2022年高二数学不等式的证明题及解答 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载不等式的证明训练题及解答一、选择题(1) 若 logab为整数 , 且 logab1logablogba2, 那么下列四个结论b1ba2 logab+logba=0 0ab2 且|x2|2 B|x1+x2|4 C |x1+x2|0,y0, 且yxayx成立 , 则a的最小值是（）A22B2C2 D22(5) 已知a,b R+, 则下列各式中成立的是（）Acos2 lga+sin2 lgblg(a+b) Dacos2bsin2a+b(6) 设a,b R+,且ab-a-b 1, 则有（）Aa+b 2(2+1) Ba+b +1 Ca+b (2+1)2 Da+b 2(2+1) 二、

2、填空题(7) 已知x2+y2=1, 则 3x+4y的最大值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载(8) 设x=21y, 则x+y的最小值是(9) 若51a 5, 则a+a1的取值范围是(10)A=1+nn与13121(n N) 的大小关系是(11) 实数yx=x-y, 则x的取值范围是. 三、解答证明题(12) 用分析法证明 :3(1+a2+a4) (1+a+a2)2(13) 用分析法证明 :ab+cd2222dbca(14) 用分析法证明下列不等式: (1) 求证 :15175 (2)求证 :43

3、21xxxx(x 4) (3) 求证 :a,b,c R+, 求证 :)3(3)2(23abccbaabba (15) 若a,b0,2ca+b,求证 :(1)c2ab； （2）c-abc2a2, 求证 :xyyx11与中至少有一个小于2 (17) 设a,b,c R, 证明 :a2+ac+c2+3b(a+b+c) 0 (18) 已知 1x2+y2 2, 求证 :21x2+xy+y2 3(19) 设an=)1(3221nn (n N*), 求证 :2)1(2)1(2nannn对所有n(n N*)都成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页

4、，共 6 页优秀学习资料欢迎下载(20) 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0,有两个实数根, 证明 : (1) 如果 |2,|2, 那么 2|4+b且|b|4(2) 如果 2|4+b且|b|4, 那么 |2,|0 只需证 3(1+a2-a) 1+a+a2，展开得2-4a+2a2 0，即 2(1-a)2 0 成立故 3(1+a2+a4) (1+a+a2)2成立13证明 : 当ab+cd0时 ,ab+cd16+215, 即 2354+215只需证 (235)2(4+215)2，即 415这显然成立故15175成立(2) 欲证4321xxxx(x 4) 只需证2341xxxx(x 4) 即

5、证22)23()41(xxxx(x 4) 展开得 2x-5+22325241xxxxx即)2)(3()4)(1(xxxx只需证)4)(1(xx2)2)(3(xx2即证x2-5x+4x2-5x+6，即 46 这显然成立故4321xxxx(x 4)成立(3) 欲证 2(abba2) 3(33abccba) 只需证a+b-2aba+b+c-33abc即证c+2ab 33abca,b,c R+，c+2ab=c+ab+ab 3333 abcababcc+2ab 33abc成立 故原不等式成立15证明 : （1）ab (2ba)2c2，abc2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

6、 - - - - - - -第 4 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载（ 2）欲证c-abc2ac+abc2只需证 -abc2a-cabc2，即 |a-c|abc2，即a2-2ac+c2c2-ab只需证a(a+b)0,只要证a+b2 矛盾 , 故xyyx11与中至少有一个小于217证明 : 目标不等式左边整理成关于a的二次式且令f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+3bc判别式=(c+3b)2-4(c2+3b2+3bc)=-3(b+c)2 0 当=0 时, 即b+c=0, 等号成立 故a2+(c+3b)a+c2+3b2+3bc 0 成立18证明 : 设x=kcos,y=ksin,1 k

7、2 2 x2+xy+y2=k2(cos2+cossin+sin2)=k2(1+21sin2) sin2 -1,1 k2k2(1+21sin2) 23k2, 故21x2+xy+y2 319证明 : 2)1(nnn=n, an1+2+3+n=2) 1(nn2) 1(232221nnan又22) 1(2)21( 2nnnnn2) 1(2122)2(22nnnnn, 故命题对n N都成立20证明 : 依题设及一元二次方程根与系数的关系( 韦达定理 ) 得:+=-a,=b则有 :(1)(2)等价于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载证明 |2,|22|+|4+,且|422)4()(4442401644422220)4)(4(4224444442222或224224或2.2,224精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页