2022年高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程 .pdf

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1、第四章圆与方程知识点与习题1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设 Mx,y为 A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = M | |MA| = r 2、圆的方程1标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外 ;当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内 ; 2一般方程022FEyDxyxx+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/ 4 0422FED当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为

2、2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。3求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；假设利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：1 设直线0:CByAxl， 圆222:rbyaxC， 圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与C

3、lrd（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径 ，求解 k，假设求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；假设求得两个相同的解，带入切线方程， 得到一条切线； 接下来验证过该点的斜率不存在的直线此时，该直线一定为另一条切线(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2， 圆 上 一 点 为 (x0，y0) ， 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离1+24 条外切1+23 条相交| 1-2| 1+22 条内切 | 1-2|1 条精选学习资料

4、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和差，与圆心距d之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和差的绝对值，与圆心距d之间的大小比较来确定。即几何法注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线5、.圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 联立圆 C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程 假设两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆 C2公共弦所

5、在的直线方程； 假设两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆 C2的公切线的方程； 假设两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线，得到的 切线长相等 反之，亦成立6、已知一直线与圆相交，求弦的长度代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标 ，利用 两点间的距离公式求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形勾股定理7、已知两圆相交，求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出交点坐标 ；利用 两点间的距离公式求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形勾股定理8、圆系与圆系方程(1) 圆系 :具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2) 圆系方程：圆

6、C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程： x2+y2+D1x+E1y+F1+ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 假设圆C1与圆 C2交于 P1、P2点，那么，方程代表过P1、 P2两点的圆的方程。假设圆C1与圆 C2交于 P 点一个点，则方程代表过P点的圆的方程。9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论内含 | 1-2|0 条精选学

7、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页10、空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组),(zyx，x、y、z分别是 P、Q、R 在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组),(zyx，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),(zyx来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M),(zyx，x叫做点 M 的横坐标，y叫做点 M 的纵坐标，z叫做点 M 的竖坐标。11、空间两点间的距离公式1、空间中任意一点),(1111zyxP到点),(2222zyxP之间的距离公式2212

8、2122121)()()(zzyyxxPP一、选择题 (本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1已知两圆的方程是x2y21 和 x2y26x 8y90，那么这两个圆的位置关系是() A相离B相交C外切D内切解析： 将圆 x2y26x8y90，化为标准方程得(x3)2(y4)216. 两圆的圆心距032 0425，又 r1r25，两圆外切答案： C 2过点 (2,1)的直线中，被圆x2y22x4y0 截得的最长弦所在的直线方程为() A3xy 50 B3xy70 Cx3y50 Dx3y1 0 解析： 依题意知，所求直线通过圆心(1， 2

9、)，由直线的两点式方程得y21 2x121，即 3xy50. 答案： A 3假设直线 (1a)xy10 与圆 x2 y2 2x0 相切，则a的值为 () A1， 1 B2， 2 C1 D 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页解析： 圆 x2 y2 2x0 的圆心 C(1,0)，半径为1，依题意得|1 a01|1 a211，即 |a2|a121，平方整理得a 1. 答案： D 4经过圆x2y210 上一点 M(2，6)的切线方程是() Ax6y100 B.6x2y100 Cx6y10 0 D2x6y100 解析：

10、点 M(2，6)在圆 x2y210 上， kOM62，过点 M 的切线的斜率为k63，故切线方程为y663(x 2)，即 2x6y100. 答案： D 5点 M(3， 3,1)关于 xOz 平面的对称点是() A(3,3， 1) B(3， 3， 1) C(3， 3， 1) D(3,3,1) 解析： 点 M(3， 3,1)关于 xOz 平面的对称点是(3,3,1)答案： D 6假设点 A 是点 B(1,2,3)关于 x 轴对称的点， 点 C 是点 D(2，2,5)关于 y 轴对称的点， 则|AC| () A5 B.13 C10 D.10 解析： 依题意得点A(1， 2， 3)，C(2， 2， 5

11、)|AC|212 222 5 3213. 答案： B 7假设直线ykx1 与圆 x2y21 相交于 P、Q 两点，且 POQ120 (其中 O 为坐标原点 )，则 k的值为 () A.3 B.2 C.3或3 D.2和2 解析： 由题意知，圆心O(0,0)到直线 ykx1 的距离为12，11k212，k 3. 答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页8与圆 O1：x2y24x 4y70 和圆 O2：x2y24x10y130 都相切的直线条数是() A4 B3 C2 D1 解析： 两圆的方程配方得，O1：(x2)

12、2(y2)21，O2：(x2)2 (y 5)216，圆心 O1(2,2)，O2(2,5)，半径 r11，r24，|O1O2|222 5225，r1 r2 5. |O1O2|r1r2，两圆外切，故有3 条公切线答案： B 9直线 l 将圆 x2y22x4y0 平分，且与直线x 2y0 垂直，则直线l 的方程是 () A2xy 0 B2xy20 Cx2y30 Dx2y3 0 解析： 依题意知，直线l 过圆心 (1,2)，斜率 k2，l 的方程为y22(x1)，即 2xy0. 答案： A 10圆 x2y2(4m2)x2my4m24m 10 的圆心在直线xy 40 上，那么圆的面积为() A9 BC2

13、 D由 m 的值而定解析： x2y2(4m2)x2my4m24m10，x(2m1)2(ym)2m2. 圆心 (2m1，m)，半径 r|m|. 依题意知2m1m40，m1. 圆的面积S 12.答案： B 11当点 P 在圆 x2y21 上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是() A(x 3)2y24 B(x3)2 y2 1 C(2x3)24y21 D(2x 3)24y21 解析： 设 P(x1， y1)，Q(3,0)，设线段PQ 中点 M 的坐标为 (x，y)，则 xx132，yy12，x12x 3，y12y. 又点 P(x1，y1)在圆 x2y21 上，(2x3)24

14、y2 1. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为(2x3)24y21. 答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页12曲线 y14 x2与直线 yk(x2)4 有两个交点，则实数k 的取值范围是() A(0，512) B(512， ) C(13，34 D(512，34 解析： 如下图，曲线y14x2变形为 x2(y1)24(y 1)，直线 yk(x2) 4 过定点 (2,4)，当直线 l 与半圆相切时，有|2k41|k212，解得 k512. 当直线 l 过点 (2,1)时， k34. 因此， k 的取值范围是512

15、0. 故方程表示圆心为(k， 2k5)，半径为5|k1|的圆设圆心的坐标为(x，y)，则x k，y 2k5，消去 k，得 2x y50. 这些圆的圆心都在直线2xy50 上(2)证明： 将原方程变形为(2x4y 10)k(x2y210y20) 0，上式对于任意k 1 恒成立，2x 4y100，x2y210y20 0.解得x1，y 3.曲线 C 过定点 (1， 3)(3)圆 C 与 x 轴相切，圆心 (k， 2k5)到 x 轴的距离等于半径，即|2k5|5|k 1|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页两边平方，得(2k5)25(k1)2，k5 3 5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页