2022年数列通项公式求法归纳 .pdf

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1、学习必备欢迎下载数列通项公式求法归纳高考数列问题第一问一般是对数列通项公式的求解。在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式求解往往是解决数列难题的瓶颈。此文归纳出解数列通项公式求解的一般方法，各位同学须熟练掌握。一、公式法若 已 知 数 列 的 前n项 和nS与na的 关 系 ， 求 数 列na的 通 项na可 用 公 式2111nSSnSannn求解。【例 1】 已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn 求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa1122( 1),nnnaa,) 1(22221nnnaa，.221

2、2aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa.) 1(2323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2() 1(21211211nnnnnnnnn经验证11a也满足上式，所以) 1(23212nnna二、由递推式求数列通项法No.1 累加法递推公式为)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累加法 (逐差相加法 )求解。【例 2】 .已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分 别 令)1( , 3,2, 1nn，代 入上 式 得)1(n个 等式 累加 之 ，即精选学习资料

3、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121【真题】 (2004 全国卷I.22)已知数列na中 ,12211,( 1) ,kkkaa且a2123kkkaa,其中1,2,3,k，求数列na的通项公式。No.2 累乘法递推公式为nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累乘法 (逐商相乘法 )求解。【例 3】 已知数列na满足321a，nnanna11，

4、求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1( ,3 ,2, 1nn，代入上式得) 1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32【迭代法定义】由nnanfa)(1和1a确定的递推数列na的通项可如下求得：由已知递推式有1)1(nnanfa，21)2(nnanfa，12)1(afa依次向前代入，得1)1 ()2()1(afnfnfan，简记为111)(akfankn)1)(, 1(01kfnk，这就是 迭代法 的基本模式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 1

5、4 页学习必备欢迎下载【例 4】 已知31a，nnanna23131)1(n，求na。解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3annnnan34 375 26331 348 531nnnnn。三、构造法No.1 构造等比数列法（ 待定系数法）类型 1 递推公式为qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq） 。解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用 换元法 转化为等比数列求解【例 5】 （07 全国理 22）已知数列 na中，1a=2，1na=(21) (2)nanN（）求 na的通项公式。解：构造新数列nap，使之成为21

6、q的等比数列1nap=(21) ()nap整理得：1na=( 21)na+(22) p使之 满足已知条件1na=( 21)na+2(21)(22)2(21)p解 得2p2na是首项为2221q的等比数列，由此得2na=(22)1(21)nna=2(21)2n类型 2 同理，用待定系数法把原递推公式转化为：nan【例 6】 设数列na：)2( , 123,411nnaaann，求na. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载解：设BAnbaB，Anabnnnn则，将1,nnaa代入递推式，得12) 1(3

7、1nBnAbBAnbnn)133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取（）则13nnbb,又61b，故nnnb32361代入（）得132nann说明： （1） 若)(nf为n的二次式， 则可设CBnAnabnn2;(2)本题也可由1231naann,1)1(2321naann（3n）两式相减得2)(3211nnnnaaaa转化为qpbbnn1求之. 【真题】(2006.重庆.14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na类型 3 递推式为11nnnqpaa（p、q 为常数）时，可同除1nq，得111nnnnqaqpqa，令nnnqab从而

8、化归为qpaann 1（p、q 为常数）型【例 7】 已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2，则1321nnbb,应用例 7 解法得：nnb)32(23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载所以nnnnnba)31(2)21(32【真题】（2006 全国 I.22 ） （本小题满分12 分）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（）求首项1a与通项na；解法：该

9、类型较类型3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111No.2 构造等差数列法数列 na既不等差，也不等比，递推关系式形如11( )nnnababf n，那么把两边同除以1nb后，想法构造一个等差数列，从而间接求出na。【例 8】（07 石家庄一模） 数列 na满足1221nnnaa(2)n且481a。 求( 1 )1a、2a、3a( 2 )是否存在一个实数，使此数列2nna为等差数列？若存在求出的值及na；若不存在，说明理由。解：(1)由4a=43221a=81 得3a=33；又3a=32221a=33 得2a=13；又2a=21221a=13，

10、1a=5 (2)假设存在一个实数，使此数列2nna为等差数列即1122nnnnaa= 122nnnaa= 212nn= 112n该数为常数=1即12nna为首项11122a， d=1 的等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载12nna=2+(1) 1n=n+1 na=(1)21nn【例9】数列 na满足1na= 12( 2)nna(nN)，首项为12a，求数列 na的通项公式。解：1na= 12( 2)nna两边同除以1( 2)n得11( 2)nna=( 2)nna+1 数列( 2)nna是首项

11、为12( 2)=1，d=1 的等差数列( 2)nna=1+(1) 1nn故na=( 2)nn【例 10】（07 天津理 21） 在数列 na中，1a=2， 且11( 2) 2nnnnaa（nN）其中0，( )求数列 na的通项公式。解：1n的底数与na的系数相同，则两边除以1n得1111221nnnnnnnnaa即111221nnnnnnaa2nnna是首项为120a，公差 d=1 的等差数列。20(1)1nnnann(1)2nnnan。No.3 构造法 For1nnaa递推式为nnnqapaa12（p、q 为常数）时，可以设)(112nnnnsaatsaa，其待定常数s、t 由pts,qst

12、求出 . 【 例11 】（ 2006. 福 建 . 文 .22 ）（ 本 小 题 满 分14分 ） 已 知 数 列na满 足*12211 ,3 ,32() .nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载【例 12】数列na中，nnnaaaaa122123,2, 1，求数列na的通项公式。解：由nnnaaa1223得,313212nnnaaa设)(112nnnnkaahkaa比较系数得3132khhk，解得31, 1 hk或

13、1,31hk若取31, 1 hk，则有)(31112nnnnaaaa1nnaa是以31为公比，以11212aa为首项的等比数列11)31(nnnaa由逐差法可得112211)()()(aaaaaaaannnnn=11)31()31()31()31(232nn=1311)31(11n=11)31(43471)31(143nn【例 13】已知数列na满足11a,22a,nnnaaa313212求na解：设)(112nnnnsaatsaannnstaatsa12)(3132stts311ts或131ts则条件可以化为)(31112nnnnaaaannaa1是以首项为112aa， 公比为31的等比数列

14、 ,所以11)31(nnnaa问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得1)31(4347nna四、特征根法1、设已知数列na的项满足dcaabann 11,其中, 1,0 cc求这个数列的通项公式 。作出一 个方程,dcxx则当10ax时 ，na为常 数列，即0101,;xbaaxaannn时当， 其 中nb是 以c为 公 比 的 等 比 数 列 ， 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载01111,xabcbbnn. 【例 14】已知数列na满足：,4,N, 23111anaann求.na解：作

15、方程.23,2310 xxx则当41a时，.21123,1101abxa数列nb是以31为公比的等比数列.于是.N,)31(2112323,)31(211)31(1111nbabbnnnnnn2、对 于 由 递 推 公 式nnnqapaa12，21,aa给 出 的 数 列na， 方 程02qpxx，叫做数列na的特征方程。 若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa， 其中 A， B 由21,aa决定 （即把2121,xxaa和2, 1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBnAa，

16、其中 A， B由21,aa决定 （即把2121,xxaa和2, 1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。【例 15】已知数列na满足),0(0253 ,1221Nnnaaabaaannn，求数列na的通项公式。解法一（待定系数迭加法）由025312nnnaaa，得)(32112nnnnaaaa，且abaa12。则数列nnaa1是以ab为首项，32为公比的等比数列，于是11)32)(nnnabaa。把nn,3 ,2 , 1代入，得abaa12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载)3

17、2()(23abaa，234)32()(abaa，21)32)(nnnabaa。把以上各式相加，得)32()32(321)(21nnabaa)(321)32(11abn。abbaaabannn23)32)(3)()32(3311。解法二（特征根法） ：数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,的特征方程是：02532xx。32, 121xx, 1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa故1)32)(323nnbaaba3、如果数列na满足下列条件： 已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn 1（其中 p

18、、q、r、h 均为常数，且rharqrph1,0,） ，那么，可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0 x时,则01nax是等差数列 ;当特征方程有两个相异的根1、2时，则12nnaxax是等比数列。【真题】 (2006.重庆 .文 .22) （本小题满分12 分）数列).1(0521681111naaaaaannnnn且满足求数列na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载解：由已知，得125168nnnaaa，其特征方程为25168xxx，解之，得1524xx或116()1

19、22168nnnaaa，1512()544168nnnaaa111112255244nnnnaaaa，111111422( )552244nnnnaaaa12524nnna。 P26 (styyj) 【例 16】已知数列na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求na的通项公式. 解: 数列na的特征方程为,324xxx变形得,04222xx其根为.2,121故特征方程有两个相异的根，使用定理2 的第（ 2）部分，则有.N,)221211(2313)(11212111nrprpaacnnn.N,)51(521ncnn.N,1)51(521)51(52211112nccannnnn

20、即.N,)5(24)5(nannn【例 17】已知数列na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列na不存在？解：作特征方程.32513xxx变形得,025102xx特征方程有两个相同的特征根. 5依定理 2 的第（ 1）部分解答 . (1).,511aa对于,Nn都有; 5na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载(2).,311aarprnabn)1(1151131) 1(531n,812

21、1n令0nb，得5n.故数列na从第 5 项开始都不存在，当n4，Nn时，51751nnbann. (3), 5,61a.1a.,811)1(11Nnnrprnabn令,0nb则.7nn对于.0bN,nn.N,7435581111nnnnbann(4)、显然当31a时，数列从第2 项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51a时，数列na是存在的，当51a时，则有.N,8151)1(111nnarprnabn令,0nb则 得N,11351nnna且n2. 当11351nna（其中Nn且 N2）时，数列na从第n项开始便不存在. 于是知：当1a在集合3或,:1135Nnnn且n2上取值

22、时，无穷数列na都不存在. 说明：形如:)(11bakmaannn递推式，考虑函数倒数关系有)11(11makannmkakann111令nnab1则nb可归为qpaann 1型。(取倒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载数法 )【例 18】1,13111aaaannn解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3)1(111naan3) 1(1n231nan构造法归纳构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，

23、某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难， 但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1、构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. 【例19】设各项均为正数的数列na的前 n 项和为nS，对于任意正整数n，都有等式：nnnSaa422成立，求na的通项 an. 解：nnnSaa422112142nnnSaa，nnnnnnnaSSaaaa4)(422112120)2)(11nnn

24、naaaa，01nnaa，21nnaa. 即na是以 2 为公差的等差数列，且24211121aaaa. nnan2)1(22【例 20】数列na中前 n 项的和nnanS2，求数列的通项公式na. 解：121111aaSa当n2时，1212)1(221111nnnnnnnnnaaaaananSSa)2(2121nnaa令2nnab，则121nnbb，且1211bnb是以21为公比的等比数列，11)21()21(1nnnb1)21(2nna. 2、构造差式与和式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载解

25、题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. 【例 21】设na是首项为1 的正项数列，且01212nnnnnanaaa， （nN* ） ，求数列的通项公式an. 解：由题设得0)(11naaaannnn. 0na，01na，01nnaa. naann12)1(321)()()(123121nnnaaaaaaaannn例27：数列na中，3, 121aa，且nnnanana)2()3(12， （nN* ） ，求通项公式na. 解：12nnaa)(2(1nnaan)(1)(2(1nnaann)1)(2(nn)!2()(3412naa! 3! 21)

26、()()(123121naaaaaaaannn（nN*）3、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 【例 22】数列na中，211a，前 n 项的和nnanS2，求1na. 解：1221221) 1()1()1(nnnnnnnananananSSa111nnaann，112211aaaaaaaannnnn)1(12131211nnnnnn)2)(1(11nnan4、构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 【例 23】设正项数列na满足11a，212nnaa（n2）.求数列na的通项公式 . 解：两

27、边取对数得：122log21lognnaa，)1(log21log122nnaa，设1log2nanb，则12nnbbnb是以 2 为公比的等比数列，11log121b. 11221nnnb，1221lognan，12log12nan，1212nna【例 24】已知数列na中，21a，n2 时133711nnnaaa，求通项公式. 解：1344111nnnaaa，两边取倒数得4311111nnaa. 可化为等差数列关系式. 413) 1(4311111nnaan1353nnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页