2022年高考数学复习之三角函数与向量 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思专题一：三角与向量的交汇及题型分析解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中， 主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12 分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、 性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、 夹角及模之间都有着不同程度的交汇，考查三角函数的对称性与向量平移，考查两角和与差与向量垂直、考查三角函数的求值与向量积、考查正余弦定理与向量数量积等.根据 20XX 年考纲预计在13 年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、 三角函数的图像和性质、向量的数

2、量积、共线(平行 )与垂直的充要条件条件主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识， 即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起. 【考试要求】1理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、余割的定义掌握同角三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式3能正确运用三

3、角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“ 五点法 ” 画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin( x+)的简图，理解A， ，的物理意义5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算8掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件9掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式【考点透视】向

4、量具有代数运算性与几何直观性的“ 双重身份 ” ，即可以象数一样满足“ 运算性质 ” 进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“ 角” 为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“ 角” 之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样， 解法灵活， 极富思维性和挑战性.主要考点如下：1考查三角式化简、求值、证明及求角问题. 2考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(x+)的性质和图像及其图像变换. 3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问

5、题等. 4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算. 5考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题. 6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【典例分析】题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；

6、 (2)平移的单位 .这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标. 山东 2011（17） （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 已知. (1) 求的值；(2) 若 cosB=1/4，三角形 ABC 周长为 5，求 b 的长. 本题考察正弦定理的应用-边角的互化解： （）在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb及正弦定理可得cos2cos2sinsincossinACCABB，即sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB则sinsinsincos2sincos2cossinABABCBCBsin()2sin(

7、)ABCB，而ABC，则sin2sinCA，即sin2sinCA。另解 1：在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb可得cos2 cos2 coscosbAbCcBaB由余弦定理可得22222222222222bcaabcacbacbcaac，整理可得2ca，由正弦定理可得sin2sinCcAa。另解 2：利用教材习题结论解题，在ABC中有结论coscos,coscos,coscosabCcB bcAaC caBbA. 由cos2cos2cosACcaBb可得cos2 cos2 coscosbAbCcBaB即coscos2 cos2 cosbAaBcBbC，则2ca，cosA-2cos

8、 C2c-a=cosBbsinsinCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思由正弦定理可得sin2sinCcAa。（）由2ca及1cos,24Bb可得22222242cos44,caacBaaaa则1a，2c，S21115sin1 21cos224acBB，即154S。2011 高考山东文17 （本小题满分12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知cosA-2cos C2c-a=cosBb（I）求sinsinCA的值；（II）若 cosB=14，5bABC

9、的周长为，求的长 .2011 高考山东理17 （本小题满分12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知cosA-2cos C2c-a=cosBb（I）求sinsinCA的值；（II ）若 cosB=14，b=2，ABC的面积 S。2012 高考山东文(17)( 本小题 满分 12 分 )在 ABC 中，内角,A B C 所对的边分别为, ,a b c ，已知 sin(tantan)tantanBACAC . ()求证：, ,a b c 成等比数列；()若1,2ac，求 ABC 的面积 S. 2012 高考山东理（17） （本小题满分12 分）已知向量m=（sinx，1）

10、，函数f（x） =mn 的最大值为 6. （）求 A；（）将函数y=f（x）的图象像左平移12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。（11 文） 17解：（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC则22 sinsin2sinsin,sinsincakCkACAbkBB所以cos2cos2sinsin.cossinACCABB即(cos2cos)sin(2sin

11、sin)cosACBCAB，化简可得sin()2sin().ABBC又ABC，所以sin2sinCA因此sin2.sinCA（II）由sin2sinCA得2 .ca由余弦定得及1cos4B得22222222cos14444.bacacBaaaa所以2 .ba又5,abc从而1,a因此 b=2。（11 理） 17解：（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC则22 sinsin2sinsin,sinsincakCkACAbkBB所以cos2cos2sinsin.cossinACCABB即(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB，精选学习资料 - - - - - -

12、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思化简可得sin()2sin().ABBC又ABC，所以sin2sinCA因此sin2.sinCA（II）由sin2sinCA得2 .ca由余弦定理22222212coscos,2,4144.4bacacBBbaa及得4=a解得 a=1。因此 c=2 又因为1cos,.4BGB且所以15sin.4B因此111515sin1 2.2244SacB（12 文） (17)(I)由已知得：sin(sincoscossin)sinsinBACACAC ，sinsin()sinsinBACAC

13、，2sinsinsinBAC ，再由正弦定理可得：2bac ，所以, ,a b c 成等比数列 . (II) 若1,2ac，则22bac，2223cos24acbBac，27sin1cos4CC， ABC 的面积1177sin122244SacB. （12 理） 解析：（）62sin2cos22sin232cos2sincos3)(xAxAxAxAxxAnmxf，则6A; （）函数y=f （x）的图象像左平移12个单位得到函数6)12(2sin6xy的图象，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进

14、,熟读而精思再 将 所 得 图 象 各 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的12倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 得 到 函 数)34s i n (6)(xxg. 当245,0 x时， 1 ,21)34sin(,67,334xx，6, 3)(xg. 故函数 g（x）在上的值域为6,3. 另解：由)34sin(6)(xxg可得)34cos(24)(xxg，令0)(xg，则)(234Zkkx，而245, 0 x，则24x，于是367sin6)245(,62sin6)24(,333sin6)0(ggg，故6)(3xg，即函数g（x）在上的值域为6,3. 命题方向 1：三角函数平移与向量平移的综合

15、【例 1】把函数 ysin2x 的图象按向量a (6，3)平移后，得到函数yAsin( x)(A 0， 0，| |2)的图象，则和 B 的值依次为（）A12， 3 B3， 3 C3， 3 D12，3 【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小. 命题方向 2：三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线 )条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行

16、求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查. 【例 2】已知 A、B、C 为三个锐角，且ABC .若向量p (22sinA，cosAsinA) 与向量q (cosAsinA，1 sinA)是共线向量 . （）求角A；（）求函数y2sin2BcosC3B2的最大值 . 【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第()小题；而第 ( )小题根据第 ()小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范精选学习资料 - - - - - - - - -

17、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思围求最值 . 【点评】本题主要考查向量共线(平行 )的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题； （2）根据条件确定B 角的范围 .一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了. 命题方向 3：三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题

18、型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例 3】已知向量a (3sin ,cos )，b (2sin，5sin 4cos )， (32，2)，且a b （）求 tan 的值；（）求 cos(23)的值【分析】第()小题从向量垂直条件入手，建立关于的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tan 的值；第 ()小题根据所求得的tan 的结果，利用二倍角公式求得 tan2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数

19、问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（）小题的解答中用到“ 弦化切 ” 的思想方法， 这是解决在一道试题中同时出现“ 切函数与弦函数” 关系问题常用方法. 命题方向 4：三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|a |2a2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法： （1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】已知向量a (cos ,sin)，b (cos ,sin)，|a b |255.()求 cos( )的值； ()若2 0 2，且 sin 513，求 sin 的值 . 【分析】利用向

20、量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第()小题；而第 ()小题则可变角 ( ) ，然后就须求sin( )与 cos即可. 【解】()|a b |255，a22a b b245，将向量a (cos ,sin)，b (cos ,sin)代入上式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思122(cos cos sin sin)1245， cos( )35. ()2 0 2， 0 ，由 cos( )35，得 sin( )45，又 sin 513， cos 1213，sin sin( ) sin

21、( )cos cos( )sin 3365. 点评： 本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|ab |为向量运算 |a b |2(a b )2；(2)注意解 的范围 .整个解答过程体现方程的思想及转化的思想. 命题方向 5：三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解. 【例 5】设函数 f(x) a b .其中向量a (m，cosx)，b (1sinx，1)，xR

22、，且 f(2)2.（）求实数m 的值； （）求函数f(x)的最小值 . 分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的 “ 数量关系 ” ，从而，建立函数f(x) 关系式，第（）小题直接利用条件f(2)2 可以求得，而第 ()小题利用三角函数函数的有界性就可以求解. 解： （） f(x) a b m(1sinx) cosx，由 f(2)2，得 m(1sin2)cos22，解得 m1. ()由（）得f(x) sinxcosx12sin(x4)1，当 sin(x4) 1 时， f(x) 的最小值为12. 点评： 平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角

23、、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“ 数量关系 ” ， 再利用三角函数的相关知识进行求解命题方向 6： 、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、 余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题. 【例 6】已知角 A、B、C 为 ABC 的三个内角，其对边分别为a、b、c，若m(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

24、- - - - - - -第 8 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cosA2，sinA2)，n (cosA2，sinA2)，a2 3，且m n 12（）若 ABC 的面积 S3，求 bc 的值（）求 bc 的取值范围【分析】第()小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得 A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c 的方程组求取b c 的值；第 ()小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式，进而求得b c 的范围 . 【解】（）m( cosA2，sinA2)，n (cosA2，sinA2)，且m n 12， cos2A2

25、sin2A212，即 cosA12，又 A(0，)， A23. 又由 SABC12bcsinA3，所以 bc4，由余弦定理得：a2b2c22bc cos23b2c2bc， 16 (bc)2，故 bc4. （）由正弦定理得：bsinBcsinCasinA23sin23 4，又 BC A3，bc4sinB4sinC4sinB 4sin(3B)4sin(B3)，0B3，则3B323，则32sin(B3) 1 ，即 bc 的取值范围是2 3，4 . 点评 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第()小题中求bc 没有利用分别求出b、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第()小题的求解中特别要注意确定角B 的范围 .第二部分导函数的应用这一部分设计内容相对单一，特别是文科只涉及多项式函数的研究，考察导数的几何意义，函数的单调性、极值和最值。求导之后导函数为二次函数类型，因此函数落脚点的重点在二次函数。定义域是重点。（ 2011 全国 21 题） （2011 山东 21题，和立体几何联系）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页