐标方程为2240 xyy，即22(2)4xy. （ 3分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页直线l

8、的方程为40 xy. 所以，圆心到直线l的距离243 22d（6分）所以，PQ的最小值为3 22. （10分）练习 2.1 、（沈阳二中2009） 设过原点O的直线与圆C：22(1)1xy的一个交点为P， 点M为线段OP的中点。(1) 求圆 C的极坐标方程；(2) 求点 M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆22(1)1xy的极坐标方程为2cos 4 分设点P的极坐标为11(,)，点M的极坐标为( ,)，点M为线段OP的中点，12，1 7 分将12，1代入圆的极坐标方程，得cos点M轨迹的极坐标方程为cos，它表示圆心在点1(,0)2，半径为12的圆 10 分练习 2.2 考点 3、参数

9、方程与直角坐标方程互化例题 3： （2009 学年海南省）已知曲线1C的参数方程为sin10cos102yx（为参数），曲线2C的极坐标方程为sin6cos2（ 1）将曲线1C的参数方程化为普通方程，将曲线2C的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）曲线1C，2C是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解： （1）由sin10cos102yx得10)2(22yx曲线1C的普通方程为10)2(22yxsin6cos2sin6cos22sin,cos,222yxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页yxyx

10、6222，即10)3()1(22yx曲线2C的直角坐标方程为10)3()1(22yx（分）（2）圆1C的圆心为)0,2(，圆2C的圆心为)3, 1(10223)30() 12(C2221C两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C222)10()223()2(d22d公共弦长为22（10 分）练习 3.1 （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程. 已知曲线C：(sin21cos23yx为参数， 02) ，（）将曲线化为普通方程；（）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程（）023222yxyx 5分（）sincos3

11、2 10 分练习 3.2 （08 海南）已知曲线C1：cos()sinxy为参数，曲线 C2：222()22xttyt为参数。（ 1）指出 C1，C2各是什么曲线，并说明C1与 C2公共点的个数；（ 2）若把 C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C，2C。写出1C，2C的参数方程。1C与2C公共点的个数和C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。考点 4：利用参数方程求值域例题 4、 （ 2008 年宁夏）在曲线1C：）yx为参数(sincos1上求一点， 使它到直线2C：12 22(112xttyt为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。解：直线C2化成普通

12、方程是x+y-22-1=02 分设所求的点为P（ 1+cos,sin), 3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页DAFEOBC则 C到直线 C2的距离 d=2|122sincos1|5 分 =|sin(+4)+2| 7 分当234时，即=45时， d 取最小值19分此时，点P的坐标是（ 1-22，-22）10 分练习 4.1 （09厦门）在平面直角坐标系xOy中，动圆2228c o s6s in7c o s80 xyxy+-+=的 圆 心 为(,)P xy， 求2xy-的取值范围 . 【解】由题设得4cos ,3

13、sinxy =?=? ?qq（q为参数，?qR）.3 分于是28cos3sin73 cos()xy，6 分所以73273xy. 10 分练习 4.2 （宁夏 09） （本小题满分10 分）已知曲线C的极坐标方程是sin2，设直线L的参数方程是,54253tytx（t为参数）（）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值 . 答案：（本小题满分10 分）解： （1）曲线C的极坐标方程可化为：sin22又sin,cos,222yxyx. 所以，曲线C的直角坐标方程为：0222yyx. （ 2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：)2(3

14、4xy令0y得2x即M点的坐标为)0 ,2(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为)1 ,0(，半径1r，则5MC15rMCMN考点 5：直线参数方程中的参数的几何意义例题 5：2009 年泉州已知直线l经过点(1,1)P, 倾斜角6，写出直线l的参数方程 ; 设l与圆422yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之积. 解（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt 3分（ 2）把直线312112xtyt代入422yx，得22231(1)(1)4,

15、( 31)2022tttt，1 22t t， 6分则点P到,A B两点的距离之积为2 10分练习 5.1 抚顺一中2009求直线415315xtyt（为参数t）被曲线2 cos()4所截的弦长 .解：将方程415315xtyt，2cos()4分别化为普通方程：3410 xy，220,xyxy-(5分) 2172.105dd211211圆心C（，），半径为圆心到直线的距离，弦长 2 r2222100-10分练习 5.2 大连市 2009已知直线).3cos(2.32),2, 1(圆方程的直线倾斜角为是过点 Pl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

16、 -第 7 页，共 12 页（ I ）求直线l的参数方程；（ II ）设直线l与圆相交于M 、N两点，求 |PM|PN| 的值。解： （）l的参数方程为21cos,3()22sin.3xttyt为参数，即11,2()32.2xttyt为参数。5 分（）由cos,sin.xy可将2cos()3，化简得2230 xyxy。将直线l的参数方程代入圆方程得2(32 3)62 30.tt1 262 3t t，1 2| | 62 3PMPNt t。10分练习 5.3 （宁夏 09）若直线的参数方程为1223xtyt（t 为参数），则直线的斜率为（）A32 B23 C32 D23答案：（C ）3、 （宁夏

17、09）极坐标方程=cos和=sin 的两个圆的圆心距是（）A 2 B2 C 1 D22答案：（ D ）一、选择题1若直线的参数方程为12()23xttyt为参数，则直线的斜率为（）A23 B23 C32 D322下列在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是（）A1(,2)2 B3 1(,)4 2 C(2,3) D(1, 3)3将参数方程222sin()sinxy为参数化为普通方程为（）A2yx B 2yx C 2(23)yxx D 2(01)yxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页4化极坐标方程2cos0为

18、直角坐标方程为（）A201yy2x或 B 1x C 201y2x或x D 1y5点M的直角坐标是( 1, 3)，则点M的极坐标为（）A(2,)3 B (2,)3 C 2(2,)3 D (2,2),()3kkZ6极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆7圆5cos5 3 sin的圆心坐标是（）A4( 5,)3 B ( 5,)3 C (5,)3 D 5( 5,)3二、填空题8直线34()45xttyt为参数的斜率为 _。9参数方程()2()ttttxeetyee为参数的普通方程为 _。10已知直线11 3:()24xtltyt为

19、参数与直线2: 245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB_。11直线122()112xttyt为参数被圆224xy截得的弦长为_。12直线cossin0 xy的极坐标方程为_。13极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_。三、解答题1已知点( , )P x y是圆222xyy上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若0 xya恒成立，求实数a的取值范围。2求直线11:()53xtltyt为参数和直线2:2 30lxy的交点P的坐标，及点P与(1, 5)Q的距离。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页

20、3在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120 xy的距离的最小值。4、 （宁夏 09）已知椭圆C的极坐标方程为222sin4cos312，点 F1，F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为)(22222Rtttytx为参数，（ 1）求直线 l和曲线 C的普通方程；（ 2）求点 F1，F2到直线l的距离之和 . 数学选修4-4 坐标系与参数方程一、选择题1D 233122ytkxt2B 转化为普通方程：21yx，当34x时，12y3C 转化为普通方程：2yx，但是2,3,0,1xy4C 22(cos1)0,0,cos1xyx或5C 2(2,2),()3kkZ都是极坐标6C 2cos4

21、sincos ,cos0,4sin,4sin或即则,2k或224xyy二、填空题154455344ytkxt2221,(2)416xyx22()()422222ttttttyxexeeyyxxyyeexe352将1324xtyt代入245xy得12t，则5(,0)2B，而(1,2)A，得52AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页414直线为10 xy，圆心到直线的距离1222d，弦长的一半为222142()22，得弦长为1452coscossinsin0,cos()0，取2三、解答题1解：（1）设圆的参数方程为c

22、os1sinxy，22cossin15 sin()1xy51251xy（ 2）cossin10 xyaa(cossin)12 sin()1421aa2解：将153xtyt代入2 30 xy得2 3t，得(12 3,1)P，而(1, 5)Q，得22(23)64 3PQ3解：设椭圆的参数方程为4cos2 3 sinxy，4cos4 3sin125d4 54 5cos3sin32cos()3553当cos()13时，min4 55d，此时所求点为(2,3)。4 解 : （）直线l普通方程为2yx；3 分曲线C的普通方程为22143xy 6 分（）1( 1,0)F,2(1,0)F，7 分点1F到直线l的距离11023 2,22d8 分点2F到直线l的距离21022,22d9 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页122 2.dd 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页