2022年高考数学冲刺复习资料专题一三角与向量的交汇题型分析及解题策略 .pdf

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1、学习必备欢迎下载20XX年高考数学冲刺复习资料专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中， 主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12 分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、 夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点 .如 08 年安徽理科第5 题(5 分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08 年山东文第8 题理第 15 题(5 分)考查两角和与差与向量垂直、08 福建文理第17 题(12 分)考查三角函数的求值与向量积、07 的天津

2、文理第15 题(4 分)考查正余弦定理与向量数量积等.根据 20XX年考纲预计在09 年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、 共线(平行)与垂直的充要条件条件主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起. 【考试要求】1理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、

3、余割的定义掌握同角三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“ 五点法 ” 画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin( x+)的简图，理解A， ，的物理意义5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算8掌握平面向量的数量积及其几何

4、意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件9掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“ 双重身份 ” ，即可以象数一样满足“ 运算性质 ” 进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“ 角” 为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“ 角 ” 之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1考查三角式化简、求值、证明及求角问题. 2考查三角函数

5、的性质与图像，特别是y=Asin( x+ )的性质和图像及其图像变换. 3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等. 4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算. 5考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题 . 6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载【典例分析】题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平

6、移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的， 它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向； (2)平移的单位 .这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标. 【例 1】把函数 y sin2x 的图象按向量a (6， 3)平移后，得到函数yAsin( x)(A0， 0，| 2)的图象，则和 B 的值依次为（）A12， 3 B3，3 C3， 3 D12，3 【分析】根据向量的坐标确定平行公式为xx 6yy 3，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择

7、. 【解析 1】由平移向量知向量平移公式x x6y y3，即x x6y y 3，代入 y sin2x 得 y 3sin2(x6)，即到 ysin(2x3)3，由此知3， B 3，故选 C. 【解析 2】由向量a (6， 3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移6个单位，再向下平移3 个单位，由此可得函数的图象为ysin2(x6)3，即 y sin(2x3)3，由此知3，B 3，故选 C. 【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小

8、. 题型二三角函数与平面向量平行(共线 )的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线 )条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查. 【例 2】已知 A、B、C为三个锐角， 且 ABC.若向量p (2 2sinA，cosAsinA)与向量q (cosAsinA，1sinA)是共线向量 . （）求角A；（）求函数y2sin2BcosC3B2的最大值 . 【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即

9、可解决第()小题；而第 ( )小题根据第 ()小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B 的范围求最值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载【解】（）p 、q 共线， (2 2sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，则 sin2A34，又 A 为锐角，所以sinA32，则 A3. （） y2sin2BcosC3B22sin2Bcos( 3B)3B22sin2Bcos(32B)1cos2B12cos2B32sin2B 3

10、2sin2B12cos2B1sin(2B6)1. B(0，2)， 2B6(6，56)， 2B62，解得 B3，ymax2. 【点评】本题主要考查向量共线(平行 )的充要条件、 三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键： （1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围 .一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了 . 题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类

11、题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例 3】已知向量a (3sin ,cos )，b (2sin，5sin 4cos )， (32，2) ，且a b（）求 tan 的值；（）求 cos(23)的值【分析】第()小题从向量垂直条件入手，建立关于的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tan 的值；第 ()小题根据所求得的tan 的结果，利用二倍角公式求得tan2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果【解】（）a b ，ab 0而a （ 3sin ，cos ） ，b (2sin , 5sin4cos )，故a b 6sin2 5sin cos 4cos2 0由于 co

12、s0， 6tan2 5tan 40解之，得tan 43，或 tan 12 （32，2 ） ，tan 0，故 tan 12（舍去） tan 43（） （32，2 ） ，2（34， ） 由 tan 43，求得 tan212，tan22（舍去） sin255，cos2255，cos(23) cos2cos3sin2sin3255125532251510【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载差的三角函数.同时本题两个小题的解答都

13、涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（）小题的解答中用到“ 弦化切 ” 的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“ 切函数与弦函数” 关系问题常用方法. 题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|a|2a2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解. 【例3】已知向量a (cos ,sin)，b (cos ,sin)，|a b | 255.()求 cos( )的值； ()若2 0 2，且 sin 513

14、，求 sin 的值 . 【分析】利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第()小题；而第 ()小题则可变角( ) ，然后就须求sin( )与 cos即可 . 【解】()|a b | 255，a2 2a bb245，将向量a (cos ,sin)，b (cos ,sin)代入上式得122(cos cos sin sin)1245， cos( )35. ()2 0 2， 0 ，由 cos( )35，得 sin( )45，又 sin 513， cos 1213，sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 3365. 点评： 本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三

15、角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|ab | 为向量运算 |ab |2(a b )2；(2)注意解 的范围 .整个解答过程体现方程的思想及转化的思想. 题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解. 【例 5】设函数 f(x)a b. 其中向量a (m， cosx)，b (1sinx，1)，xR，且 f(2)2.（）求实数 m 的值；（）求函数f(x)的最小值 . 分析： 利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件

16、中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“ 数量关系 ” ，从而，建立函数f(x)关系式，第（）小题直接利用条件f(2)2 可以求得，而第()小题利用三角函数函数的有界性就可以求解. 解： （） f(x)ab m(1sinx)cosx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载由 f(2)2，得 m(1sin2)cos22，解得 m1. ()由（）得f(x)sinxcosx12sin(x4)1，当 sin(x4) 1 时， f(x)的最小值为12. 点评： 平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、

17、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇 .不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“ 数量关系 ” ，再利用三角函数的相关知识进行求解六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、 余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题. 【例 6】已知角 A、 B、C为 ABC的三个内角，其对边分别为a、 b、c，若m(cosA2，sinA2)，n (cosA2，sinA2)， a23，且m n 1

18、2（）若 ABC的面积 S3，求 bc的值（）求 bc 的取值范围【分析】第( )小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程， 再利用二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c 的方程组求取bc 的值；第 ()小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式，进而求得bc 的范围 . 【解】（）m(cosA2，sinA2)，n (cosA2，sinA2)，且m n 12， cos2A2 sin2A212，即 cosA12，又 A(0，) ， A23. 又由 SABC12bcsinA3，所以 bc4，由余弦定理得：a2b2c22bc cos23b2c2bc，

19、16 (bc)2，故 bc4. （）由正弦定理得：bsinBcsinCasinA23sin234，又 BC A3，bc4sinB4sinC4sinB4sin(3B)4sin(B3)，0B3，则3B323，则32 sin(B3) 1 ，即 bc 的取值范围是23，4 . 点评 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第()小题中求bc 没有利用分别求出b、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第 ()小题的求解中特别要注意确定角B的范围 .【专题训练】一、选择题精选学习资料 -

20、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载1已知a (cos40 ，sin40 )，b (cos20 ，sin20 )，则ab （）A1 B32C12D222将函数y2sin2x2的图象按向量 (2，2)平移后得到图象对应的解析式是（）A2cos2x B2cos2x C2sin2x D 2sin2x 3已知 ABC中， AB a， AC b，若 ab 0，则 ABC是（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形4设a (32,sin )，b (cos ,13)，且ab ，则锐角为（）A30B45C60D755已知a

21、(sin ，1cos )，b (1，1cos )，其中 ( ，32)，则一定有（）AabBa bCa 与b 夹角为 45 D|a | |b | 6已知向量a(6， 4)， b(0，2), c ab，若 C点在函数y sin12x 的图象上 ,实数（）A52B32C52D327由向量把函数ysin(x56)的图象按向量a (m，0)(m0)平移所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为（）A6B3C23D568设 0 2 时，已知两个向量OP1(cos ，sin )，OP2(2sin ，2 cos )，则向量 P1P2长度的最大值是（）A2 B3 C32 D23 9若向量a (cos ,sin)

22、，b (cos ,sin )，则a 与b 一定满足（）Aa与b 的夹角等于Ba bCabD(ab )(a b ) 10已知向量a (cos25 ,sin25 )，b (sin20 ,cos20 )，若 t 是实数，且u a tb，则 |u | 的最小值为（）A2 B1 C22D1211O 是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3 个点，一动点P满足：OPOA(ABAC)，(0,) ，则直线AP一定通过 ABC的（）A外心B内心C重心D垂心精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载12对于非零向量a我们

23、可以用它与直角坐标轴的夹角, (0 ,0 )来表示它的方向，称, 为非零向量a 的方向角，称cos ,cos 为向量a 的方向余弦，则cos2cos2（）A1 B32C12D0 二、填空题13已知向量m(sin ，2cos )，n (3,12).若mn ，则 sin2 的值为 _14已知在 OAB(O 为原点 )中，OA (2cos ，2sin )，OB (5cos ，5sin )，若OA OB 5，则SAOB的值为 _. 15将函数f(x)tan(2x3)1 按向量 a 平移得到奇函数g(x)，要使 | a| 最小，则a_. 16已知向量m(1，1)向量n 与向量m夹角为34，且mn 1.则

24、向量n _三、解答题17在ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若ABACBABC k(kR). （）判断ABC的形状；（）若 c2，求 k 的值18已知向量m(sinA,cosA)，n (3,1)，m n 1，且A为锐角 .()求角 A 的大小； ()求函数 f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域19在 ABC中， A、B、C 所对边的长分别为a、b、c，已知向量m(1，2sinA)，n (sinA，1cosA)，满足mn ，bc3a.()求 A 的大小； ()求 sin(B6)的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

25、-第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载20已知 A、B、C的坐标分别为A（4，0） ，B（0，4） ， C（3cos ，3sin ）. （）若 ( ，0)，且 |AC|BC|，求角 的大小；（）若ACBC，求2sin2 sin2 1tan 的值21ABC的角 A、B、C的对边分别为a、b、 c，m(2bc，a)，n (cosA， cosC) ，且mn ()求角 A 的大小；()当 y 2sin2B sin(2B6)取最大值时，求角B的大小 . 22已知a (cosx sinx， sinx)，b (cosx sinx，2cosx)，（）求证：向量a 与向量b 不可能平行；精选学习资料 - -

26、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载（）若 f(x)a b，且 x4,4时，求函数f(x)的最大值及最小值【专题训练】参考答案一、选择题1B解析 ：由数量积的坐标表示知a b cos40 sin20 sin40 cos20 sin60 32. 2D 【解析】 y 2sin2x2y 2sin2（ x2）22，即 y 2sin2x. 3A 【解析】 因为 cosBACAB AC|AB| |AC|ab| a| | b|0， BAC为钝角 . 4B 【解析】 由平行的充要条件得3213 sin cos 0，sin2 1，2 90

27、 ，45 . 5B 【解析】a b sin |sin |， ( ，32)， |sin | sin ，a b 0，ab 6A 【解析】c ab (6， 4 2 )，代入 y sin12x 得， 42 sin21，解得52. 7B 【解析】 考虑把函数ysin(x56)的图象变换为ycosx的图象，而ysin(x56)cos(x3)，即把 ycos(x3)的图象变换为y cosx的图象，只须向右平行3个单位，所以m3，故选 B. 8C 【解析】 |P1P2| (2 sin cos )2(2cos sin )2108cos32. 9D 【解析】ab (cos cos ,sin sin )，a b (

28、cos cos ,sin sin )，(a b ) (a b )cos2 cos2sin2sin20， (a b )(a b )10C 【解析】 |u|2|a |2t2|b|22ta b 1t2 2t(sin20 cos25 cos20 sin25 )t22t1(t22)212， |u |2 min12， |u|min22. 11C 【解析】 设 BC的中点为 D，则ABAC2AD，又由OPOA (ABAC)，AP2AD，所以AP与AD共线，即有直线AP与直线 AD 重合，即直线AP一定通过 ABC的重心精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

29、第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载12A 【解析】 设a (x,y)，x 轴、 y 轴、 z 轴方向的单位向量分别为i (1,0)，j (0,1)，由向量知识得 cos i a|i | |a|xx2y2，cos j a|j | |a |yx2y2，则 cos2cos21. 二、填空题138349【解析】 由mn，得12sin 23cos ,tan 43，sin2 2sin cossin2cos22tantan21834914532【解析】OA OB 510cos co s10sin sin 510cos( ) 5cos( )12，sinAOB32，又 |OA| 2，|OB|5， SAOB

30、12 2 53253215 （6， 1）【解析】 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)tan(2x3)1 的图象向下平移1个单位，再向右平移k26(kZ)个单位即应按照向量a (k26， 1) (k Z)进行平移要使|a| 最小，16(1，0)或 (0，1) 【解析】 设n (x，y)，由m n 1，有 xy 1 ，由m与n 夹角为34，有m n |m| |n |cos34， |n |1， 则 x2y21 ，由解得x=1y=0或x 0y 1即n (1，0)或n (0， 1) 三、解答题17 【解】（）ABAC bccosA，BABCcacosB ，又ABACBABC， bccosAc

31、acosB，由正弦定理，得sinBcosAsinAcosB，即 sinAcosBsinBcosA 0， sin(AB)0 AB ， AB0，即 AB， ABC为等腰三角形 . （）由（）知ba，ABACbccosA bcb2c2a22bcc22，c2， k1. 18 【解】 ()由题意得m n 3sinAcosA1，2sin(A6)1，sin(A6)12，由 A 为锐角得A66，A3. ()由（）知cosA12，所以 f(x)cos2x 2sinx12sin2x2sinx 2(sinx12)232，因为 xR，所以 sinx 1,1，因此，当sinx12时， f(x)有最大值32当 sinx

32、1 时， f(x)有最小值 3，所以所求函数f(x)的值域是 3，3219 【解】 ()由mn ，得 2sin2A1cosA0，即 2cos2AcosA10， cosA12或 cosA 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载A 是ABC内角， cosA 1 舍去， A3. () bc3a，由正弦定理，sinBsinC3sinA32，BC23， sinBsin(23B)32，32cosB32sinB32，即 sin(B6)3220 【解】（）由已知得：(3cos 4)29sin2 9cos2 (3

33、sin 4) 2，则 sin cos ，因为 ( ，0)， 34. （）由 (3cos 4)3cos 3sin (3sin 4) 0，得sin cos 34，平方，得sin2 716. 而2sin2 sin2 1tan 2sin2 cos 2sin cos2sin cos 2sin cossin2 71621 【解】 ()由mn ，得m n 0，从而 (2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosA sinCcosAsinAcosC0 2sinBcosA sin(AC)0，2sinBcosAsinB0，A、 B(0，)， sinB0，cosA12，故 A3. ()y2sin2B2

34、sin(2B6)(1cos2B)sin2Bcos6cos2Bsin6132sin2B12cos2B1sin(2B6). 由()得， 0 B23，6 2B676，当 2B62，即 B3时， y 取最大值2. 22 【解】（）假设a b ，则 2cosx(cosxsinx)sinx(cosxsinx)0，2cos2xsinxcosxsin2x0，21cos2x212sin2x1cos2x20，即 sin2xcos2x 3，2(sin2x4) 3，与 |2(sin2x4)| 2矛盾，故向量a 与向量b 不可能平行（） f(x)a b (cosxsinx)(cosxsinx)sinx 2cosx cos2xsin2x2sinxcosxcos2xsin2x 2(22cos2x22sin2x)2(sin2x4)，4 x4，4 2x 434，当 2x42，即 x8时， f(x)有最大值2；当 2x44，即 x4时， f(x)有最小值 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页