2022年高数极限习题及答案 .pdf

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1、练习题1. 极限xxxxxxxxxxxxxxx1lim)4(11lim)3(15865lim)2(31lim)1(2312232(5) 已知011lim2baxxxx, 求常数 a, b. (6) xxxxsin1sinlim20(7) 211lim22xxxx(8) xxx21lim0(9) xxxsin)31ln(lim0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页(10) 1lim1xxex2. 函数的连续性(1) 确定 b 的值, 使函数002)(1xexbxxfyx在 x=0 点连续 . (2) 确定 a, b 的值

2、, 使函数1lim)(2212nnnxbxaxxxfy在整个实数轴上连续 . (3) 讨论下列函数的连续性 , 并判断其间断点的类型. xxxfs i n)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页0001212)(11xxxfxx3. 连续函数的性质(1) 设1)(1xxxxfnn, 证 明 ：)(xf有一个不大于 1 的正根 . (2) 若),()(Cxf, 且Axfx)(lim, 证明: ),()(在xf内有界 . 提高1o),()(在xf内至少有一个最值存在 . 2o 对于最值与 A 间的任意值 C, 存在21,

3、使得Cff)()(21. 2. 函数的连续性(1) 确定 b 的值, 使函数002)(1xexbxxfyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页在 x=0 点连续 . 解 :100)(lim)(lim)0(exfbxffxx(2) 确定 a, b 的值, 使函数1lim)(2212nnnxbxaxxxfy在整个实数轴上连续 . 解 :121121111)(2xbaxbaxbxaxxxxfybaxfxfbafxx)(lim1)(lim21)1(11baxfxfbafxx)(lim1)(lim21)1(_111,0ba(3)

4、 讨论下列函数的连续性 , 并判断其间断点的类型. xxxfs i n)(解 : x=0 为可去间断点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页0001212)(11xxxfxx解 :1)(lim1)(lim00 xfxfxx, x=0 为跳跃间断点.3. 连续函数的性质(1) 设1)(1xxxxfnn, 证 明 ：)(xf有一个不大于 1 的正根 . 解 : 若 n=1, 则显然有解x=1. 若 n1, 则01)1(,01)0(nff, 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根.(2) 若),()(Cxf, 且Ax

5、fx)(lim, 证明: ),()(在xf内有界 . 解 : 由Axfx)(lim可知 : 0X, 当Xx时, 1)(Axf, 故1)(Axf由),()(Cxf可知1,1)(XXCxf, 故01M,当1Xx时, 1)(Mxf取1,max1AMM即可 . 提高1o),()(在xf内至少有一个最值存在 . 2o 对于最值与 A 间的任意值 C, 存在21, 使得Cff)()(21. 证明: 若Axf)(, 则显然结论成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页设存在Axf)(0, 则存在 X0, 当Xx时, 有2)()(0AxfAxf于是: )(2)()(00 xfAxfxf由,)(XXCxf, 可知存在,XX)(,:)(max)(0 xfXXxxff从而),()(在xf内有最大值)(f. 对 于 任 意 的 C, )(fCA, 存 在 X10, 当1Xx时, 有CACxf2)(于是有CACXf2)(1. 分别在闭区间,11XX上使用介值定理即可得结论 2o. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页