2022年高考数学二轮复习知识点总结椭圆双曲线抛物线 .pdf

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1、知识点大全椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1. 以选择、 填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质( 特别是离心率) ，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2. 以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解， 直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1| |PF2| 2a(2a|F1

2、F2|) |PF1| |PF2| 2a(2ab0) x2a2y2b2 1(a0，b0) y22px(p0) 图形几何性质范围|x| a， |y| b|x| ax0顶点( a,0) ，(0 ，b) ( a,0) (0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点( c,0) (p2，0) 轴长轴长 2a， 短轴长 2b实轴长 2a， 虚轴长 2b离心率eca1b2a2(0e1) e1 准线xp2渐近线ybax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页知识点大全考点一圆锥曲线的定义与标准方程例 1 (1) 设椭圆x22y

3、2m1 和双曲线y23x21 的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1| |PF2| 的值等于 _(2) 已知直线yk(x2)(k0) 与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点 若|FA| 2|FB| ，则k_. 答案(1)3 (2)223解析(1) 焦点坐标为 (0，2)，由此得m24，故m6. 根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1| |PF2| 26，|PF1| |PF2| 23，两式平方相减得4|PF1|PF2| 43， 所以|PF1| |PF2| 3. (2) 方法一抛物线C：y28x的准线为l：x 2，直线yk(x2)(k 0)恒过定点P( 2,0)

4、如图，过A、B分别作AMl于点M，BNl于点N. 由|FA| 2|FB| ，则 |AM| 2|BN| ，点B为AP的中点连接OB，则 |OB| 12|AF| ，|OB| |BF| ，点B的横坐标为1，故点B的坐标为 (1,22)k22 01223. 方法二如图，由图可知，BBBF，AAAF，又|AF| 2|BF| ，|BC|AC|BB|AA|12，即B是AC的中点2xBxA2，2yByA与y2A8xA，y2B8xB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页知识点大全联立可得A(4,42) ，B(1,22) kAB4222

5、41223. (1) 对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1| |PF2| |F1F2| ，双曲线的定义中要求|PF1| |PF2| |F1F2| ，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2) 注意数形结合，提倡画出合理草图(1)(2012 山东 ) 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0) 的离心率为32. 双曲线x2y21 的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A.x28y221 B.x212y261 C.x216y241 D.x220y251 (2) 如图，过抛物线y22px(p0

6、)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若 |BC| 2|BF| ，且 |AF| 3，则此抛物线的方程为( ) Ay29xBy26xCy23xDy23x答案(1)D (2)C 解析(1) 椭圆的离心率为32，caa2b2a32，a2b. 椭圆方程为x24y24b2. 双曲线x2y2 1的渐近线方程为xy0，渐近线xy0 与椭圆x2 4y24b2在第一象限的交点为255b，255b，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b255b4，b25，a24b220. 椭圆C的方程为x220y251. (2) 如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义

7、知， |AF| |AA1| ，|BF| |BB1| ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页知识点大全|BC| 2|BF| ，|BC| 2|BB1| ，BCB130，AFx60.连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则 |NF| |A1F1| 12|AA1| 12|AF| ，即p32，抛物线方程为y2 3x，故选 C. 考点二圆锥曲线的几何性质例 2 (1)(2013 辽宁 ) 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，

8、B两点，连接AF，BF. 若|AB| 10， |BF| 8， cosABF45， 则C的离心率为 ( ) A.35B.57C.45D.67(2) 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且 |PF1| 4|PF2| ，则双曲线的离心率e的最大值为 _答案(1)B (2)53解析(1) 在ABF中，由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB| |BF|cos ABF，|AF|210064 12836，|AF| 6，从而 |AB|2 |AF|2|BF|2，则AFBF. c|OF| 12|AB| 5，利用椭圆的对称性，设F为右焦点，则|B

9、F| |AF| 6，2a|BF| |BF| 14，a7. 因此椭圆的离心率eca57. (2) 设F1PF2，由|PF1| |PF2| 2a，|PF1| 4|PF2|得|PF1| 83a，|PF2| 23a，由余弦定理得cos 17a2 9c28a217898e2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页知识点大全(0,180 ，cos 1,1) ，117898e21，10，b0)的左焦点F作圆x2y2a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_答案(1)33(2)102解

10、析(1) 设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0 ，b) ，F(c,0)，D(xD，yD) ，则BF(c，b)，FD(xDc，yD) ，BF 2F D，cxDc，b2yD，xD3c2，yDb2.又点D在椭圆C上，3c22a2b22b2 1，即e213. e33. (2) 设ca2b2，双曲线的右焦点为F.则|PF| |PF| 2a，|FF| 2c. E为PF的中点，O为FF的中点，OEPF，且 |PF| 2|OE|. OEPF，|OE| a2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页知识点大全PFPF， |PF| a，|P

11、F| |PF| 2a3a. |PF|2|PF|2|FF|2，9a2a24c2，ca102. 双曲线的离心率为102. 考点三直线与圆锥曲线的位置关系例 3 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率e22，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足MFFB21. (1) 求椭圆C的方程；(2) 是否存在直线l，当直线l交椭圆 于P、Q两点时，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1) 根据题意得，F(c,0)(c0)，A( a,0) ，B(a,0) ，M(0 ，b) ，MF(c，b) ，FB(ac,0) ，MFFBa

12、cc221. 又eca22，a2c，2c2c22 1，c21，a2 2，b21，椭圆C的方程为x22y21. (2) 假设存在满足条件的直线l. kMF 1，且MFl，kl 1. 设直线l的方程为yxm，P(x1，y1) ，Q(x2，y2) ，由yxm，x22y21消去y得 3x24mx2m2 20，则有 16m212(2m22)0，即m2B0 时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0 时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0) 的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1) 、B(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2p24；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

13、- - - -第 8 页，共 17 页知识点大全(2)|AB| x1x2p2psin2( 为弦AB的倾斜角 ) ；(3)SAOBp22sin ；(4)1|FA|1|FB|为定值2p；(5) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 1 已知点F是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，ABE是锐角 三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A(1， ) B(1,2) C(1,1 2) D(2,1 2) 答案B 解析由ABx轴，可知ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF45，于是 |A

14、F|EF| ，b2aac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得 1e1，从而 1eb0) 的离心率为e12，右焦点为F(c,0) ，方程ax2bxc 0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) ( ) A必在圆x2y22 内B 必在圆x2y22 上C必在圆x2y22 外D 以上三种情形都有可能答案A 解析x1x2ba，x1x2ca. x21x22(x1x2)22x1x2b2a22cab22aca2. eca12，c12a，b2a2c2a212a234a2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页知识点大全x

15、21x2234a22a12aa2740) 的焦点为F，点M在C上， |MF| 5，若以MF为直径的圆过点(0,2) ，则C的方程为( ) Ay24x或y28xB y22x或y28xCy24x或y216xD y22x或y216x答案C 解析由题意知：Fp2，0，抛物线的准线方程为xp2，则由抛物线的定义知，xM5p2，设以MF为直径的圆的圆心为52，yM2，所以圆的方程为x522yyM22254，又因为圆过点 (0,2) ，所以yM4，又因为点M在C上，所以 162p5p2，解得p 2 或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x，故选 C. 2 与椭圆x212y2161共焦点，离心率互为倒

16、数的双曲线方程是( ) Ay2x231 B.y23x21 C.3x243y281 D.3y243x281 答案A 解析椭圆x212y2161 的离心率为16121612，且焦点为 (0，2)，所以所求双曲线的焦点为 (0 ，2)且离心率为2，所以c2，2a2 得a1，b2c2a23，故所求双曲线方程是y2x23 1. 3 (2013江西 ) 已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页知识点大全于点M，与其准线相交于点N，则 |FM| |MN| 等于(

17、 ) A25 B 12 C 15 D 13答案C 解析由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH. 即|FM| |MN| |MH| |MN| |FO| |AF| 15. 4 过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点F，作圆x2y2a2的切线FM交y轴于点P，切圆于点M,2OMOFOP，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C2 D.5 答案A 解析由已知条件知， 点M为直三角形OFP斜边PF的中点， 故OF2OM，即c2a，所以双曲线的离心率为2. 5 (2013山东 ) 抛物线C1：y12px2(p0) 的焦点与双曲线C2：x23y2 1 的右焦点的连线交C1于第一象限的

18、点M. 若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线， 则p等于 ( ) A.316B.38C.233D.433答案D 解析抛物线C1的标准方程为x22py，其焦点F为 0，p2，双曲线C2的右焦点F为(2,0) ，渐近线方程为y33x. 由y1px33得x33p，故M33p，p6. 由F、F、M三点共线得p433. 6 椭圆M：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1PF2的最大值的取值范围是c2,3c2 ，其中ca2b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是( ) A14，12 B12，22 C(22， 1) D12，1) 精选学习资料 - - - -

19、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页知识点大全答案B 解析设P(x，y) ，F1( c,0) ，F2(c,0) ，则PF1( cx，y) ，PF2(cx，y) ，PF1PF2x2y2c2. 又x2y2可看作P(x，y) 到原点的距离的平方，所以 (x2y2)maxa2，所以 (PF2PF2)maxb2，所以c2b2a2c23c2，即14e212，所以12e22. 故选 B. 二、填空题7 (2012江苏 ) 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2my2m241 的离心率为5，则m的值为 _答案2 解析建立关于m的方程求解c2mm2 4，e2c

20、2a2mm2 4m5，m24m40，m2. 8 (2013福建 ) 椭圆 ：x2a2y2b2 1(ab0) 的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y3(xc) 与椭圆 的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案31 解析由直线方程为y3(xc) ，知MF1F260，又MF1F22MF2F1，所以MF2F130，MF1MF2，所以 |MF1| c，|MF2| 3c所以 |MF1| |MF2| c3c2a. 即eca31. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页知识点大全9 (2013辽

21、宁 ) 已知F为双曲线C：x29y216 1 的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2 倍，点A(5,0) 在线段PQ上，则PQF的周长为 _答案44 解析由双曲线C的方程，知a 3，b4，c5，点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ| |QA| |PA| 4b16，由双曲线定义，|PF| |PA| 6，|QF| |QA| 6. |PF| |QF| 12|PA| |QA| 28，因此PQF的周长为|PF| |QF| |PQ| 2816 44. 10已知P为椭圆x225y2161 上的一点，M，N分别为圆 (x3)2y21 和圆 (x 3)2y24上的点，则 |PM| |PN| 的

22、最小值为 _答案7 解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1| |PF2| 10，从而|PM| |PN| 的最小值为 |PF1| |PF2| 127. 三、解答题11(2013课标全国 ) 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2y2b21(ab0)右焦点的直线xy30 交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12. (1) 求M的方程；(2)C，D为M上的两点， 若四边形ACBD的对角线CDAB， 求四边形ACBD面积的最大值解(1) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则x21a2y21b2 1 x22a2y22b2 1 ，得x1x2x1x2a2y1y

23、2y1y2b20. 因为y1y2x1x2 1，设P(x0，y0) ，因为P为AB的中点，且OP的斜率为12，所以y012x0，即y1y212(x1x2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页知识点大全所以可以解得a22b2，即a22(a2c2) ，即a22c2，又因为c3，所以a26，所以M的方程为x26y231. (2) 因为CDAB，直线AB方程为xy30，所以设直线CD方程为yxm，将xy30 代入x26y231 得：3x243x0，即A(0 ，3) ，B433，33，所以可得 |AB| 463；将yxm代入

24、x26y231 得：3x24mx2m260，设C(x3，y3) ，D(x4，y4)，则|CD| 2x3x424x3x4223182m2，又因为 16m212(2m26)0，即 3mb0)经过点P1，32，离心率e12，直线l的方程为x4. (1) 求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦 ( 不经过点P) ，设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3. 问：是否存在常数，使得k1k2k3？若 存在，求 的值；若不存在，说明理由解(1) 由P1，32在椭圆x2a2y2b21 上，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

25、 - - - -第 14 页，共 17 页知识点大全1a294b21，又eca12，得a2 4c2，b23c2，代入得，c21，a24，b23. 故椭圆方程为x24y231. (2) 设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1) ，B(x2，y2) 由ykxx24y231得，(4k23)x28k2x4k2120，x1x28k24k23，x1x24k2124k23. k1k2y132x11y232x21kx132x11kx232x212k321x111x212k32x1x22x1x2x1x212k328k24k23 24k2124k238k24k2312k1. 又将x4 代入yk(x1) 得

26、M(4,3k) ，k33k323k12，k1k22k3. 故存在常数2 符合题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页知识点大全13已知中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，其一个顶点的抛物线x2 43 y的焦点(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若过点P(2,1) 的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标；(3) 是否存在过点P(2,1) 的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足PAPBPM2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解(1) 设椭圆C的方程为x2

27、a2y2b21 (ab0) ，由题意得b3，ca12，解得a2，c1. 故椭圆C的标准方程为x24y231. (2) 因为过点P(2,1) 的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1 (k0)由x24y231ykx1得(3 4k2)x28k(2k1)x16k216k80. 因为直线l与椭圆C相切，所以 8k(2k1)24(3 4k2)(16k216k8) 0. 整理，得 32(6k3) 0，解得k12. 所以直线l的方程为y12(x2) 112x2. 将k12代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为1，32. (3) 若存在直线l1满足条

28、件，则直线l1的斜率存在，设其方程为yk1(x2) 1，代入椭圆C的方程得(3 4k21)x28k1(2k1 1)x16k2116k18 0. 设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，所以 8k1(2k11)24(3 4k21)(16k21 16k18)32(6k13)0. 所以k112. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页知识点大全x1x28k1k134k21，x1x216k2116k1834k21. 因为PAPBPM2，即(x12)(x22) (y11)(y21) 54，所以 (x12)(x22)(1 k21) 54，即x1x22(x1x2) 4(1 k21) 54. 所以16k21 16k1834k2128k1k134k214 (1 k21) 44k2134k2154，解得k112. 因为A，B为不同的两点，所以k112. 于是存在直线l1满足条件，其方程为y12x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页