2022年高二数列复习教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案课题：数列复习小结教学目的：1系统掌握数列的有关概念和公式2了解数列的通项公式na与前 n 项和公式nS的关系3能通过前 n项和公式nS求出数列的通项公式na授课类型： 复习课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、知识网络二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列(2)等差、等比数列的定义(3)等差、等比数列的通项公式(4)等差中项、等比中项(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法三、方法总结1 数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中，a1、na、n、d(q)、n

2、S“知三求二” ，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法3求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想4数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等四、等差数列1相关公式：（ 1）定义：), 1(1为常数dndaann（ 2）通项公式：dnaan)1(1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编优秀教案（ 3）前 n 项和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（ 4）通项公式推广：dmnaamn)(2.等差数

3、列na的一些性质（ 1）对于任意正整数n，都有121aaaann（ 2）na的通项公式)2()(2112aanaaan（ 3 ） 对 于 任 意 的 整 数srqp,， 如 果srqp， 那 么srqpaaaa（ 4）对于任意的正整数rqp,，如果qrp2，则qrpaaa2（ 5）对于任意的正整数n1，有112nnnaaa（ 6）对于任意的非零实数b，数列nba是等差数列，则na是等差数列（ 7）已知nb是等差数列，则nnba也是等差数列（ 8）,23133122nnnnnaaaaa等都是等差数列（ 9）nS是等差数列na的前 n 项和，则kkkkkSSSSS232,仍成等差数列，即)(323

4、mmmSSS（ 10）若)(nmSSnm，则0nnS（ 11）若pSqSqp,，则)(qpSqp（ 12）bnanSn2，反之也成立五、等比数列1相关公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师精编优秀教案（ 1）定义：)0, 1(1qnqaann（ 2）通项公式：11nnqaa（ 3）前 n 项和公式：1q1)1(1q11qqanaSnn（ 4）通项公式推广：mnmnqaa2.等比数列na的一些性质（ 1）对于任意的正整数n，均有121aaaann（ 2）对于任意的正整数srqp,如果srqp，则srqpaaaa

5、（ 3）对于任意的正整数rqp,，如果rpq2，则2qrpaaa（ 4）对于任意的正整数n1,有112nnnaaa（ 5）对于任意的非零实数b，nba也是等比数列（ 6）已知nb是等比数列，则nnba也是等比数列（ 7）如果0na，则lognaa是等差数列（ 8）数列lognaa是等差数列，则na是等比数列（ 9）,23133122nnnnnaaaaa等都是等比数列(10)nS是等比数列na的前 n 项和，当 q=1 且 k 为偶数时，kkkkkSSSSS232,不是等比数列. 当 q 1 或 k 为奇数时，kkkkkSSSSS232,仍成等比数列精选学习资料 - - - - - - - -

6、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师精编优秀教案六、数列前n 项和（1）重要公式：2) 1(321nnn；6)12)(1(3212222nnnn；33322112(123)(1)2nnn n（2）等差数列中，mndSSSnmnm（3）等比数列中，nmmmnnnmSqSSqSS（4）裂项求和：111)1(1nnnn； （!)!1(!nnnn）七、例题讲解例 1 一等差数列共有9 项，第 1 项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有 9 项，并且它的第1 项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7 项选题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项

7、公式及前n 项和公式解：设等差数列为an ，公差为d，等比数列为bn,公比为 q. 由已知得： a1=b1=1,813692)(99919aaaS又 b99，881，2，b71627，即等比数列的第7 项为 27例 2 已知数列na的前 n 项和1nS=4na+2(nN)， a1=1. (1)设nb=1na-2na,求证：数列nb为等比数列，(2)设 Cn=nna2,求证：nC是等差数列选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编优秀教案证明： (1)1nS=4na

8、+2,2nS=41na+2,相减得2na=41na-4na, ),2(22112nnnnaaaa,21nnnaab又.21nnbb, 1,2411212aaaaS又,32,51212aabanb是以 3 为首项， 2 为公比的等比数列，nb=31n. (2) ,2nnnaCnnnnnnaaCC221111122nnnaa12nnb4322311nn21211aCnC是以21为首项，43为公差的等差数列说明：一个表达式中既含有na又含有，一般要利用nanS1nS（） ，消去nS或na，这里是消去了nS八、课后作业：1. 已知数列na的前 n 项和nS，满足： log2（nS+1） =n+1求此数

9、列的通项公式na解：由 log2（nS+1）=n+1，得nS=21n-1 当 n=1 时， a1=S1=22-1=3；当 n2 时，nanS1nS=21n-1-（ 2n-1）=2n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师精编优秀教案2. 在数列na中， a1=0，1na+nS=n2+2n（nN+） 求数列na的通项公式解：由于1na+nS=n2+2n ，1na1nSnS，则1na+nS1nSnS+nS1nS，即1nS= n2+2n第二课时例题例 1 在ABC 中，三边cba,成等差数列，cba,也成等差数列，求证 A

10、BC 为正三角形证：由题设，cab2且cab2cacab24caca2即0)(2ca从而cacab（获证）例 2 从盛有盐的质量分数为20%的盐水 2 kg 的容器中倒出 1 kg盐水，然后加入 1 kg 水，以后每次都倒出1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水，问：1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g？2.经 6 次倒出后，一共倒出多少k 盐？此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为na ，则：a1= 0.2 kg , a2=210.2 kg , a3= (21)20.2 kg由此可见：na= (21)1n0.2 kg ,

11、 5a= (21)150.2= (21)40.2=0.0125 kg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师精编优秀教案2.由 1.得na是等比数列a1=0.2 , q=210 0 3 1 2 5.020 0 6 2 5.00 0 6 2 5.03 9 3 7 5.04.03 9 3 7 5.0211)211 (2.01)1 (6616kgqqaS例 3 在等比数列na中，400,60,364231nSaaaa，求n的范围解：3622131qaaa，61qa又6012142qqaaa，且012q，01qa，101 ,

12、621qqa解之：323211qaqa或当3,21qa时，40134002132111nnnnqqaS，6n（2733572936）当3,21qa时，80134004132nnnS，*Nn且必须为偶数8n， （65613,2187387）例 4设na, nb都是等差数列，它们的前n 项和分别为nA, nB, 已知1235nnBAnn,求nnba；85ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师精编优秀教案 解法 1：nnbannba22)(12(21)(12(21)()(121121121121nnnnbbnaanb

13、baa1212nnBA34210nn. 解法 2：na, nb 都是等差数列1235nnBAnn可设nAkn(5n+3), nB=kn(2n-1) na=nA-1nA= kn(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)=kn(10n-2), nb=nB-1nB=kn(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1) =kn(4n-3), nnba=)34()210(nknnkn=34210nn解：由解法 2，有na=nA-1nA= kn(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)=kn(10n-2), nb=nB-1nB=kn(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1) =kn(4n-3), 5a

14、k5(105-2)=240k 8bk8(48-3)=232k 85ba=2930232240kk例 5设等差数列 na 的前 n 项和为nS, (1) 如果 a29, S440, 问是否存在常数 c，使数列 cSn 成等差数列；(2) 如 果nS n2 6n, 问 是 否 存 在 常 数c， 使得1nSc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师精编优秀教案22nnScSc对任意自然数 n 都成立解：(1) 由 a29, S440, 得 a17, d2, na2n5, nSn26n, cSncnn62 当 c9 时,

15、cSnn3 是等差数列；(2) 1nSc22nnScSc对任意自然数 n 都成立，等价于nSc成等差数列 , 由于nSn26nnSc9)3(2cn, 即使 c9, nSc|n3|, 也不会成等差数列，因此不存在这样的常数c 使得1nSc22nnScSc对任意自然数 n 都成立三、课后作业：1已知1a, a2, 3a, , na, 构成一等差数列， 其前 n 项和为nSn2, 设nbnna3, 记nb 的前 n 项和为nT, (1) 求数列 na的通项公式；(2) 证明：nT1. 解：(1) 1a1S1, 当 n2 时, nanS1nS2n1; 由于 n1 时符合公式，na2n1 (n1). (

16、2) nTnn3122759331, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师精编优秀教案31nT131233227391nnnn, 两式相减得32nT3113123227292nnn3131(1131n)1312nn, nT2121(1131n)nn32121, 2已知等差数列 na的前 n项和为nS，nbnS1, 且3a3b21,3S5S21, (1) 求数列 bn 的通项公式； (2) 求证：1b2b3bnb2. 解： (1)设等差数列 na 的首项为1a, 公差为d,则3a3b(1a2d)da331121,

17、3S5S81a13d21, 解得1a1, d1, nan, nS2)1(nn, nb)1(2nn; (2) 1b2b3bnb2(121)(2131) (111nn)2. 3已知函数 f (x)(x1)2, 数列na是公差为 d 的等差数列，数列nb 是公比为 q 的等比数列 (qR, q1, q0), 若1af (d1), 3af (d1), 1bf (q1), 3bf (q1), (1) 求数列 na, nb的通项公式；(2) 设数列 nc对任意的自然数n 均有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师精编优秀教案

18、1332211nnnabcbcbcbc成立，求1c3c5c12nc的值解：(1) 1af (d1)(d2)2,3af (d1)d2, 3a1a2d, 即 d2(d2)22d, 解得 d2, 1a0, na2(n1), 又1bf (q1)(q2)2, 3bf (q1)q2, 13bbq2, 22)2(qqq2, q 1, q3, 1b1, nb31n(2) 设nmnnbc(nN), 数列nm 的前 n 项和为nS, 则nS1na2n, 1nSna2(n1), nS1nS2, 即nnbc2, nc2nb231n1c3c5c12nc2232 2322n19) 19(2n419n, 九、板书设计（略）十、课后记：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页