2022年高考复习函数性质专题之 .pdf

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1、学习必备欢迎下载函数篇一、考察函数的概念与性质（三要素、图像、奇偶性、对称性、单调性、周期性）（一） 、求函数的定义域（注意含根式函数，对数函数，分式函数的形式），值域（图像法、单调性法、反函数法、分离系数法、判别式法等等）例 1、 （20XX年 1）函数3)4lg(xxy的定义域是34xxx且（ 二 ） 、 若 函 数)(xfy的 图 像 关 于 直 线ax对 称 ， 则 有)()(xafxaf或)()2(xfxaf等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数)(xfy的图像关于直线ax的对称曲线是函数)2(xafy的图像，函数)(xfy的图像关于点),(

2、ba的对称曲线是函数)2(2xafby的图像 . 例 2、若函数)1(xfy是偶函数，则)(xfy的图像关于对称. 分析：由)1(xfy是偶函数，则有)1() 1(xfxf，即)1()1(xfxf，所以函数)(xfy的图像关于直线1x对称 .或函数)1(xfy的图像是由函数)(xfy的图像向右平移一个单位而得到的，)1(xfy的图像关于y轴对称，故函数)(xfy的图像关于直线1x对称 . 例3、 若函数)(xfy满足对于任意的Rx有)2()2(xfxf，且当2x时xxxf2)(，则当2x时)(xf. 分析：由)2()2(xfxf知，函数)(xfy的图像关于直线2x对称，因而有)4()(xfxf

3、成立 .2x，则24x，所以)4()4()4()(2xxxfxf.即2x时209)(2xxxf. （三） 、若函数)(xfy满足：)0)()(aaxfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数)(xfy满足：)0)()(axfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.（注意：若函数)(xf满足)(1)(xfaxf，则)(xf也是周期函数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 4、已知函数)(xfy满足：对于任意的Rx有)()1(xfxf成立， 且当)2 ,0 x时，12)(x

4、xf，则)2006()3()2()1(ffff. 分析：由)()1(xfxf知：)() 1( 1)1()2(xfxfxfxf，所以函数)(xfy是以2 为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(ffff，1)1()3()2003()2005(ffff，故意原式值为0. 随堂练习：已知函数满足：()(2)13, (1)1,求 (2013)ffff（四） 、奇函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf；偶函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程 .奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y 轴对称；若函数)

5、(xfy是奇函数或偶函数， 则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若)(xfy是奇函数且)0(f存在，则0)0(f；反之不然. 例 5、若函数axfx121)(是奇函数，则实数a；分析：注意到)0(f有意义，必有0)0(f，代入得21a.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍. 例 6、若函数3)2()(2xbaxxf是定义在区间2, 12aa上的偶函数，则此函数的值域是. 分析：函数是偶函数，必有0)2()12(aa，得1a；又由( )yfx是偶函数，因而2b.即3, 3(3)(2xxxf，所以此函数的值域为3 ,6

6、. （五） 、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反 .若函数)(xfy的图像关于直线ax对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域. 例 7、若函数)(xfy是定义在区间 3,3上的偶函数， 且在0,3上单调递增， 若实数a满足：)() 12(2afaf，求a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载分析：因为)(xfy是偶函数，)()12(2af

7、af等价于不等式)(|)12(|2afaf，又此函数在0,3上递增，则在 3 ,0递减 .所以2|12|3aa，解得211a. （六） 、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义， 不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解 .记住并会证明：函数)0,(,baxbaxy的单调性 . 例 8、已知函数)0(1)(axaxxf在), 1x上是单调增函数，求实数a的取值范围 . 分析：函数)0,( ,baxbaxy称为“耐克”函数，由基本不等式知：当0 x时，函数的最小值是ab2，当abx时等号成立 .,0(abx时，函数递

8、减；),abx时，函数递增 .记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数)0(1)(axaxxf在), 1 上递增，则11a，得1a.但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证. 任设), 1,21xx且21xx.)1)()()(212121xxaxxxfxf， 由函数)(xf是单调增 函 数 ， 则0)()(21xfxf， 而021xx， 则0121xxa.所 以211xxa对 于), 1 ,21xx且21xx恒成立，因1121xx，故1a. 需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要

9、严格的论证过程. （七） 、要掌握函数图像几种变换：对称变换、 翻折变换、 平移变换 .会根据函数)(xfy的图像，作出函数axfyaxfyxfyxfyxfy)(),(|,)(|),(|),(的图像 . （ 注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）； 要特别关注|)(|),(|xfyxfy的图像 . 例 9、函数|1|12|log|)(2xxf的单调递增区间为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载分析：函数|1|12|log|)(2xxf的图像是由函数xy2log的图像经过下列变换得到的：先将函

10、数xy2log的图像上各点的横坐标缩短到原来的21（或将函数xy2log的图像向上平移1 个单位）得到函数xy2log2的图像，再将函数xy2log2的图像作关于y轴对称得到函数|2|log2xy的图像，再将函数|2|log2xy的图像向右平移21个单位，得到函数|12|log2xy的图像，再将函数|12|log2xy的图像向下平移1个单位得到函数1|12|log2xy，最后将函数1|12|log2xy的图像在x轴下方部分翻折到x轴上方得到函数|1|12|log|)(2xxf的图像 .注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与x轴的交点不要搞错） ，从图像上可以看出此函数的单调递增

11、区间是)1 ,21与),23. 需要注意的是：函数图像变化过程：|)(|)(|)(axfyxfyxfy与变化过程：|)(|)()(axfyaxfyxfy不同 .前者是先作关于y轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线ax对称 .二、考察一元二次函数（一） 、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值. 例 1、求函数12)(2axxxf在区间3, 1的最值 . 分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的

12、最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可. ) 1(22) 1(610)(maxaaaaxf，) 1(610)31(1)1(22)(2minaaaaaaxf. （二） 、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是 “利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集” ，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地， 不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根） . 例 2、已知关于x的不等式5|3|ax的解集是4, 1，则实数a的值为.

13、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数a的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解集端点值4, 1是方程5|3|ax的根 .则5|34|5|3|aa得21282或或aa，知2a. 例 3、解关于x的不等式：)(0122Raaxax. 分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当0a时，此不等式是恒成立的，则其解集为R.当0a时，才是二次不等式.与其对应的方程为0122axax，根判别式aa442.当0，即1a或0a时，方程两根为a

14、aaax22, 1；当0，即1a时，方程有等根1x；当0，即10a时，方程无实根.结合二次函数的图像知：1a时不等式的解集为),(),(22aaaaaaaa；当1a时，不等式的解集为), 1()1,(；当10a时，不等式的解集为R；当0a时，不等式的解集为),(22aaaaaaaa. 三、考察函数的反函数（一） 、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程 .注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定. 例 1、函数)2,(),22(log)(22xxxx

15、f的反函数为. 分析：令)22(log22xxy，则12)1(22222yyxxx.因为2x，所以11x，则121yx，121yx.又原函数的值域为), 1 ，所以原函数的反函数为) 1(121)(1xxfx.（若是从反函数表达式得012x求得0 x就不是反函数的定义域）. （二） 、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载数的图像关于直线xy对称；若函数)(xfy的定义域为A，值域为C，CbAa,则有aaffbbff)(,)(11.

16、)()(1bfaafb.需要特别注意一些复合函数的反函数问题 .如)2( xfy反函数不是)2(1xfy. 例 2、已知函数)(xfy的反函数是)(1xfy，则函数)43(21xfy的反函数的表达式是. 分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y表示, x然后将yx,互换即得反函数的表达式.由)43(21xfy可得4)2(31)2(432)43(1yfxyfxyxf.所以函数)43(21xfy的反函数为4)2(31xfy. 例 3、已知02, )(log0,2)(2xxxxfx，若3)(1af，则a . 分析：由3)(1af得)3(fa，所以8a. （三） 、一条曲线可以作为函数图像的充要条件

17、是：曲线与任何平行于y 轴的直线至多只有一个交点 . 一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？例 4、函数12)(2axxxf， （4, 31 ,0 x） ，若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是. 分析： 由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于x轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数12)(2axxxf图像的对称轴为直线ax知：0a或4a必存在反

18、函数，10a或43a必不存在反函数.当3 , 1a时如何讨论？注意到函数在区间 1 ,0上递减，在4,3上递增，所以只要)1 ()4(ff或)0()3(ff即可 .亦即325a或231a.综上知，实数a的取值范围是0 ,(),43 ,25()23, 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载四、考察函数的零点和函数与方程思想（一） 、注意零点的概念例 1、 （2010 上海文数） 17.若0 x是方程式lg2xx的解，则0 x属于区间答（）（A） （0，1）. （ B） （1，1.25）. （C） （

19、 1.25，1.75）（D） （1.75，2）解析：04147lg)47()75.1(, 2lg)(ffxxxf由构造函数02lg)2(f知0 x属于区间（ 1.75，2）（二） 、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点等）、递增递减的区间、最值等. 例 2、已知函数1)(, 12)(axxgxxf，若不等式)()(xgxf的解集不为空集，则实数a的取值范围

20、是. 分析：不等式)()(xgxf的解集不为空集，亦即函数)(xfy的图像上有点在函数)(xgy的图像的上方. 函数12)(xxf的图像是x轴上方的半支抛物线，函数1)(axxg的图像是过点) 1 ,0(斜率为a的直线 .当21a时直线与抛物线相切，由图像知：12a.（注意图中的虚线也满足题义）例 3、若曲线1|2xy与直线bkxy没有公共点，则bk,应当满足的条件是. 分析：曲线1|2xy是由)0(12xxy与)0(12xxy组成， 它们与y轴的交点为)1 ,0(和)1,0(，图像如图（实线部分）.可以看出若直线bkxy曲线1|2xy的图像没有公共点，此直线必与x轴平行，所以0k，11b.

21、xyO 211 1l1 -1 xyO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载五、考察函数的最值与恒成立问题（一） 、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值） ；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数),(xafy的最值 .特别注意： 双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数. 例 1、 （1）已知不等式0224xxa对于, 1x）恒成立，求实数a的取值范围 . （2）若不等式0224xxa对

22、于3 ,(a恒成立，求实数x的取值范围 . 分析： （1）由0224xxa得：xxa222对于, 1x）恒成立，因212x，所以22222xx，当22x时等号成立 .所以有22a. （ 2）注意到0224xxa对于3 ,(a恒成立是关于a的一次不等式.不妨设)24(2)(xxaaf， 则)(af在3 ,(a上 单 调 递 减 ， 则 问 题 等 价 于0)3(f， 所 以2202234xxx或12x， 则x取 值 范 围 为), 1()0,(. 六、考察抽象函数性质及其具体背景1、下列四类函数中，个有性质“对任意的x0，y0，函数 f(x)满足f（xy） f（x）f（y） ”的是C （A）幂函

23、数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数解析：本题考查幂的运算性质)()()(yxfaaayfxfyxyx2、已知函数fx满足：114f，4,fx fyfxyfxyx yR，则2010f=_. 解析：取x=1 y=0 得21)0(f法一：通过计算).4(),3(),2(fff，寻得周期为6 法二：取x=n y=1, 有 f(n)=f(n+1)+f(n-1), 同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)= f(n-1) 所以 T=6 故2010f=f(0)= 21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 1

24、1 页学习必备欢迎下载3、函数( )f x的定义域为R，若(1)f x与(1)fx都是奇函数，则( D )(A) ( )f x是偶函数(B) ( )f x是奇函数(C) ( )(2)f xf x(D) (3)f x是奇函数解: (1)f x与(1)f x都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxf xfxfx，函数( )f x关于点(1,0)，及点( 1,0)对称，函数( )f x是周期21 ( 1)4T的周期函数 .(14)(14)fxf x，(3)(3)fxf x，即(3)f x是奇函数。4、已知定义在R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x,且在区间 0,2上是增函数 ,则(

25、 ).A.( 25)(11)(80)fffB. (80)(11)( 25)fffC. (11)(80)( 25)fffD. ( 25)(80)(11)fff【解析】 :因为)(xf满足(4)( )f xf x,所以(8)( )f xf x,所以函数是以8 为周期的周期函数 , 则)1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 R 上是奇函数，(0)0f,得0)0()80(ff,)1 ()1()25(fff,而由(4)( )f xf x得)1()41()3()3()11(fffff,又因 为)(xf在区间0,2 上是增函数,所以0)0()1(ff,所以0) 1(f,

26、即( 25)(80)(11)fff,故选 D.5、已知函数( )f x是(,)上的偶函数，若对于0 x，都有(2( )f xf x），且当0,2)x时，2( )log (1f xx），则( 2008)(2009)ff的值为A2B1C1D2答案： C 【解析】1222( 2008)(2009)(0)(1)loglog1ffff, 故选 C. 6、已知函数)(xf是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1() 1(xfxxxf，则)25(f的值是A. 0 B. 21C. 1 D. 25【答案】 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

27、- - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载【解析】 若x0，则有)(1) 1(xfxxxf，取21x，则有：)21()21()21(21211)121()21(fffff（ )(xf是 偶 函 数 ， 则)21()21(ff）由此得0)21(f于是，0)21(5)21(2121135) 121(35)23(35)23(23231)123()25(fffffff七、考察分段函数的有关计算1、已知函数3log,0( )2 ,0 xx xf xx，则1( )9ffA.4 B. 14C.-4 D-14【答案】 B 【解析】根据分段函数可得311( )log299f，则211( )(2)29

28、4fff。2、若函数f(x)=212log,0,log (),0 x xxx, 若 f(a)f(-a),则实数 a 的取值范围是（A） （-1 ，0）（ 0，1）（B） （- ， -1）（ 1,+ ）（C） （-1 ，0）（ 1,+ ）（D） （- ， -1 ）（ 0,1 ）【答案】 C 【解析】 本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。2112220a0f （的零点个数为 ( ) A3 B2 C1 D0 【答案】 B 【解析】当0 x时，令2230 xx解得3x；当0 x时，令2ln0 x解得100 x，所

29、以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。4、 （ 4）设 f(x)为定义在R 上的奇函数，当x0 时， f(x)=2x+2x+b(b 为常数 ) ，则 f(-1)=(A) 3 (B) 1 (C)-1(D)-3【答案】 D 5、已知函数f（x）232,1,1,xxxax x若f（f（0） ） 4a，则实数a 2 . 解析：f（ 0）=2，f（f（0） ）=f(2)=4+2a=4a ，所以 a=26、 定义在 R 上的函数f(x)满足 f(x)= 0),2() 1(0),1(log2xxfxfxx， 则 f （2009） 的值为 ( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】 :由已知得2( 1)log 21f,(0)0f,(1)(0)( 1)1fff, (2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1( 1)0fff, (4)(3)(2)0( 1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff, 所以函数f(x) 的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C. 答案 :C. 【命题立意】 :本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页