2022年高中数学必修5知识点总结 3.pdf

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1、必修 5 知识点总结1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2sinaR，2sinbR，2sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合

2、思想画出图：法一：把a 扰着 C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA, 看 a 的情况：当 absinA ，则 B无解当 bsinAb 时， B有一解注：当 A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab( 余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，

3、求其余的量。2、已知三边求角) 6、 如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、C的对边，则： 若222abc， 则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B, D bsinA A b a C A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页但不能到达，在岸边选取相距3千米的 C、D两点，并测得 ACB=75O, BCD=45O, ADC=30O, ADB=45O(A、B、 C、D在同一平面内) ，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略附：三角形的五个

4、“心”；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列11、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an） 12、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最大值 . (2)当1a0 时，满足的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。附

5、： 数列求和的常用方法1. 公式法 :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2. 裂项相消法 : 适用于1nnaac其中 na是各项不为0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例题：已知数列an 的通项为an=1(1)n n, 求这个数列的前n 项和 Sn. 解：观察后发现：an=111nn1211111(1)()()2231111nnsaaannn3. 错位相减法 : 适用于nnba其中 na 是等差数列，nb是各项不为0 的等比数列。例题：已知数列an 的通项公式为2nnan，求这个数列的前n 项之和ns。解：由题设得：123nnsaaaa =1231 22

6、 23 22nn即ns=1231 22 23 22nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页把式两边同乘2 后得2ns=23411 22 23 22nn用 - ，即：ns=1231 22 23 22nn2ns=23411 22 23 22nn得23111111 222222(1 2 )212222(1)22nnnnnnnnsnnnn1(1)22nnsn4. 倒序相加法 : 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法. 5. 常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2)1(nn 2） 1+3+5+.+(2n-1) =2n 3

7、）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111) 1(1nnnn)211(21)2(1nnnn6）)()11(11qpqppqpq31、0abab；0abab；0abab32、不等式的性质：abba；,ab bcac；abacbc；,0ab cacbc，,0a bcac bc；,ab cdacbd；0dacbd；0,1nnababnn；0,1nnabab nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、含绝对值

8、不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法 （零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022110aaxaxaxannnn解法：将不等式化为a0(x-x1)(x-x2) (x-xm)0(0”, 则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0) 解的讨论 . 000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R 的解集)0(02acbxax21xxxx对于 a0( 或)(

9、)(xgxf0) ；)()(xgxf0(或)()(xgxf0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(; 0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页例题：求解不等式：11x解：略例题：求不等式11xx的解集。3. 含绝对值不等式的解法：基本形式：型如： |x| a (a0) 的不等式的解集为：|xaxa型如： |x| a (a0) 的不等式的解集为：|,x xaxa或变型：|(0)|axbc cxcaxbc型的不等式的解集可以由解得。其中 -ca

10、x+bc 等价于不等式组axbcaxbc在解 -cax+b0) 的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设 ax2+bx+c=0 的两根为、，f(x)=ax2+bx+c, 那么：若两根都大于0，即0,0，则有000若两根都小于0，即0,0，则有002(0)0baf若两根有一根小于0 一根大于0，即0，则有(0)0f对称轴 x=2bay o x 对称轴 x=2bao x y o y x 921125 ( )f x=10 y 3o 2 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页若两根在两实数m,n 之间，即mn，则有02(

11、)0( )0bmnaf mf n若两个根在三个实数之间，即mtn，则有()0( )0( )0f mf tf n常由根的分布情况来求解出现在a、b、c 位置上的参数例如：若方程222(1)230 xmxmm有两个正实数根，求m的取值范围。解：由型得0002224(1)4(23)02(1)0230mmmmmm111,3mmmm或3m所以方程有两个正实数根时，3m。又如：方程2210 xxm的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。解： 因为有两个不同的根， 所以由0(1)0f2222( 1)4(1)01110mm552211mm11m35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式

12、36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对, x y，所有这样的有序数对, x y构成的集合X=2ban x m o y X=2bay o m t n x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页38、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC，坐标平面内的点00,xy若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的上方若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC（

13、一）由B确定：若0， 则0 xyC表示 直线0 xyC上方的区域；0 xyC表示 直线0 xyC下方的区域若0， 则0 xyC表示 直线0 xyC下方的区域；0 xyC表示 直线0 xyC上方的区域（二）由A的符号来确定：先把 x 的系数 A化为正后，看不等号方向：若是“ ”号，则0 xyC所表示的区域为直线l: 0 xyC的右边部分。若是“ ”号，则0 xyC所表示的区域为直线l: 0 xyC的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一） （二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。例题：画出不等式组25035250

14、 xyyxyx所表示的平面区域。解：略40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解, x y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页41、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均

15、数42、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab43 、 常 用 的 基 本 不 等 式 ： 222,abab a bR； 22,2ababa bR； 20,02ababab；222,22ababa bR44、极值定理：设x、y都为正数，则有：若xys（和为定值） ，则当xy时，积xy取得最大值24s若xyp（积为定值） ，则当xy时，和xy取得最小值2p例题：已知54x，求函数1( )4245f xxx的最大值。解：54x，450 x由原式可以化为：1111( )4552(54 )3(54 )3(54 )31 3245545454f xxxxxxxxx当15454xx，即2(54 )1x31(2xx，或舍去）时取到“ =”号也就是说当1x时有max( )2f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页