2022年高中数学立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载线面垂直知识点1.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 . 逆定理：在平面内的

2、一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. 题型示例【 例 1】如图所示，已知点S是平面 ABC 外一点，ABC=90， SA平面 ABC，点 A 在直线 SB和 SC 上的射影分别为点E、F，求证： EFSC. 【 解前点津 】用分析法寻找解决问题的途径，假设EFSC成立，结合AFSC 可推证 SC平面 AEF，这样SCAE，结合 AESB，可推证AE平面 SBC，因此证明AE平面 SBC 是解决本题的关键环节.由题设 SA平面 ABC，ABC=90，可以推证BCAE，结合 AESB完成 AE平面 SBC 的证明 . 【 规范解答 】【 解后归纳 】题设

3、中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 例 1 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载【 例 2】已知： MN=AB,PQM 于 Q，PO N 于 O，ORM 于 R，求证： QRAB. 【 解前点津 】由求证想判定， 欲证线线垂直， 方法有（1） ab,acbc;(2)a,bab;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【 解后归纳 】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”

4、. 所谓“一个面” ：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线” ：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【 例 3】已知如图 (1)所示，矩形纸片AAA1A1,B、C、B1、C1分别为 AA,A1A的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图 (2)形状（正三棱柱） ，若面对角线AB1BC1，求证 :A1CAB1. 例 3 题图解 (1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页

5、，共 9 页学习必备欢迎下载【 解前点津 】题设主要条件是AB1BC，而结论是AB1A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点 D1，就把异面直线AB1与 BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内 AB1与 BD1垂直关系， 这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与 A1C 垂直用同法 （对称原理）转换到同一平面，取AB 中点 D 即可，只要证得A1D 垂直于 AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了. 【 解后归纳 】证线线垂直主要途径是：（ 1）三垂线正逆定理， （2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内

6、完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法. 【例 4】空间三条线段AB,BC,CD,ABBC,BCCD,已知 AB=3,BC=4,CD=6,则 AD 的取值范围是. 【 解前点津 】如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6, AD1的长是 AD 的最小值 ,其中 AHCD1,AH=BC=4,HD1=3, AD1=5;在直角 AHD2中,CD2=6,AD2是 AD 的最大值为974)36(22222AHHD【 解后归纳 】本题出题形式新颖、灵活性大， 很多学生

7、对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论. 例 4 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载对应训练分阶提升一、基础夯实1.设 M 表示平面， a、b 表示直线，给出下列四个命题：MbMaba/baMbMa/baMabMbaMa /bM. 其中正确的命题是( ) A.B.C.D.2.下列命题中正确的是( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这

8、个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示， 在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点 .现在沿 DE、DF 及 EF 把 ADE、CDF 和 BEF 折起，使A、B、C 三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体PDEF 中，必有( ) A.DP平面 PEF B.DM 平面 PEF C.PM平面 DEF D. PF平面 DEF4.设 a、b 是异面直线，下列命题正确的是( ) A.过不在 a、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a、b 都相交B.过不在 a、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a、b

9、都垂直C.过 a 一定可以作一个平面与b垂直D.过 a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l,m 与平面 ,满足 :l=,l,m和 m,那么必有( ) A.且 lm B.且 mC.m且 lm D.且 6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则 P 到 AB的距离为( ) A.1 B.2 C.552D.5537.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面 的一条斜线l 有且仅有一个平面与垂直；异面直线a、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直

10、线a、b 的公垂线，平面、满足 a ，b ，则下面正确的结论是( ) 第 3 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载A.与必相交且交线md 或 m 与 d 重合B.与必相交且交线md 但 m 与 d 不重合C.与必相交且交线m 与 d 一定不平行D.与不一定相交9.设 l、m 为直线， 为平面，且l ，给出下列命题若 m，则 m l；若 m l，则 m ；若 m，则 ml；若 ml，则 m，其中真命题的序号是( ) A.B.C.D.10.已知直线l平面 ，直线 m平面 ，给出下列四个命题：若 ，则 l

11、m；若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 lm，则 . 其中正确的命题是( ) A.与B.与C.与D.与二、思维激活11.如图所示， ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为A，B，C，如果 ABC是正三角形， 且 AA 3cm，BB 5cm， CC 4cm，则 ABC的面积是. 12.如图所示 ,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件时,有 A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示，在三棱锥VABC 中，当三条侧棱VA、VB、VC 之间满足条件时，有VCAB.(注：填上你认为

12、正确的一种条件即可) 三、能力提高14.如图所示 ,三棱锥 V-ABC 中,AH侧面 VBC,且 H 是 VBC 的垂心， BE 是 VC 边上的高 . (1)求证 :VCAB; (2)若二面角EABC 的大小为30,求 VC 与平面 ABC 所成角的大小. 第 11 题图第 12 题图第 13 题图第 14 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载15.如图所示， PA矩形 ABCD 所在平面， M、N 分别是 AB、PC 的中点 . (1)求证： MN平面 PAD. (2)求证： MNCD. (3)

13、若 PDA45，求证： MN平面 PCD. 16.如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BAD60， AB 4，AD2，侧棱 PB15，PD3. (1)求证： BD平面 P AD . (2)若 PD 与底面 ABCD 成 60的角，试求二面角PBCA 的大小 . 17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=6， M 是 CC1的中点，求证： AB1 A1M18.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，M 是 AD 的中点， N 是 BD上一点，且 DN NB12， MC 与 BD 交于 P. (1)求证： NP平面 ABC

14、D. (2)求平面 PNC 与平面 CCDD 所成的角 . (3)求点 C 到平面 DMB 的距离 . 第 15 题图第 16 题图第 18 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载第 4 课线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行. 2.C 由线面垂直的性质定理可知. 3.A 折后 DPPE,DP PF，PEPF. 4.D 过 a 上任一点作直线b b,则 a， b确定的平面与直线b 平行 . 5.A,m且 m,则必有 ,又因为 l=则有 l

15、,而 m 则 lm,故选 A. 6.DP 作 PDAB 于 D，连 CD，则 CDAB，AB=522BCAC，52ABBCACCD，PD=55354122CDPC. 7.D 由定理及性质知三个命题均正确. 8.A 显然 与 不平行 . 9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直. 10.B ，l， l m11.23cm2 设正三角 ABC的边长为a. AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又 AC2+BC2=AB2， a2=2SABC=23432acm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件 ACBD

16、(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有 A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评： 本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB. 由 VCVA， VCAB 知 VC平面 VAB. 14.(1)证明 :H 为 VBC 的垂心 , VCBE,又 AH平面 VBC, BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影 ,ABVC. (2)解:由(1)知 VC AB,VCBE, VC平面 ABE,在平面 ABE 上,作 ED AB,又 AB

17、VC, AB面 DEC . ABCD, EDC 为二面角EABC 的平面角， EDC=30,AB平面 VCD , VC 在底面 ABC 上的射影为CD. VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角 ,又 VCAB,VCBE, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载VC面 ABE,VCDE, CED=90,故 ECD=60 , VC 与面 ABC 所成角为60 . 15.证明： (1)如图所示，取PD 的中点 E，连结 AE，EN，则有 ENCDABAM，EN21CD21ABAM，故 AMNE 为平行四边形

18、. MNAE. AE 平面 PAD，MN 平面 PAD， MN平面 PAD. (2)PA平面 ABCD，PAAB. 又 ADAB， AB平面 PAD. ABAE，即 ABMN. 又 CDAB， MNCD. (3)PA平面 ABCD， P AAD. 又 PDA 45， E 为 PD 的中点 . AEPD，即 MNPD.又 MNCD，MN平面 PCD. 16.如图 (1)证：由已知AB4，AD， BAD60，故 BD2AD2+AB2-2AD ABcos60 4+16-2 242112. 又 AB2AD2+BD2， ABD 是直角三角形，ADB 90，即 ADBD.在 PDB 中， PD3，PB15

19、，BD12，PB2PD2+BD2，故得 PDBD.又 PDADD，BD平面 PAD. (2)由 BD平面 PAD，BD平面 ABCD. 平面 PAD平面 ABCD.作 PEAD 于 E，又 PE 平面 PAD，PE平面 ABCD， PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角 . PDE 60， PEPD sin6023233. 作 EFBC 于 F，连 PF，则 PFBF， PFE 是二面角P BCA 的平面角 . 又 EFBD12，在 RtPEF 中，tanPFE433223EFPE. 故二面角PBC A的大小为arctan43. 第 15 题图解第 16 题图解精选学习资料 - - -

20、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载17.连结 AC1，11112263ACCCMCAC. Rt ACC1RtMC1A1， AC1C=MA1C1， A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90. A1M AC1,又 ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1B1C1，又 B1C1 A1C1， B1C1平面 AC1M. 由三垂线定理知AB1A1M. 点评： 要证AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1A1M，而AC1A1M一定会成立18.(1)证明：在正方形ABCD 中， MPD CPB，且 MD 21B

21、C，DPPB MDBC12. 又已知 DNNB12，由平行截割定理的逆定理得NPDD，又 DD 平面ABCD，NP平面 ABCD. (2)NPDD CC，NP、CC在同一平面内，CC为平面NPC 与平面 CCDD 所成二面角的棱. 又由 CC平面ABCD，得 CC CD，CC CM， MCD 为该二面角的平面角. 在 RtMCD 中可知MCD arctan21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得， 等腰 MBC 面积 S122a，等腰 MBD 面积 S2246a，设所求距离为h，即为三棱锥CDMB 的高 . 三棱锥D BCM 体积为hSDDS213131，.3621aSaSh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页