2022年高等数学期末复习试题及答案 .pdf

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1、一、填空题共21 分每题 3 分1曲线012xyz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122yxz2直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为23设函数22232),(zyxzyxf，则)1, 1, 1(grad f6,4,24设级数1nnu收敛，则nnulim05设周期函数在一个周期内的表达式为,0,10,0)(xxxxf则它的傅里叶级数在x处收敛于216全微分方程0ddyxxy的通解为Cxy7写出微分方程xeyyy2的特解的形式xaxey*二、解答题共18 分每题 6 分1求过点)1,2, 1(且垂直于直线02032zyxzyx的平面方程解：设所求平面的法向量为n，

2、则3,2, 1111121kjin(4 分) 所求平面方程为032zyx(6 分) 2将积分vzyxfd),(化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面)(222yxz及22yxz所围成的区域解：20, 10,2:2rrzr(3 分)vzyxfd),(221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr(6 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页3计算二重积分DyxyxeIdd)(22，其中闭区域.4:22yxD解2020dd2rreIr20220)(dd212rer202d221re)1(4e三、解答题共35

3、分每题 7 分1设vuez，而22yxu，xyv，求zd解：)2(232yyxxeyuexexvvzxuuzxzxyvv(3 分) )2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv(6 分) yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332(7 分) 2函数),(yxzz由方程0 xyzez所确定，求yzxz,解：令xyzezyxFz),(，(2 分) 则,yzFx,xzFy,xyeFzz(5 分) xyeyzFFxzzzx，xyexzFFyzzzy(7 分) 3计算曲线积分Lyxxydd，其中L是在圆周22xxy上由)0, 2(A到点)0,0(O的有向弧段解：添加有向

4、辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林公式OADLyxxyyxyxxydddd2dd(5 分) 022(7 分) 4设曲线积分Lxyxfxyxfed)(d)(与路径无关，其中)(xf是连续可微函数且满足1)0(f，求)(xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页解： 由xQyP得)()(xfxfex，即xexfxf)()(3 分) 所以)d()(dd) 1(Cxeeexfxxx)(Cxex，(6 分) 代入初始条件，解得1C，所以) 1()(xexfx(7 分) 5判断级数12)!2(

5、) !(nnn的敛散性解：因为)!2() !()!22()!1(limlim221nnnnuunnnn(3 分) )12)(22() 1(lim2nnnn141(6 分) 故该级数收敛(7 分) 四、7 分计算曲面积分yxzxzyzyxdddddd，其中是上半球面221zyx的上侧解：添加辅助曲面1,0:221yxz，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得yxzxzyzyxdddddd1ddddddyxzxzyzyx1ddddddyxzxzyzyx(4 分) 0d3v(6 分) 342132(7 分)五、6 分在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形解：设三角形各边所

6、对圆心角分别为zyx,，则2zyx，且面积为)sinsin(sin212zyxRA，令)2(sinsinsinzyxzyxF(3 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页由20cos0cos0coszyxzFyFxFzyx(4 分)得32zyx此时，其边长为RR3232 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大(6 分)六、8 分求级数1nnnx的收敛域，并求其和函数解：1) 1(limlim1nnaaRnnnn，故收敛半径为1R(2 分) 当1x时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当

7、1x时， 级数为调和级数，发散故原级数的收敛域为)1, 1(5 分) 设和为)(xS，即1)(nnnxxS，求导得11)(nnxxSx11，(6 分) 再积分得xxxSxS0d)()(xxxd110)1ln(x，) 11(x(8 分) 七、5 分设函数)(xf在正实轴上连续，且等式yxxyttfxttfyttf111d)(d)(d)(对任何0,0 yx成立如果3)1 (f，求)(xf解： 等式两边对y求偏导得)(d)()(1yfxttfyxfxx(2 分) 上式对任何0,0 yx仍成立令1y，且因3) 1(f，故有xxttfxxf13d)()(3 分) 由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导

8、，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页3)()()(xfxfxf x即)0(3)(xxxf故通解为Cxxfln3)(当1x时，3) 1(f，故3C因此所求的函数为) 1(ln3)(xxf(5 分) 八 5 分已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程解 1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2xfyyy将xxey代入上式，得xxxeexf2)(，因此所求的微分方程为

9、xxxeeyyy22解 2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe是非齐次方程的一个特解，故xxxeCeCxey221是所求微分方程的通解，从而有xxxxeCeCxeey2212，xxxxeCeCxeey22142消去21,CC，得所求的微分方程为xxxeeyyy2206 高数 B 一、填空题共30 分每题 3 分1 xoy坐 标 面 上 的 双 曲 线369422yx绕x轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为36)(94222zyx2设函数22),(zyzxzyxf，则) 1,0, 1(grad f)2, 1,2(3直线354

10、22:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页4. 设是曲面222yxz及22yxz所围成的区域积分，则vzyxfd),(化为柱面坐标系下的三次积分形式是221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr5. 设L是圆周22xxy，取正向，则曲线积分Lyxxydd26. 幂级数11) 1(nnnnx的收敛半径1R7设级数1nnu收敛，则nnulim08设周期函数在一个周期内的表达式为,0,0,0)(xxxxf则它的傅里叶级数在x处收敛于29全微分方程0ddyyx

11、x的通解为Cxy10写出微分方程xeyyy2的特解的形式xaxey*二、解答题共42 分每题分1求过点) 1,2, 1(且垂直于直线03202zyxzyx的平面方程解：设所求平面的法向量为n，则3, 2, 1111121kjin(4 分) 所求平面方程为032zyx(2 分) 2函数),(yxzz由方程zyxzyx32)32sin(所确定，求xz解：令zyxzyxzyxF32)32sin(),(，(2 分) 则, 1)32cos(zyxFx3)32cos(3zyxFz(2 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页)

12、32cos(33)32cos(1zyxzyxFFxzzx(2 分) 3计算Dxyd，其中D是由直线2, 1 xy及xy所围成的闭区域解法一：原式211ddxxyxy(2 分) xyxxd22112xxxd )22(213811482124xx. (4 分) 解法二：原式212ddyyxxy81182142yy.(同上类似分 ) 4计算Dyxyxdd122，其中D是由122yx即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域解： 选极坐标系原式20102d1rrrd(3 分) )1(1)21(22102rdr6(3 分) 5计算zxyyzxzydd2d)(222，其中是曲线, tx,2ty3tz上由01t到

13、12t的一段弧解： 原式1022564d322)(ttttttt(3 分) 1046d)23(ttt10575273tt351(3 分) 6判断级数1212nnn的敛散性解：因为nnnnnnnnuu2122) 12(limlim11(3 分)121，(2 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页故该级数收敛(1 分) 7求微分方程043yyy满足初始条件,00 xy50 xy的特解解：特征方程0432rr，特征根1,421rr通解为xxeCeCy241，(3 分) xxeCeCy2414，代入初始条件得1, 121C

14、C，所以特解xxeey4(3 分) 三、8 分计算曲面积分yxzxzyzyxdddddd，其中是上半球面221zyx的上侧解：添加辅助曲面1,0:221yxz，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得yxzxzyzyxdddddd1ddddddyxzxzyzyx1ddddddyxzxzyzyx(4 分) 0d3v(2 分) 342132 (2 分)四、8 分设曲线积分Lyxxxfxxyfd)(2d)(2在右半平面)0(x内与路径无关，其中)(xf可导，且满足1) 1(f，求)(xf解：由xQyP，得xxf xxfxf2)(2)(2)(，即1)(21)(xfxxf，(3 分) 所以)

15、d()(d21d21Cxeexfxxxx)(2121Cdxxx)32(2321Cxx，(3 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页代入初始条件，解得31C，所以xxxf3132)(2 分)五、6 分求函数xyyxyxf3),(33的极值解：033),(033),(22xyyxfyxyxfyx得驻点)1, 1 (),0,0(3 分) ,6),(xyxfxx,3),(yxfxyyyxfyy6),(在点)0,0(处，,092ACB故)0 ,0(f非极值；在点) 1, 1(处，,0272ACB故1) 1, 1 (f是极小

16、值(3 分)六、6 分试证：曲面)(xyxfz上任一点处的切平面都过原点证：因),()(xyfxyxyfxz)(1)(xyfxxyf xyz(3 分) 则取任意点),(0000zyxM，有)(0000 xyfxz，得切平面方程为)()()()(00000000000000yyxyfxxxyfxyxyfxyfxz即0)()()(00000000zyxyfxxyfxyxyf故切平面过原点(3 分) 07A 一、填空题每题 3 分，共 21 分1设向量 5, 1,1 , 3 ,2ba，已知a与b垂直，则12设3),( ,2, 3baba，则ba63yoz坐标面上的曲线12222bzay绕z轴旋转一周

17、生成的旋转曲面方程为122222bzayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页4过点)0 ,4,2(且与直线023012zyzx垂直的平面方程0832zyx5二元函数)ln(yxxz的定义域为0,0,(yxxyxD6函数)ln(),(222zyxzyxf，则) 1 ,0, 1(gradf 1 ,0, 17设xyez，则dz)(xdyydxexy8设),(xyxxfu，f具有连续偏导数，则xu21fxyxff9曲线32,tztytx上点)1 , 1 , 1 (处的切向量T 3, 2, 110交换积分顺序：ydxyxfd

18、y010),(110),(xdyyxfdx11闭区域由曲面222yxz及平面1z所围成，将三重积分dvzyxf),(化为柱面坐标系下的三次积分为20101),sin,cos(rdzzrrfrdrd12设L为下半圆周21xy，则dsyxL)(2213设L为取正向圆周922yx，则dyxxdxyxyL)4()22(21814设周期函数在一个周期内的表达式为xxxxf000)(则它的傅里叶级数在x处收敛于215假设0limnnu，则级数1nnu的敛散性是发散16级数1!2nnnnn的敛散性是收敛17设一般项级数1nnu，已知1nnu收敛，则1nnu的敛散性是绝对收敛18微分方程05)(23xyyyx

19、是2 阶微分方程19微分方程044yyy的通解yxxxeCeC222120微分方程xxeyyy223的特解形式为xebaxx2)(二、 共 5分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页设xyvyxuvuz,ln2，求yzxz,解： 1)ln(21ln2222xyyxyvuyvuxvvzxuuzxz 1)ln(2)(ln23222xyyxxvuyxvuyvvzyuuzyz三、 共 5分设022xyzzyx，求xz解：令xyzzyxzyxF22),(xyzyzxyzFxxyzxyxyzFzxyxyzxyzyzFFxzzx四

20、、 共 5分计算xdxdydz，其中为三个坐标面及平面1zyx所围成的闭区域解：yxzxyx10,10,10:xyxxdyyxxdxxdzdydxxdxdydz1010101010)1(241)2(21)1(213102102dxxxxdxxx五、 共 6分计 算Lxxdyyedxyye) 1cos()sin(， 其 中L为 由 点)0,(aA到 点)0, 0(O的 上 半 圆 周axyx22解：添加有向辅助线段OA,则有向辅助线段OA和有向弧段OA围成闭区域记为D，根据格林公式Lxxdyyedxyye)1cos()sin(DOAxxdyyedxyyedxdy) 1cos()sin(0)2(2

21、12a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页381a六、 共 6分求幂级数13)3(nnnnx的收敛域解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim333) 1(3limlim111xxnnnxnxuunnnnnnnnn当1331x时，即60 x，原级数绝对收敛当1331x时，即60 xx或，原级数发散当0 x时，根据莱布尼兹判别法，级数1)1(nnn收敛当6x时，级数11nn发散，故收敛域为)6, 0七、 共 5分计算dxdyz2，其中为球面1222zyx在第一卦限的外侧解：在xoy面的投影xyD：0, 0,

22、122yxyxdxdyz2dxdyyxxyD)1(22rdrrd)1(201024128八、 共 7分设0) 1(f， 求)(xf使dyxfydxxfxx)()(1ln为某二元函数),(yxu的全微分，并求),(yxu解：由xQyP，得)()(1lnxfxfxx，即xxfxxfln)(1)(所以)ln21()1ln()ln()(211CxxCdxxxxCexexfdxxdxx带入初始条件，解得0C,所以xxxf2ln21)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页),()0,0(22ln21)ln21(ln),(yxx

23、dyxydxxxyxuxyxdyx002ln210 xxy2ln2107 高数 B 一、 共 60 分每题 3 分1.设向量4, 2,6a， 2, 1,b，已知a与b平行, 则32.yoz坐标面上的曲线12222czay绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222bzayx3.设3),( , 1, 2baba,则ab34.设一平面经过点) 1, 1, 1(，且与直线03042zyyx垂直，则此平面方程为032zyx5.二元函数12ln2xyz的定义域为012|),(2xyyx6.设xyez，则zd)dd(yxxyexy7.函数)ln(),(222zyxzyxf，则)1,0, 1(grad f

24、)1,0, 1(8.设( ,)yuxf xx，f具有连续导数，则ux12yfxffx9.曲面1222zyx在点)2,0, 1(处的法向量n4,0,210. 交换积分顺序：100d),(dxyyxfx101d),(dyxyxfy11. 闭区域由曲面22yxz及平面1z所围成，将三重积vzyxfd),(化为柱面坐标系下的三次积分为110202d),sin,cos(ddrzzrrfrr12. 设是闭区域的整个边界曲面的外侧 ,V是的体积，则yxzxzyxyxdddddd=V313.设 L 为上半圆周21xy，则Lsyxd)(22得分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

25、- - - - - -第 13 页，共 24 页14. 设周期函数在一个周期内的表达式为,0,0,0)(xxxxf则它的傅里叶级数在x处收敛于215.假设lim0nnu，则级数1nnu的敛散性是发散16.级数1!5nnnnn的敛散性是收敛 17. 级数12sinnnn的敛散性是收敛 18.微分方程06)(542yyyx是 2 阶微分方程19.微分方程02yyy的通解为)(21xCCex20.微分方程xxeyyy2365的特解的形式xebxaxy22*)(三、 共 5 分函数),(yxzz由方程04222zzyx所确定，求xz解：令),(zyxFzzyx4222， (1分) 则,2xFx,42z

26、Fz (2分) zxFFxzzx2 (2分) 五、 共 6 分计 算 曲 线 积 分Lyyxxyxd)sin(d)2(22，其 中 L 为由 点)0, 2(A到 点)0,0(O的 上 半 圆 周xyx222解：添加有向辅助线段OA，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式Lyyxxyxd)sin(d)2(22OADyyxxyxyxd)sin(d)2(dd)21(22(3 分) 得分得分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页Dyxdd202dxx3823212132(3 分) 七、 共 6 分设0)1(f，确定)

27、(xf使yxfxxyxfxd)(d)(sin为某二元函数( , )u x y的全微分解： 由xQyP得)()(sinxfxxfx，即xxxfxxfsin)(1)(2 分) 所以)dsin()(dx1d1Cxexxexfxxx)dsin(lnlnCxexxexx(2 分) )cos(1Cxx，(1 分) 代入初始条件，解得1cosC，所以)cos1(cos1)(xxxf(1 分) 八、 (共 6 分)计算yxzdd2，其中是球面1222zyx外侧在,0 x0y的部分解：yxzdd1ddyxz2ddyx(2 分) xyDyxyxdd)1(22xyDyxyxd)d1() 1(22(2 分) xyDy

28、xyxd)d1 (222rrrd)1(d2102204 (2分)08 高数 A 一、选择题共24 分每题 3 分1设1111,pnms，2221,pnms分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是得分得分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页AA0212121ppnnmmB212121ppnnmmC1212121ppnnmmD1212121ppnnmm2Yoz 平面上曲线12yz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为( C )A12yzB22xyzC122xyzDxyz23二元函数12ln2xy

29、z的定义域为BA02|),(2xyyxB012|),(2xyyxC012|),(2xyyxD0, 0|),(yxyx4交换积分顺序：100d( , )dyyf x yx A Adyyxfdxx110),(Bdxyxfdyy110),(Cdxyxfdyy110),(Ddyyxfdxx110),(5空间闭区域由曲面1r所围成，则三重积分vd2= C A2 B2C38D346函数),(yxzz由方程04222zzyx所确定，则xz= D Azy2Byx2Czz2Dzx27幂级数13nnnnx的收敛域是 C A3,3B3 , 0C 3 , 3D 3 ,38已知微分方程xeyyy2的一个特解为xxey*

30、，则它的通解是B AxxexCxC221BxxxxeeCeC221CxexCxC221DxxxxeeCeC21二、填空题共15 分每题 3 分1曲面zyx22在点)1,0, 1(处的切平面的方程是012zx2假设 lim0nnu，则级数1nnu的敛散性是发散3级数12cosnnn的敛散性是绝对收敛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页4二元函数2221sin)(),(xyxyxf，当0, 0,yx时的极限等于0 。5全微分方程0ddyxxy的通解为 _cxy_ 三、解答题共54 分每题 6 分1用对称式方程及参数方程

31、表示直线04320zyxizyx043201zyxzyx解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为3, 1, 4312111kjis(4 分) 在直线上找出一点，例如，取10 x代入题设方程组得直线上一点2,0 , 15 分故题设直线的对称式方程为321041zyx(6 分) 参数方程为tztytx32417 分4计算三重积分vyxd22，其中是平面2z及曲面22yxz所围成的区域提示：利用柱面坐标计算解：20,20,2:rzr(3 分)vyxd2222020dddrzrrr6 分387 分5计算曲线积分Lyxxyd2d，其中L是在圆周22xxy上由)0,2(A到点)0,0(

32、O的有向弧段解法 1：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式2 分OADLyxxyyxyxxyd2ddd3d2d(4 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页2023(6 分) 解法 2：直接求曲线积分6求外表积为2a而体积为最大的长方体的体积。解法 1：设长方体的长、宽、高分别为zyx,，则题设问题归结为约束条件0222),(2axzyzxyzyx下，求函数xyzVzyx,均大于 0的最大值。2 分作拉格朗日函数)222(),(2axzyzxyxyzzyxL4 分由

33、方程组0)(20)(20)(2xyxyLzxxzLzyyzLzyX5 分进而解得唯一可能的极值点66azyx由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为3366aV6 分解法 2：从条件中解出 z 代入目标函数中，再用无条件极值的方法求解。7计算dszyx，其中为平面4zy被柱面1622yx所截的部分。解：积分曲面的方程为yz4，它在xoy面上的投影为闭区域16,22yxyxDxy2 分又2122yxzz所以dszyx=dxdyyyxxyD244 分=dxdyxxyD42=rdrrd2040cos425 分264264216442dxdyxyD精选学习资料 - - - -

34、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页6 分8将函数)1 , 1(,11)(2xxxf展开成 x 的幂级数。解法 1： 因为21111xx2 分而又.11132nxxxxx) 1 , 1(x4 分逐项求导，得.32111122nnxxxx) 1 , 1(x6 分解法 2：直接求展开式的系数，然后根据余项是否趋近于零确定收敛域。9求微分方程2 1yy的通解。解：令uy则原方程变为21uu2 分别离变量后积分得1arctancxu4分则，1tancxy5 分故原方程的通解为21coslnccxy6 分四、证明题 7 分证 明 ： 假 设 函 数),(

35、yxf在2211,byabxaR上 连 续 ，R,， 令yaxaR21,，则),(),(2fdxdyyxfR证：已知),(yxf在R连续，R,，设21),(),(),(aaRdyyxfdxdxdyyxfF3分因为2),()(adyyxfx在,1a连续，所以，有2),(adyyfF5 分又因为),(yf在22,ba上连续，所以有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页),(2fF即),(),(2fdxdyyxfR7 分08 高数 B 一、选择题共24 分每题 3 分1 设 两 平 面 的 法 向 量 分 别是1111,c

36、ban，2221,cban， 则 这 两 平 面 垂 直 的 充 要 条 件 是CA1212121ccbbaaB212121ccbbaaC0212121ccbbaaD1212121ccbbaa2Yoz 平面上曲线2yz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为( B )A12yzB22xyzC122xyzDxyz23二元函数xyz的定义域为AA0,| ),(xxyyxB01|),(xyxCxyyx2|),(D0,0|),(yxyx4交换积分顺序：dyyxfdxx110),(= BAdxyxfdyy110),(Bdxyxfdyy010),(Cdxyxfdyy110),(Ddyyxfdxx110),(5空

37、间闭区域由曲面1r所围成，则三重积分vd3= D A3 B2C34D46函数),(yxzz由方程04222zzyx所确定，则yz= AAzy2Byx2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页Czz2Dzx27幂级数15nnnnx的收敛域是D A5,5B5, 0C5,5D5, 58已知微分方程xeyyy2的一个特解为xxey*，则它的通解是AAxxxxeeCeC221BxxexCxC221CxexCxC221DxxxxeeCeC21二、填空题共15 分每题 3 分1曲面zyx22在点)1,1,0(处的切平面的方程是012

38、zY2假设级数1nnu的敛散性，则数列nu当n时的极限是 0 3级数122sinnnn的敛散性是收敛 4二元函数22221sin)(),(yxyxyxf，当, yx时的极限等于1 。5微分方程1xyy的通解为 _)2xxcy_ 三、解答题共54 分每题 6 分1设平面过点)1,2, 1(且垂直于两平面1：02zyx2：0zyx求此平面的方程解：设所求平面的法向量为n，则3, 2, 1111121kjin(4 分) 所求平面方程为732zyx(6 分) 832zyx2求两个底圆半径都等于2 的直交圆柱面所围成的立体的体积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

39、 - - - -第 21 页，共 24 页解：设两个圆柱面的方程分别为422yx422zx2 分由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积1V ，然后再乘以 8 即可。dxdyxVD2144 分dxdyxx2040224316从而所求立体的体积为312881VV6 分3设vuez，而22yxu，xyv，求zd解：)2(232yyxxeyuexexvvzxuuzxzxyvv(2 分) )2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv(4 分) yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332(6 分) 4计算三重积分vyxd22，其中是曲面22yxz及平面1z所围成的区域

40、提示：利用柱面坐标计算解：20, 10, 1:rzr(2 分)vyxd2211020dddrzrrr5 分66 分5求内接于半径为2a的球而体积为最大的长方体的体积。解：设长方体的长、宽、高分别为zyx2,2,2，则题设问题归结为约束条件0),(2222azyxzyx下，求函数xyzV8zyx,均大于 0的最大值。2 分作拉格朗日函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页)(8),(2222azyxxyzzyxL4 分由方程组028028028zxyLyxzLxyzLzyX5 分进而解得唯一可能的极值点，33azyx

41、，由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为393aV6计算曲线积分Lyxxyd2d，其中L是由点)0,(aA到点)0,0(O的上半圆周222ayx的有向弧段)0,( aB解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式2 分OADLyxxyyxyxxyd2ddd3d2d(4 分) 2223023aa(6 分) 8设为平面3zy被柱面922yx所截的部分，计算曲面积分dszyx。解：积分曲面的方程为yz3，它在xoy面上的投影为闭区域9,22yxyxDxy2 分又2122yxzz所以dszyx=dxdyyyxxyD234 分=dxdyxxyD32=rdrrd2030cos325 分=2276 分9求微分方程1 yy的通解。解法 1：令uy则原方程变为uu12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页别离变量后积分得cxu1ln4 分则，11xecy故原方程的通解为21cxecyx6 分解法 2： 可通过观察或求解二阶常系数非齐次线性微分方程的方法先得原方程的一个特解xy*。之后再根据相应的齐次方程的通解而构造出原问题的通解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页