2022年数值分析复习总结 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载数值分析复习资料一、重点公式第一章非线性方程和方程组的数值解法1）二分法的基本原理，误差：12kbax2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c3）单点迭代收敛定理：定理一：若当,xa b时，( ),xa b且( )1xl，,xa b，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设( )x满足：,xa b时，( ),xa b，121212,()(),01x xa bxxl xxl有则对任意初值0,xa b迭代收敛，且：110111iiiiixxxllxxxl定理三： 设( )x在的邻域内具有连续的一阶导数，且( )1，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设( )x在根的

2、邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是 P 阶收敛的( )()()0,1,1,()0jPjP（Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1()()iiiifxxxfx，平方收敛5）Newton 迭代法收敛定理：设( )f x在有根区间, a b上有二阶导数，且满足：( )( )0f a f b；：( )0,fxxa b；：,fxa b不变号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习好资料欢迎下载：初值0,xa b使得( )( )0fx f x；则 Newton 迭代法收敛于根。6）多点迭代法：1111111

3、()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiif xf xf xxxxxf xf xf xf xf xfxxx收敛阶：152P7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对 Newton 法进行修改：已知根的重数r，1()()iiiif xxxrfx（平方收敛）：未知根的重数：1()( ), ( )()( )iiiiu xfxxxu xu xfx，为( )f x的重根， 则为( )u x的单根。8）迭代加速收敛方法：2211211212()()iiiiiiiiiiix xxxxxxxxxx当 不 动 点 迭 代 函 数( )x在的 某 个 邻 域 内 具 有 二 阶

4、 导 数 ，()1, 0L平方收敛9）确定根的重数：当Newton 迭代法收敛较慢时，表明方程有重根221121212112iiiiiiiiiiixxxxrxxx xxxx10）拟 Newton 法111111111111()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxA F xAxxF xF xAHAAAAxxH F xHF xF xxxHHH若非奇异，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习好资料欢迎下载其中111122221212()iiiniiiininnniiin

5、fffxxxfffxxxAFxfffxxx11）秩 1 拟 Newton 法：11111(),()()()()()iiiiiiiiiiiTiiiiiiTixxA F xrxxyF xF xrAAyArrr其中Broyden 秩 1 方法11()()()()iiiiiTiiiiiiiTiixxH F xrHHHrH yrH y第二章线性代数方程组数值解法1）向量范数：非负性：0 x，且0 x的充要条件是0 x；：齐次性：xx：三角不等式：xyxy1 范数：11niixx2 范数：12221()niixx范数：1maxii nxxp 范数：11()nppipixx2）矩阵范数：非负性：0A，且0A

6、的充要条件是0A；：齐次性：AA：三角不等式：ABAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习好资料欢迎下载：乘法不等式：ABA BF 范数：12211nnijFijAa1 范数：111maxnijjniAa，列和最大范数：111maxniji njAa，行和最大2 范数：2()HAA A，其中1()maxHii nA A，i为HA A的特征值，( )AA3）Gauss消元法（上三角阵） ：313Mn；Gauss-Jordan消元法（对角阵） ：312Mn；列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角

7、线主元位置；（可用于求逆矩阵）全选主元消元法： 全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法： Doolittle 分解法： A=LU ，L 单位下三角阵，U 上三角阵： Crout 分解法： A=LU ，L 下三角阵， U 单位上三角阵： Cholesky 分解法： A 对称正定，TALL，L 为单位下三角阵：改进的Cholesky 分解法： A 对称正定，TALDL，L 为单位下三角阵，D 为对角阵：追赶法： Crout 分解法解三对角方程5）矩阵的条件数1( )1cond AAA，谱条件数：1222()condAAA()1( )ACond AxAAxCo

8、nd AA6）如果1B，则IB为非奇异阵，且11()1IBB7）迭代法基本原理：迭代法：1iixBxK：()1B(lim0iiB，迭代格式收敛) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习好资料欢迎下载：至少存在一种矩阵的从属范数，使1B8）Jacobi 迭代：ALDU111()iixIDA xDb9）Gauss-Seidel迭代：111()()iixLDUxLDb10）超松弛迭代法11iiixxr11）二次函数的一维搜索：2111xxP12）最速下降法：选择方向0000()ZgradfxrbAx进行一维搜索：1000

9、 xxr，其中00000(,)(,)rrArr13）共轭梯度法：第一步：最速下降法，00Pr，11rbAx，01(,)0rr第二步：过1x选择0P的共轭方向110PrP，其中1000(,)(,)rAPPAP，过1x以1P为方向的共轭直线为11xxtP，进行二次函数的一维搜索211111111(,)(,)xxPrPAP P14）一般的共轭梯度法：第三章插值法与数值逼近1）Lagrange 插值：0( )( )()nnjjjLxlx f x，11111111()()()()( )( )()()()()()()jjnnjjjjjjjnjnjxxxxxxxxPxlxxxxxxxxxxxPx余项：(1)

10、1( )( )( )(1)!nnfE xPxn2）Newton 插值：差商表0 x0()f x1x1()f x01f x x2x2()f x02f x x012f x x x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习好资料欢迎下载3x3()f x03f x x013f x x x0123f x x xx00100101010( )( )()()()()()nnnnf xf xf x x x xf x xxx xx xf x xx x x xx x余项(1)0101( )( )()()( )(1)!nnnnfE xf x

11、 xx xxxxxPxn3）反插值4）Hermite 插值（待定系数法）210( )( )()( )()nnjjjjjHxx f xx fx其中21,1( )() ( ),2 (),12(),()njjjjjjjjjkkjjkxaxb lx alxbx lxlxxx2( )()( )jjjxxxlx余项：(22)21( )( )( )(22)!nnfE xPxn5）分段线性插值：1111( )()()jjjjjjjjjxxxxLxf xf xxxxx插值基函数：0110101011110,( ),( ),0,nnnnnnnnxxxxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxx111111,( ),

12、0,jjjjjjjjjjjxxxxxxxxxlxxxxxx余项：分段余项2(2)22,max( )8MhMfx6）有理逼近：反差商表有理逼近函数式：000111122( )()()()()nnnxxf xvxxxv xxxvxvx7）正交多项式的计算：定理：在 , a b上带权函数( )x的正交多项式序列0( )nx，若最高项系数唯一，它便是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习好资料欢迎下载唯一的，且由以下的递推公式确定11()nnnnnx1011(,)(,),0,1(,)(,)nnnnnnnnnnx其中(,)(

13、 )bijijaxdx定理 3.8 8）连续函数的最佳平方逼近：在21, ,nSpanx xx上，法方程为nH ad，其中11 21 (1)1 21 31 (2)1 (1)1 (2)1 (21)nnnHnnn，10( ,)( )kkkdff xdx均方误差：22*21(,)(,)niiiffPffa d最大误差：*01maxxfP9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）：法方程0(,)(,)njkjkjaf其中00(,)()()( ,)()()mjkijikiimkiikiixxff xx第四章数值积分1）代数精度的概念及应用：对r 次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。2）Lagr

14、ange 插值代入Lagrange 插值基函数011011()()()()()()()()jjnjjjjjjjnxxxxxxxxlxxxxxxxx0( )()nbjjajf x dxHf x，其中( )bjjaHlx dx误差：(1)1( )()( )(1)!nbnafE fPx dxn定理：数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的3）等距节点的Newton-Cotes 公式将拉格朗日差值积分公式中的差值节点ixaih即可，其中bahn；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习好资料欢迎下载00,( 1)()!(

15、)!njnnjiijhHti dtjnj，令jjHCba（Cotes 系数）则：0()()()njjjQ fbaC f xN-C 公式的数值稳定性：当jC同号时是稳定的，否则不稳定，0()njjbaC（其中0maxjj n）N-C 公式至少具有n 次代数精度，若n 为偶数，则其代数精度可提高到n+1 次；余项：当 n 为偶数时，(2)1( )()( )(2)!nbnafE fxPx dxn当 n 为奇数时，(1)1( )()( )(1)!nbnafE fPx dxn4）复化的N-C 公式复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式111100()()( )( )( )( )2

16、jjnnbxjjnnnaxjjf xf xIf x dxf x dxhEfTEf21()() ()( )12 2nhEfba f复化的 Simpson 公式：将积分区间n 等分，然后在每个区间上应用Simpson 公式1111121100024 ()()()2()()()66663nnnjjjnjjjjjjf xf xf xhSf xf xf xh4(4)1()() ()( )180 2nhEfba f243nnnTTS5）Romberg 积分法0212( )( )1( )( )( )4( )( )2221411( )2mmmmmmmmmT hT hhhTThTThT( )mTh逼近()If的

17、阶为2(1)mh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习好资料欢迎下载0( )Th0()2hT0()4hT0()8hT1( )T h1()2hT1()4hT6）求积节点为n+1 的机械求积公式的代数精度=2n+1；7）Gauss求积公式0( )( )()( )()( )njjjjjf xx f xx fxE x(22)21( )( )( )(22)!nnfE xPxn00000()( )( )()( )()( )( )()( )()( )()()nbbbjjjjaaajnnbbbjjjjaaajjnnjjjjjjIf

18、f x dxx f xx fxdxE x dxx dxf xx dxfxE x dxHf xHfx211( )()( )( )( )bbnjjjjaanPxHxxlx dxlx dxPx1( )nPx在a，b上与所有次数=n 的多项式带权1正交上式为 Gauss求积公式、8）Gauss-Legendre 求积公式给出1( )nPx公式：0()1P x、1( )P xx、22(31)2xP 21( )(1)2!nnnnndPxxn dx给出区间 1,-1上的求积公式，取( )nPx的零点为求积节点取1( )P x零点为 0 00( )()()baf x dxH f xE f02H取2P零点为33

19、0011( )()()( )baf x dxH f xH f xE f001HH对于区间a,b 上的Gauss求 积公式，令, , 22abbaxt ta b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习好资料欢迎下载( )()( )22abbaf xftg t，则：1111( )( )( )22bababaf x dxg tdtg t dt余项：2(1)121101( )()( ),( )()()2(22)!nnnnba gE fPt dt Ptttttn第五章乘幂法1）基本定理：定理一：若12,n为 A 的特征值，(

20、 )P x为某一多项式，则矩阵()P A的特征值是12(),(),()nPPP。特别地，kA的特征值是12,kkkn。定理二：如果A 为实对称矩阵，则A 的所有特征值均为实数，且存在n 个线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。定理三：设A 与 B 为相似矩阵，即存在非奇异阵P，使1PAPB，则 A 与 B 有相同的特征值。定理四：如果A 有 n 个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P，使得1P APD，其中 D 是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A 的特征值。定理五：对于任意方阵A，存在一个酉变矩阵Q，使得HQAQT，其中 T 是一个上三角矩阵，HQ是Q是共轭转置矩阵。推论：如

21、果 A 是实对称矩阵， 则存在一个正交矩阵Q， 使TQ A QD， 其中 D 是对角矩阵，它的对角线元素是A 的特征值，而Q 的各列即为A 的特征向量，并且TTQ QQQI。定 理 六 ： 设(),(1 ,i inniAaCin是 以iia为 中 心 的 一 些 圆 ， 其 半 径 为1,1,niikkkirain，设1niiC，则 A 的所有特征值都位于区域内。推论：1A的谱半径满足111,1min()()niiiki nkkiaaA。定理七：设A 为对称正定阵，则有0()maxHHxx AxAx x，101min()HHxx AxAx x，其中， x是任意复向量，Hx表示 x 的共轭转置。

22、定理八： 对任意非奇异矩阵A，有211()()TiTA AA A，其中i为 A 的任一特征精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习好资料欢迎下载值。2）求按模最大的特征值和对应的特征向量0110max()mmmmA vvAuAv，1max()mv3）第六章常微分方程的数值解法（差分法）1）离散化方法：Taylor 展开、差商代替求导、数值积分2）Euler 公式：110()()(, ()nnnny xy xhf xy xyEuler 隐式11110()()(, ()nnnny xy xhf xy xy（1 阶）改进

23、的 Euler 公式11110()()(, ()(, ()2nnnnnnhy xy xf xy xf xy xy（2 阶精确解）3）截断误差和P 阶精确解：截断误差11()PnTO h4）S 级 Runge-Kuta 法1111(,snniiiiininijjjyyhb kkf xc h yhk1110 ,0 ,(,)jnnckfxy2 级 Runge-Kuta 法12111221222221 12121121(,)2(,nnnnnnbcyyhb khb kkf xybckf xc h yhkc其中（2 阶精度）2c的取值 1/2（中点公式） 、2/3（Heun 公式）、1（改进的Euler

24、方法）5）单步法1(, )nnnnyyhfxyh（* ）相容性：(,0)(,)nnnnxyfxy则（ *）式与初值问题相容收敛性：对于固定的0nxxnh当0h时有()nnyy x则称（ * ）式收敛数值稳定性：若一数值方法在ny上有扰动nS而于以后的各节点值()mymn上产生的偏差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习好资料欢迎下载均不超过nS，则称该方法绝对收敛试验方程：0,0,Re( )0(0)Ryyxa bCyy用以求解绝对稳定区间绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定6）线性多步法德

25、一般格式：101()()()ppnin iin iiiy xa y xhb y x局部阶段误差( )01()()()qqnnnqnTC y xC hy xC h yx（系数通过Taylor 展开构造）其中0010110111 ()11()()!piippiiiippqqqiiiiCaCi abCiaqibq线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数22rp7）线性多步法的收敛性判断：00C10C称线性多步法相容满足根条件：第一特征多项式10( )ppp iiirra r，第二特征多项式1( )pp iiirb r当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1 的根均是单根，称满足根条件收敛相容且满足根条件8）数值稳定性判断：稳定多项式（特征多项式）( ,)( )( )r hrhr令hh，( )ir h是稳定多项式的根，20( )1()r hho h：若对任意 , ha bR有0( )( )ir hrh，且当0( )( )ir hrh时，( )ir h为单根，则称 , a b为相对稳定区间；若对任意 , ha bR有( )1ir h，则称 , a b为绝对稳定区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页