2022年数学基础知识及其在西方经济学中的 .pdf

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1、名师精编优秀资料数学基础知识及其在西方经济学中的应用西方经济学是一门综合性较高的课程，有一定的难度， 需要一定的数学知识基础。这里我们给大家整理了一些必需的数学基础知识，帮助大家学好西方经济学这门课程。一、经济模型中运用的图形经济模型是对经济或企业与家庭这类经济组成部分进行的简化的描述。它包括可以用方程式或图形中曲线表示的经济行为的表述。经济学家利用模型来揭示不同政策或其他因素对经济的影响，在方法上与采用模型飞机测定风洞和气候模式有类似之处。在经济模型中你将遇到许多不同的图形，一旦你学会认识这些类型，你就会很快了解图形的含义。在图形中看到的类型有如下四种情况：1、同方向变动的变量同方向变动的两

2、种变量之间的关系称为正相关或者同方向相关。图 1-1 表示正相关图形的三种情况。图a表示一种两个变量同时增加的正相关，图形沿着越来越陡峭的曲线移动；图 b 表示一种正相关线性关系，图形是一条直线； 图 c 表示一种两个变量同时增加的正相关，图形沿着越来越平坦的曲线移动。图 1-2 中的所有线无论它是直线还是曲线都称为曲线。y a b c o x 图 1-2：正相关图形的三种情况2、反方向变动的变量反方向变动的两种变量之间的关系称为反相关或者反方向相关。图 1-3 表示反相关图形的三种情况。 图 a 表示一种一个变量增加、另一个变量减少的负相关，图形沿着越来越陡峭的曲线移动； 图 b 表示一种负

3、相关线性关系，图形是一条直线；图 c 表示一种图形沿着越来越平坦的曲线移动的负相关。y a b c o x 图 1-3：负相关图形的三种情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师精编优秀资料3、有最大值或最小值的变量y A o x 产量最大产量递增产量递减y B o x 成本递减成本递增成本最小(a) (b) 图 1-4：有最大值与最小值的图形图（ a）表示有一个最大值点A 的曲线，点A 的左边产量递增，右边产量递减，在点A处达到产量最大；图（b）表示有一个最小值点B 的曲线，点B 的左边成本递减，右边成本递增，在

4、点B 处成本最小。4、无关的变量y o x y o x (a) (b) 图 1-5：无关变量的图形有许多情况是无论一个变量发生什么变动，另一个变量都不变。上图（a）表示无论x如何变动， y 的数值不变；图（b）表示无论y 如何变动， x 的数值不变。5、一种关系的斜率我们可以用关系的斜率来衡量一个变量对另一个变量的影响。一种关系的斜率是用y轴衡量的变量的值的变动量除以用x 轴衡量的变量的值的变动量。我们用希腊字母代表“变动量”， x 指 x 轴衡量的变量的值的变动量，这样关系的斜率是：y/x.。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页

5、，共 10 页名师精编优秀资料(a)正斜率(b)负斜率图 1-6：一条直线的斜率无论你计算直线上哪个地方，一条直线的斜率是相同的。但是一条曲线的斜率是多变的，取决于我们计算线上的哪个位置。有两种方法可以计算一条曲线的斜率：在曲线某一点上的斜率称为点斜率，而某一段弧的斜率称为弧斜率。如图1-7 所示：(a)点斜率(b)弧斜率图 1-7：一条曲线的斜率二、导数的定义与几何意义1、导数的定义定义：设函数xfy在点0 x及其邻域内有意义，如果极限xyx0lim存在，则称函数xfy在点0 x处可导，并称此极限值为函数xfy在点0 x处的导数，记作xxfxxfxyxfxx00000limlim（1.1）精

6、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师精编优秀资料导数还采用下列符号：0 xxy，或0 xxdxdy，或0 xxxfdxd因此曲线xfy在点0 x的切线的斜率可以表示为0 xf。例 1、求抛物线2xy在点1x处的切线的斜率。解：2xxf，由式（ 1）得22lim11lim10220 xxxfxx因此抛物线2xy在点1x处的切线的斜率为2。我们把计算导数的运算称为求导运算，或者微分运算。需要指出的是，导数记号dxdy不能简单的视为除法运算，目前我们要把它看作一个整体记号。xf又记作：y或dxdy或xfdxd显然，函数x

7、fy在点0 x的导数正是该函数的导函数xf在点0 x的值，即00 xxxfxf（1.2）在求导数时，若没指明求哪一点的导数，都是指求导函数。例 2、设3xy，求y，)1(y，)2(y解：这里3xxf，由导数的定义式（1）得：y23x所以33)1(121xxxyy，123)2(222xxxyy同理可得1)(x，344)(xx，并推广为对任意实数，成立1)(xx例如：91010)(xxxxxx2121)(2121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师精编优秀资料例 3、设xxf1，求3f。解：先求xf，有22111xx

8、xxxf则911332xxf对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x 是自变量x 在0 x处的增量 (或改变量 )；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果 x0时，xy有极限，那么函数y=f(x)在点0 x处可导或可微，才能得到f(x) 在点0 x处的导数。(3)如果函数y=f(x) 在点0 x处可导，那么函数y=f(x) 在点0 x处连续 (由连续函数定义可知)。反之不一定成立。例如函数y=|x|在点 x=0 处连续，但不可导。2、导数的几何意义函数 y=f(x) 在点0 x处的导数， 就是曲线y=(x) 在点)(,(00 xfxP处的切线的斜率。 由此，可以利用导数求曲线的切线方

9、程。具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x) 在点0 x处的导数， 即曲线 y=f(x) 在点)(,(00 xfxP处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为)( 000 xxxfyy（1.3）特别地，如果曲线y=f(x) 在点)(,(00 xfxP处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0 xx。例 4、求过曲线xy上的点1x处的切线方程。解：把1x代入xy得1y，得曲线xy在1 , 1处的切线方程为：111xfy由于xxxf21，所以211f，则切线方程为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

10、 - - -第 5 页，共 10 页名师精编优秀资料1211xy2121xy如果函数xfy在0 x处可导， 那么曲线xfy在此点处光滑连接（不间断或没有尖角） ，且曲线xfy在点00, yx处有不垂直于x轴的切线。3、导数的运算（1）和、差的导数前面我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数23)(xxxf的导数， 又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。xxxxxxxxxfxxfxfxx)()()(lim)()(lim)( 232300 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx23)(323(lim)(2)()(33lim222023220我们不难发现)()(23)(23223xxxxxx，

11、 即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。同时可以推导出：两函数差的导数等于这两函数的导数的差。这就是两个函数的和（或差）的求导法则。（2）积的导数两个函数的积的求导法则，只要求记住并能运用就可以。（ A）)(vuuv；vuvuuv（ B）若 c 为常数，则 (cu) =cu。（3）商的导数两个函数的商的求导法则，只要求记住并能运用就可以。设)()()(xvxuxfy)()()()()()()()(xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxy因为 v(x) 在点 x 处可导，所以它在点x 处连续，于是x0 时， v(x+ x)v(x) ，从而20)()( )()()( limxvxvxuxv

12、xuxyx即2vuvvuvuy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师精编优秀资料说明： （1）vuvu；（2）2vuvvuvu学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。例 5、求下列函数的导数32xy解：812623xxxy812623xxx121232xx三、导数在经济分析中的应用本节介绍导数在经济分析中的应用，以展示导数应用的各个视角，供学习者在其它领域中应用导数解决实际问题提供借鉴。

13、1、边际分析在生产和经营活动过程中，产品成本、 销售收入以及产销利润都是产量x的函数， 分别记为xC，xR和xL。如果生产者按定单组织生产，那么销售量与产量相同，就有xCxRxL显然有：xCxRxL经济函数的导数称为它们各自的边际函数，（1）边际成本：成本函数xC对产量x的变化率xC称为边际成本，记成xMC；（2）边际收入：收入函数xR对产量x的变化率xR称为边际收入，记成xMR；（3）边际利润：利润函数xL对产量x的变化率xL称为边际利润，记成xML；以边际成本为例，说明边际函数的经济意义。由于xCxCxMC考虑到经济物品在多数情况下是不可分割的，即当1x时，成立xMCC因而边际成本表示在x

14、的水平上再多生产一个单位产品所需增添的成本；同理，边际收入表示在x的水平上再多生产一个单位产品所增加的收入；边际利润表示在x的水平上再多生产一个单位产品所增加的利润。若边际成本xC较大，则产量在x水平上增产所需要增添的成本也较大，表明增产潜精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师精编优秀资料力较小；若边际成本xC较小，则产量在x水平上增产所需要增添的成本也较小，表明增产潜力较大。例 1、某产品总成本为产量x的函数1009002xxC，求生产 100 个产品的平均成本及边际成本。解：平均成本函数100900 xxxxC

15、xC，于是生产100 个产品的平均单位成本为10100C。边际成本函数50 xxC，于是生产100 个产品时的边际成本为2100C。这说明：生产前100 个产品时，均摊在每个产品上的成本为10 元，在此基础上生产第101 个产品，所需要增添的成本大约为2 元。例 2、某商品平均成本函数为2100qqC（元 /公斤），每公斤售价p元，需求函数为pq100800，求边际成本，边际收入，边际利润。解：成本函数为qqqqqCqC21002100于是边际成本2qC从需求函数pq100800解出：1008qp，则收入函数100810082qqqqpqqR于是边际收入508qqR边际利润为5062508qq

16、qCqRqL本题中的边际成本恒等于2 表示成本的变化率是常数，它说明， 每增加生产单位产品成本将增加为2，而每增加生产单位产品的边际利润却在变化。例如：4100L，0300L，而4500L，这意味着，盲目扩大生产规模，不一定增加经济效益。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师精编优秀资料2、弹性分析在实际应用中， 常把函数xfy的导数y乘上yx称为函数y对自变量x的弹性， 记为xEy，即yxexyy因此00limlimyxxyxyyexxyxx从而yyy xyexxx yx（1.4）由于xx表示当自变量从x增加到x

17、x时，x增加的百分数；yy表示因变量y相应增加的百分数。所以从（1.4）式知道，函数弹性的实际意义就是当自变量在x的水平上增加一个百分点时，因变量y大约增加的百分点。弹性在经济分析中有重要的实际意义，第2 章有更加具体的内容进行分析。四、经济中的最值分析如何能够做到平均成本最小，利润最大是企业追求的两个主要目标，以下我们将讨论这一问题。求函数的最值问题需要用到以下关于极值和最值关系的定理。定理 1：设函数xf在区间I上连续， 在I内可导，并且在I内有唯一驻点0 x， 如果0 x是函数xf的极小（大）值点，则0 x必是xf的最小（大）值点。经济函数最值的求解步骤如下：1、根据实际问题的具体情况，

18、建立目标函数关系式；2、求目标函数的驻点；3、如果只有唯一的驻点，并且是极小（大）值点，那么该点就是所求的最小（大）值点。例 3、已知固定成本为4 万元，变动成本为3x（万元），问年产量为多少时才能使平均成本C最低？（产量单位为百吨）解：根据题意，总成本函数34xxC，于是，平均成本函数为xxxxCxC4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师精编优秀资料对平均成本函数求导得2228214xxxxxxC令0 xC，有8xx，得到唯一驻点4x，容易验证4x为极小值点。所以年产量为4 百吨时平均成本最低。例 4、 某商品

19、的需求函数为pq88000，问销售量为多少时才能使总收入R最多？解：目标函数为总收入函数，由pqR，得81000810002qqqqqR41000qqR令0qR，得到唯一驻点4000q，容易验证4000q为极大值点。所以销售量为4000 时销售收入最大。例 5、某厂每日生产x单位某商品的总成本为C元，其中固定成本为200 元，且生产 1 单位商品的变动成本均为10 元。每单位售价p元，又需求规律为px2150，问每日产量为多少时才能使总利润L最大？解：从需求规律px2150，解出275xp，从而2752752xxxxxRxxC10200于是，利润函数xCxRxL2006522xx65xxL令0 xL，得到唯一驻点65x，容易验证65x为极大值点。所以每日产量为65 单位时所获利润最大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页