2022年高考平面向量专题突破 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载平面向量【考情上线】1.平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。平面向量的基本概念及线性运算【知识回顾】一、向量的有关概念及表示方法1. 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用cba,来表示，或用有向线段的起点

2、与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法),(yxjyi xa。2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a的模分别记作 |AB| 和|a。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。3. 几类特殊向量（1） 零向量：长度为0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，零向量a0a 0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“ 非零向量 ” 这个条件。（注意与0 的区别）（2） 单位向量：模为1 个单位长度的向量，向量0a为单位向量0| 1a。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a的单位向量为

3、：|aaea（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反 的非零向量，称为平行向量。记作ab。规定：0与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量 )，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。（4）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作a。关于相反向量有：零向量的相反向量仍是零向量，)( a=a；()0aa；若a、b

4、是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为ba。相等向量经过平移后总可以重合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载ababAB C 二、向量的线性运算1. 向量加法（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABa BCb，则a+b=ABBC=AC。规定：aaa00；（2）向量加法的法则“三角形法则”与“平行四边形法则”用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。三角形法则的特点是“首尾相接”，由

5、第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。（3）向量加法的运算律：交换律：abba结合律：()()abcaac2. 法向量的减（1） 定义：若axb则向量x叫做a与b的差，记为ba。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。（2） 向量减法的法则“三角形法则”与“平行四边形法则”三角形法则：当,a b有共同起点时，ab表示为从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量。平行四边形法则：两个已知向量是要共始

6、点的，差向量是如图所示的对角线。设,ABa ACb则a-b=ABACCB. 3. 实数与向量的积（1） 定义：实数 与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：aa；当0时，a的方向与a的方向相同； 当0时，a的方向与a的方向相反； 当0时，0a，方向是任意的。（2） 数乘向量的运算律()()aa；()aaa；()abab。三、向量共线定理1. 定理：若a与b是两个非零向量，则a b共线有且只有一个实数，使得ba，即/(0)abba a2. 推论：若a与b是两个非零向量，则a b共线存在两个均不为零的实数、，使得0ab，3. 应用：可以证明三点共线：ABACABC、 、三点共线。精

7、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载四、平面向量的基本定理1. 定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea。我们把不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 。2. 注 意：要平面内的两个向量不共线，都可以作为一组基底，当a用基底21,ee写成2211eea时，称之为向量的分解，当若a与b是两个非零向量，则a b共线有且只有一个实数，使得12ee时，称2211eea为向量的正交分解。3.应用：证明向量共

8、面：若,a b不共线，则p与,a b共面的充要条件是存在有序实数对( , )x y，使pxayb证明四点共面：若,MA MB不共线，存在实数对( , )x y使, ,MPxMAyMBM P A B四点共面，证明三点共线：若,MA MB不共线，存在实数对( , )x y使1, ,MPxMA yMBx yP A B且三点共线。五、平面向量的坐标表示与运算1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量, ij作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对 (x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(

9、x,y)，其中x 叫作a的横坐标， y 叫做作纵坐标。规定：(1,0)i，(0,1)j 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关, 只与其相对位置有关2.平面向量的坐标运算： 若1122(,),(,)axybxy， 则1212,abxxyy； 若2211,yxByxA， 则2121,ABxxyy；若a=(x,y)，则a=(x, y) ；若1122(,),(,)ax ybxy，则1221/0abx yx y；1212abx xy y若112(,) ,(,)axybxy，则1212,abxxyy六、线段的定比分点从标公式精选学习资

10、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载设 直 线l上 有 一 条 有 向 线 段12PP和 一 个 不 同 于12,P P的 动 点P， 若12|PPPP, 即12(1)PPPP,则称点 P为有向线段12PP的定比分点，且称P分有向线段成定比。设111222( , ),( ,),(,)P x y P x yP xy， 则12121(1)1xxxyyy若1， 得 到12PP中 点 坐 标121222xxxyyy七、几个重要结论1. 2222|2(| )ababab，22| |()()abab ab2. 若G为A

11、BC的重心1231230(,)33xxxyyyGA GBGCG。【例题讲解】考点一：向量的基本概念例 1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。（1） 若向量ab与同向，且| | |ab，则ab；（2） 若向量| |ab，则ab与的长度相等且方向相同或相反；（3） 对于任意向量| |ab，且ab与的方向相同，则ab；（4） 由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行。（5） 向量AB与向量CD是共线向量，则,A B C D四点在一条直线上；（6） 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。解：（ 1）不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个

12、向量不能比较大小，故（ 1）不正确 . （2）不正确，由| |ab只能判断两个向量长度相等，不能判断方向。（3）正确，因为| |ab，且方向相同，由两向量相等的条件可得ab（4）不正确，由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4）不正确。（5）不正确，若向量AB与向量CD是共线向量，则向量AB与CD所在的直线平行或重合，因此，,A B C D不一定共线。（6）正确，对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的。例 2.判断下列各命题是否正确：（1） 若| |ab，则ab；（2） 单位向量都相等；（3） 向量就是有向线段；（4） 两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（5） 若ab，

13、bc，则ac；（6） 若/ /ab，/ /bc，则/ /ac；（7） 若四边形ABCD是平行四边形，则,ABDC BCDA解：（1）不正确，由| | |ab只能判断两个向量长度相等，不能判断方向（2）不正确，单位向量只是模均为单位长度 1，而对方向没有要求；（3）不正确，有向线段有三个要素：起点、终点及长度，向量有两个要素：大小与方向。有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；（4）正确，因两相等向量的模相等，方向精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载相同，故当它们的起点相同时，则终点必重

14、合；（5）正确，由向量相等定义可得（6）不正确，若0b， 则对两个不共线的向量a与c， 也有/ /0,0 / /ac，但/ /ac（7）不正确，考点二：向量的基本运算例 3.如图所示，已知,OAa OBb OCc ODd OEe OFf，试用, , , , ,a b c d e f表示：（1）ADAB; （2）ABCF; （3）BFBD. 例 4. 如右图，以向量,OAa OBb为边作OADB,1,3BMBC13CNCD, 用,a b表示,OM ON MN解：BAOAOBab，111666BMBAab1566OMOBBMab又ODab11112()32633ONOCCDODODODab2215

15、11336626MNONOMababab即有152211,663326OMab ONab MNab考点三：共线向量例 5. 设两个非零向量,a b不共线，（1）若ABab，28 ,3()BCab CDab，求证：, ,A B D三点共线。（2）试确定实数k，使kab和akb共线。解：（ 1）证明：ABab，28 ,3()BCab CDab3()5()5BDBCCDababAB,AB BD共线。又它们有公共点B，,A B D三点共线（ 2）kab与akb共 线 ，存 在 实 数， 使 得()kabakb即kabakb，()(1)kakb，,a b是不花线的两个非零向量，210,10kkk1k例

16、6 设两个非零向量12,e e不共线 .(1)如果121212,32,82ABee BCee CDee，求证：,A C D三点共线； (2) 如果121212,23 ,2ABee BCee CDeke，且,A C D三点共线， 求k的值。解：（ 1）证明：121212,32,82ABee BCee CDee1212114( 82)22ACABBCeeeeCDAC与CD共线，又AC与CD有公共点C, ,A C D三点共线(2) 121212()(23 )32ACABBCeeeeee,A C D三点共线 ,AC与CD共线，从而存 在 实 数使 得A CC D即121232(2)eeeke， 由 平

17、 面 向 量 的 基 本 定 理 ， 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载3322423kk考点四：向量坐标的基本运算例 7. 已知( 2,4), (3, 1), ( 3, 4)ABC, 设,ABa BCb CAc，且3 ,2CMc CNb，(1) 求33abc(2) 求满足ambnc的实数,m n；(3) 求,M N的坐标及向量MN的坐标。解：由已知得：(5, 5),( 6, 3),(1,8)abc(1)333(5, 5)( 6, 3)3(1,8)abc=(15 63, 15 324)(6,

18、42)(2)( 6, 38 )mbncmnmn6513851mnmmnn（3）3CMOMOCc，3(3,24)( 3, 4)(0, 20)OMcOC(0, 20)M又2CNONOCb2(12,6)( 3, 4)(9,2)ONbOC(9,2)N(9, 18)MN例 8. 已知向量(1,2),( ,1),2 ,2abxuab vab，且/ /uv，求实数x的值。解：(1,2),(,1)abxuabvab(1,2)2( ,1)(21,4)uxx，2(1,2)( ,1)(2,3)vxx又/ /uv，3(21)4(2)0 xx12x考点五：共线向量的综合问题例 9. 如图所示，已知点(4,0),(4,4

19、),(2,6)ABC，求AC和OB交点P的坐标。解：法一：设(4,4)(4 ,4 )OPtOBttt，则(4 ,4 )(4,0)(44,4 )APOPOAtttt，(2,6)(4,0)( 2,6)AC由,AP AC共线的充要条件知：(44) 64( 2)0tt，解得34t(4 ,4 )(3,3)OPtt，P点坐标为(3,3)法二：设( , )P x y，则( , ),(4, 4)OPx y OB,OPOB共线，440 xy又(2,6),(2, 6)CPxyCA, 且向量,CP CA共线。6(2)2(6)0 xy，联立得3,3xyP点坐标为(3,3)例 10. 如图所示，在OAB中，11,42O

20、COA ODOB AD与BC将于点M，设,OAa OBb以,a b为基底表示OM. 解：设(,)OMmanb m nR则(1)AMOMOAmanb，12ADODOAba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载,A M D三点共线，1112mn，即21mn而1()4CMOMOCmanb,14CBOBOCba,C M B三点共线，14114mn，即41m n由21134177mnmnmn，1377OMab【例题讲解】考点一：向量的基本概念例 1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。（1）若向量ab与同

21、向，且| |ab，则ab；（2）若向量| |ab，则ab与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量| |ab，且ab与的方向相同，则ab；（4）由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行。（5）向量AB与向量CD是共线向量，则, ,A B C D四点在一条直线上；（6）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。例 2. 判断下列各命题是否正确：（1） 若| |ab，则ab；（2） 单位向量都相等；（3） 向量就是有向线段；（4） 两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（5） 若ab，bc，则ac；（6） 若/ /ab，/ /bc，则/ /ac；（7） 若四边形ABCD是平行四

22、边形，则,ABDC BCDA考点二：向量的基本运算例 3.如图所示，已知,OAa OBb OCc ODd OEe OFf，试用, , , , ,a b c d e f表示：（1）ADAB; （2）ABCF; （3）BFBD. 例 4. 如右图，以向量,OAa OBb为边作OADB,1,3BMBC13CNCD, 用,a b表示,OM ON MN考点三：共线向量例 5.设两个非零向量,a b不共线，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载（1）若ABab，28 ,3()BCab CDab，求证：, ,A

23、B D三点共线。（2）试确定实数k，使kab和akb共线。例 6设两个非零向量12,e e不共线 . (1) 如果121212,32,82ABee BCee CDee，求证：,A C D三点共线；(2) 如果121212,23 ,2ABee BCee CDeke，且,A C D三点共线，求k的值。考点四：向量坐标的基本运算例 7. 已知( 2,4), (3, 1), ( 3, 4)ABC, 设,ABa BCb CAc，且3 ,2CMc CNb，(1) 求33abc(2) 求满足ambnc的实数,m n；(3) 求,M N的坐标及向量MN的坐标。例 8. 已知向量(1,2),( ,1),2 ,2

24、abxuab vab，且/ /uv，求实数x的值。考点五：共线向量的综合问题例 9. 如图所示，已知点(4,0),(4,4),(2,6)ABC，求AC和OB交点P的坐标。例 10. 如图所示，在OAB中，11,42OCOA ODOBAD与BC将于点M，设,OAa OBb以,a b为基底表示OM. 平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载1、知识与技能：（ 1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的

25、重要性质及运算律；（ 3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（ 4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法（ 1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（ 2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高

26、到理性认识，。3、情态与价值观（ 1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。二、合作探究，精讲点拨探究一：数

27、量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S，那么力 F 所做的功： W= |F| |S| cos 。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W （功）是量， F（力）是量， S（位移）是量， 是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量abbcos叫做a与b的数量积（或内积），记作：ab，即：ab= abcos（ 2）定义说明：记法“ab”中间的“”不可以省略，也不可以用“”代替。 “规定”：零向量与任何

28、向量的数量积为零。S F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。（ 4）学生讨论，并完成下表：的范围090=900180ab的符号（ 5）探究题组一：已知a，b，当ab，ab，a与b的夹角是 60时，分别求ab.解：当ab时，若a与b同向，则它们的夹角， ababcos0361 18；若a与反向

29、，则它们的夹角180，ababcos18036（ -1） 18；当ab时，它们的夹角90，ab；当a与b的夹角是60时，有abab cos60 3 6219 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0 ，180 ，因此，当ab时，有 0 或 180 两种可能 . 探究二：研究数量积的几何意义1. 给出向量投影的概念：如图，我们把bcos（acos）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，记做：OB1=b cos注：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0 时投影为|b|；当 = 180 时投影为|b|. 2. 提出问题

30、5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积ab等于a的长度 a与b在a的方向上的投影bcos的乘积 。探究三：探究数量积的运算性质1、数量积的性质性质：若 和均为非零向量（1）0 （垂直）（ 2）与同向时， = ， 与 反向时， =- 特别地： = 2 =aa（长度）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载（3）cos=baba（夹角）（ 4） （注意等号成立的条件）2、探究题组二已知a=6，b=4, a与b的夹角为60，求 （a+2b） （a-3b），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：

31、（a+2b）（a-3b）=a.a-3a.b+2a.b-6b.b =36-3 460.5-6 44 = -72 评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律变式：（ 1）(a+b)2=a2+2ab+b2（2）(a+b ) (a-b)=a2b2探究题组3：互相垂直？与为何值时，向量不共线与已知babkakbabak,4,3解：0)()()()(bkabkabkabka43016902222kkbka三、思悟小结：知识线： （1）平面向量的数量积；（2）平面向量的数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质及运算律；4）平面向量的数量积与向量投影的关系。思想方法线：（1）公式或定义法；（2）数形结合

32、、分类讨论等思想方法。四、针对训练巩固提高：1、 下列各式（ 1）bababa（2）baba（3）cbcacba（4）cbacba正确的个数为2、 已知：7, 4,3 ,2ba，则a在b上的投影为3、 下列命题中（1）0,0baba有则对任意向量若（2 ）0,0baba，有则对任一个非零向量若（3）0,0,0bbaa则若（ 4）0,0中至少有一个为则若baba（5），则，若（6）时成立当且仅当则若0,acbcaba其中真命题的个数有4、bababababa,150,4, 320求的夹角与已知5、ACCBCbaABC求中，已知：三角形,60,8,5013. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，

33、 双 曲 线的 中 心 在 原 点 ， 它 的 一 个 焦 点 坐 标 为(5 , 0 )，1(2,1)e2(2, 1)e分 别是两条渐近线的方向向量。任取双 曲线上的 点P， 若12OPaebe（a、bR），则a、b满足的一个等式是4ab 1 。解析：因为1(2,1)e、2(2, 1)e是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为xy21又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载1,2,5bac双曲线方 程为1422yx，12OPaebe=),22(baba，1)(4)22(22baba，化简得4ab

34、 116）已 知平面向量,(0,)满足1，且与的夹角为 120 ，则的取值范围是 _解析： 利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解， 本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。12. 已知向量a（ 2， 1），b（ 1，m），c（ 1，2）若（ab）c，则m1 . 解析：0)1()1(21/)(),1, 1(mcbamba得由，所以 m=-1 13. 已知向量a，b满足1a，2b，a与b的夹角为60，则ab【答案】3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图,aOA bOB abOAO

35、BBA，由余弦定理得：3ab13）已知平面向量,1,2,(2 ),则2a的值是答案：1015）如图，在ABC中，ADAB,3BCBD,1AD, 则AC AD .【答案】 D | | cos| cos|sinACADACADDACACDACACBACsin B3BC综合巩固提升一、选择题 (每题 5 分，共 10 题，50分) 1 已知ABC为等边三角形 ,=2AB, 设点,P Q满足=APAB,=(1)AQAC,R,若3=2BQ CP, 则=（）A12B122C1102D3222【答案】 A 【命题意图】 本试题以等边三角形为载体, 主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理 , 共线向

36、量定理及其数量积的综合运用. 【解析】=BQAQAB=(1)ACAB,=CP APAC=ABAC, 又3=2BQ CP,|=|=2ABAC,0=60AB AC,CBAPQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载0=|cos60 =2AB ACAB AC, 3(1)()=2ACABABAC,2223| +(1)+(1)| =2ABAB ACAC, 所以234 +2(1)+4(1)=2, 解得1=2. 2 设,a b是两个非零向量 .（）A若abab, 则abB若ab, 则ababC若abab, 则存在

37、实数, 使得abD若存在实数, 使得ab, 则abab【答案】C【解析】利用排除法可得选项C是正确的 , abab, 则, a b共线 , 即存在实数, 使得ab. 如选项 A:abab时, ,a b可为异向的共线向量; 选项 B:若ab,由正方形得abab不成立 ; 选项 D:若存在实数, 使得ab,a b可为同向的共线向量 , 此时显然abab不成立 .3 设,x yR, 向量,1 ,1,2, 4axbyc, 且,/ /ac bc, 则ab（）A5B10C2 5D10【答案】 B 【 解 析 】 由02402aca cxx, 由/ /422bcyy, 故22|(21)(12)10ab. 【

38、考点定位】 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示, 模长公式 . 解决问题的关键在于根据ac、/ /bc, 得到,x y的值 , 只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件 ,就不会出错 , 注意数字的运算. 4 设,a b都是非零向量 , 下列四个条件中 , 使abab成立的充分条件是 （）A abB/abC2abD/ab且| |ab【答案】 D 【解析】若使abab成立 ,则, a b方向相同选项中只有D能保证 , 故选 D. 【点评】 本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

39、 - - - - - -第 13 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载零向量 ,其模为 0 且方向任意 . 5 已知两个非零向量,a b满足abab, 则下面结论正确的是（）A/ /abBabC=abD+ = -a b a b【答案】 B 【解析一】由abab, 平方可得0a b, 所以ab, 故选 B 【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知abab与与分别为以向量,a b为邻边的平行四边形的两条对角线的长, 因为abab, 所以该平行四边形为矩形, 所以ab, 故选 B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系, 属于容易题 . 解析一是利用向量的运算来解, 解析二

40、是利用了向量运算的几何意义来解.6 在ABC 中,2,3,1ABACAB BC则 BC（）A3B7C 2 2D23【答案】A 【解析】由下图知AB BC= cos()2( cos)1AB BCBBCB. 1cos2BBC. 又由余弦定理知222cos2ABBCACBAB BC, 解得3BC. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识. 考查运算能力, 考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC的夹角为B的外角 . 7 对任意两个非零的平面向量和, 定义, 若平面向量,a b 满足0,aba与b的夹角0,4, 且a b和b a都在集合2nnZ中, 则a b（）

41、A12B1 C32D52【答案】 C【解析】 因为|coscos1|b abb aa aa, 且a b和ba都在集合|2nnZ中, 所ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载以12b a,|12cos|ba, 所以2|cos2cos2|aa bb, 且22cos1a b, 所以12a b,故有32a b, 选 C. 【 另 解 】12cos,cos,22abkka bb aba两 式 相 乘 得212cos,4k k因 为0,4，12,k k均为正整数，于是122cos1,22k k所以122

42、4,k k所以123,k k而0,ab所以123,1,kk于是32a b，故选 C 8 若向量2,3BA,4,7CA, 则BC（）A2, 4B2,4C6,10D6, 10【答案】 A 【解析】:2, 4BCBACA. 9 ABC 中, AB 边上的高为CD , 若,0,| 1,|2CBa CAb a bab, 则AD（）A1133abB2233abC3355abD4455ab【答案】 D 【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用, 结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用 . 【解析】由0a b可得90ACB, 故5AB, 用等面积法求得2 55CD, 所以4 55AD, 故4

43、444()5555ADABCBCAab, 故选答案 D 10在平面直角坐标系中 ,(0,0),(6,8)OP, 将向量 OP 按逆时针旋转34后, 得向量OQ则点Q的坐标是（）A( 72,2)B( 72,2)C( 4 6,2)D( 46, 2)【解析】选 A【方法一】设34(10cos ,10sin)cos,sin55OP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载则33(10cos(),10sin()( 7 2,2)44OQ【方法二】将向量(6,8)OP按逆时针旋转32后得(8, 6)OM则1()(

44、7 2,2)2OQOPOM二、填空题（每题5 分，共 6 题，30分）11已知向量,a b夹角为45, 且1, 210aab; 则_b【答案】b3 2【解析】22210(2)1044cos45103 2ababbbb12在ABC 中, M 是 BC 的中点 ,3,10AMBC, 则_AB AC【答案】16【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设ABC 是以 ABAC 的等腰三角形 , 如图, 3,10,34AMBCABACcosBAC =3434100823417.AB AC=cos16ABACBAC13在平行四边形 ABCD 中,3A边,AB AD 的长分别为 2、1. 若,M N 分别是边

45、,BC CD 上的点 , 且满足BMCNBCCD, 则AMAN的取值范围是 _ . 【解析】如图建系 , 则13530,0 ,2,0 ,2222ABDC. 设tCDCNBCBM|0,1, 则tBM |,tCN2|, 所以3532,2 ,2222ttMNt , 故225332225162222ttAMANttttf t因为0,1t, 所以ft单调减 ,05,12MAXMINAMANfAMANfx y A B C D M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载【评注】当然从抢分的战略上, 可冒用两

46、个特殊点: M 在 B ( N 在 C ) 和 M 在C ( N 在 D ), 而本案恰是在这两点处取得最值, 蒙对了 , 又省了时间 ! 14 如图, 在矩形ABCD中,22ABBC，点E为BC的中点 , 点F在边CD上, 若2ABAF, 则AEBF的值是 _. 【答案】2. 【考点】向量的计算 , 矩形的性质 , 三角形外角性质 , 和的余弦公式 , 锐角三角函数定义 . 【解析】 由2ABAF, 得cos2ABAFFAB,由矩形的性质,得cos=AFFAB DF. 2AB, 22DF, 1DF. 21CF. 记AEBF和之间的夹角为,AEBFBC，, 则. 又2BC，点 E 为 BC 的

47、中点 , 1BE. =cos =cos=coscossinsinAE BFAEBFAEBFAEBF=coscossinsin=1 22212AEBFAEBFBE BCAB CF. 本题也可建立以, AB AD为坐标轴的直角坐标系 , 求出各点坐标后求解 . 15已 知正 方 形 ABCD 的边 长为1, 点 E 是 AB 边 上的 动点 , 则 DE CB 的值 为_; DE DC 的最大值为 _. 【 答 案 】 1 ;1【 解 析 】 根 据 平 面 向 量 的 点 乘 公 式| | cosDE CBDE DADEDA,可知|coDEDA,因2|1DE CBDA;| | cos| cosD

48、E DCDEDCDE, 而|cosDE就是向量 DE 在DC边上的射影 , 要想让DEDC最大, 即让射影最大 , 此时 E 点与 B 点重合, 射影为|DC, 所以长度为 1 16若平面向量,a b满足:23ab; 则 a b 的最小值是_【答案】98【解析】a b的最小值是9822222349494449448ababa baba ba ba ba ba b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载高三数学平面向量综合练习题一、选择题1、设平面向量a=(2，1)，b=(，1)，若a与b的夹角为钝角

49、，则 的取值范围是A、),2()2,21(B、(2，+)C、(21，+)D、(，21) 2、设a=(x1， y1)，b=(x2，y2)，则下列为a与b共线的充要条件的有存在一个实数，使a=b或b=a； |ab|=|a|b|；2121yyxx； (a+b)/(ab)A 、 1个B、2 个 C、3 个D、4 个3、若函数 y=2sin(x+ )的图象按向量(6，2)平移后，它的一条对称轴是x=4，则的一个可能的值是A、125B、3C、6D、124、ABC 中，若BCBAACAB，则 ABC 必约A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、等腰三角形5、已知 ABC 的三个顶点A、B、C 及所在平

50、面内一点P 满足ABPCPBPA，则点 P与ABC 的关系是A、P 在ABC 内部B、P 在ABC 外部C、P在直线 AB 上 D、P 在ABC 的 AC 边的一个三等分点上6、在边长为1 的正三角形ABC 中，aBC，ABc，CAb，则accbba= A、1.5 B、 1.5 C、0.5 D、 0.5 题号1 2 3 4 5 6 答案二、填空题1、已知a=(cos，sin)，b=(3， 1)，则 |2ab|的最大值为 _ 2、已知P(x，y)是椭圆1422yx上一点， F1、F2是椭圆的两焦点，若F1PF2为钝角，则x 的取值范围为 _ 3、设m=(a,b)，n=(c,d)，规定两向量m,