2022年高三数学圆锥曲线的基本量 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆圆锥曲线的基本量问题自主学习回归教材1. ( 选修2-1P66例1改编) 已知抛物线 C 的焦点坐标为104，则抛物线 C的方程为 ( ) A. x2=y B. x2=4y C. y2=x D. y2=4x 2. ( 选修2-1P58例3改编) 一个焦点为 (0，6) 且渐近线为 y=22x的双曲线方程是 ( ) A. y2-25x=1 B. 25x-y2=1 C . 22y-24x=1 D . 24x-22y=1 3. ( 选修 2-1P40例1改编) 已知椭圆 C过点312，且两个焦点坐标分别为 (-3，0) ，(3，0)，那么椭圆C的方程为 ( ) A. 25x

2、+23y=1 B. 24x+y2=1 C. 25y+23x=1 D. 24y+x2=1 4. (选修 2-1P48习题 4改编 ) 已知椭圆 C的一个焦点为(1 ，0) ，且离心率为22，那么椭圆C的方程为. 5. ( 选修 2-1P61习题3改编) 已知双曲线 C1:22xa-22yb=1与双曲线 C2:22yb-22xa=1的离心率分别为 e1， e2， 则e1 e2的最小值为. 要点导学各个击破圆锥曲线的标准方程例1 (1) 若椭圆过点 (4，0)，离心率 e=22，则椭圆的标准方程为. (2) (2013 湛江调研改编 ) 设方程2-1xm+y2=1表示曲线 ，现给出下列说法 : “

3、m=2 ” 是“ 曲线为圆” 的充要条件 ; “ m2 ” 是“ 曲线为椭圆 ” 的充分不必要条件 ; “ 0mb0)的右顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F2，AF1F2为正三角形且周长为 6，那么椭圆 C的方程为. (2) (2013 深圳二模改编 ) 已知双曲线22xa-22yb=1的渐近线方程为 y=3x，那么以它的顶点为焦点、焦点为顶点的椭圆的离心率等于( ) A. 12 B. 22 C. 32 D. 1 (3) (2013 珠海监测改编 ) 如图， F1，F2分别是双曲线 C:22xa-22yb=1(a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线与 C的左、右两支分别交于A，B两点 .

4、 若|AB| |BF2| |AF2|=3 45，则双曲线 C的离心率为. (例2(3) 变式(2014佛山一模 ) 设F1，F2是双曲线 x2-224y=1的两个焦点， P是双曲线与椭圆249x+224y=1的一个公共点，则 PF1F2的面积等于. 与圆锥曲线相交汇的问题例3 (1) 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+2ym=1的离心率为 ( ) A. 32 B. 5 C. 32或52D. 32或5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆(2) 设椭圆22xa+22yb=1(a0，b0)

5、的离心率 e=12，右焦点 F(c，0)，方程 ax2+bx-c=0的两个根分别为x1，x2，则点 P(x1，x2) 在( ) A. 圆x2+y2=2内 B. 圆x2+y2=2上C. 圆x2+y2=2外 D. 以上三种情况都有可能(3) 过双曲线22xa-22yb=1(a0，b0)的左焦点 F(-c ，0)(c0) ，作圆x2+y2=24a的切线，切点为 E，直线FE 交双曲线右支于点 P，若OE=12(OF+OP)，则双曲线的离心率为 ( ) A. 10 B. 105 C. 102D. 2(4) 设平面区域 D是由双曲线 y2-24x=1的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形(

6、含边界与内部). 若点(x ，y) D ，则目标函数 z=x+y的最大值为. 变式设F1，F2分别是椭圆 E:x2+22yb=1(0b0，n0)的右焦点与抛物线 y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( ) A. 216x+212y=1 B. 212x+216y=1 C. 248x+264y=1 D. 264x+248y=1 4. (2014 韶关摸底 ) 若抛物线 y2=2px(p0) 的焦点与双曲线26x-23y=1的右焦点重合，则 p的值为 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学而不思则惘，

7、思而不学则殆5. (2014 湛江一模 ) 点A(0，1)到双曲线24x-y2=1的渐近线的距离为. 完善提高融会贯通典例已知动点 P(x，y) 与两个定点 M(-1，0)，N(1，0)的连线的斜率之积等于常数( 0). (1) 求动点 P的轨迹 C的方程 . (2) 试根据 的取值情况讨论轨迹 C 的形状 . (3) 当=2时，对于平面上的定点E(-3，0) ，F(3，0)，试探究轨迹 C 上是否存在一点 P，使得EPF=120 ?若存在，求出点 P的坐标 ; 若不存在，请说明理由 . 【规范解答】(1) 由题设可知 PM ，PN 的斜率存在且不为 0，所以1yx-1yx=( 0) ，即x2

8、-2y=1(y0). 3分(2) 讨论如下 : 当0时，轨迹 C 为中心在原点、焦点在 x轴上的双曲线 ( 除去顶点 ); 当-10时，轨迹 C 为中心在原点、焦点在 x轴上的椭圆 (除去长轴两个端点 ); 当=-1时，轨迹 C为以原点为圆心、 1为半径的圆 (除去点 (-1 ，0)，(1，0); 当0,b0) 的渐进线与实轴的夹角为60, 则双曲线的离心率为( ) A. 2 33B. 2 C. 23 D. 63. (2014 广东十校联考 ) 已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0), 过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N 两点,O为坐标原点 , 若OM ON,则双曲线的离心

9、率为 ( ) A. -132 B. 132C. -152 D. 1524. (2014 茂名二模 ) 已知点 A(1,0), 若曲线 G 上存在四个点 B,C,D,E. 使ABC 与ADE 都是正三角形 , 则称曲线G 为“ 双正曲线 ” . 给定下列四条曲线 : 4x+3y2=0; 4x2+4y2=1; x2+2y2=2; x2-3y2=3. 其中, “ 双正曲线 ” 的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. (2014 湛江调研 ) 过抛物线 y2=4x的焦点且与直线 2x-y+1=0平行的直线方程是. 6. (2014 深圳一模 )已知双曲线 C:22xa-22yb

10、=1与椭圆2x9+2y4=1有相同的焦点 , 且双曲线 C 的渐近线方程为y=2x, 则双曲线 C的方程为. 7. (2013 韶关模拟改编 ) 设点P是双曲线22xa-22yb=1(a0,b0) 与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点 , 其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点, 若tan PF2F1=3,则双曲线的离心率为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆8. 已知点F,A,B 分别为椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的左焦点、右顶点、上顶点, 且FBA 为钝角 , 求

11、椭圆的离心率的取值范围 . 9. 已知椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的两焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),并且经过点 P31,2. (1) 求椭圆 C的标准方程 ; (2) 已知圆 O:x2+y2=r2(br0) 经过点 (-23,3), 其中A,B是抛物线上两个动点 ,O为坐标原点 . (1) 求抛物线 T的方程 ; (2) 若OA OB,求线段 AB 的中点 P的轨迹方程 ; (3) 若AFB=90 , 线段AB 的中点为 M,点M 在直线 l 上的投影为 N,求|MN|AB|的最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

12、- - -第 7 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆答案与解析自主学习回归教材1. 【答案】 A 【解析】 由题意设抛物线 C:x2=2py(p0) ，则2p=14p=12，即x2=y. 2. 【答案】 C【解析】 由渐近线 y=22x可设双曲线的方程为 y2-22x=( 0)，即2y-22x=1，其焦点为(0，6)，得2+=6=2，即双曲线方程为22y-24x=1. 3.【答 案】B 【解析 】设椭圆C 的方程 为22xa+22yb=1 ，由题 意得2a=223(13)2+223(1- 3)2=2(43)4+2(4-3)4=4，则a=2，又c=3，所以b2=a2-c2=1，故椭圆C的

13、方程为24x+y2=1. 4. 【答案】22x+y2=1【解析】 由题意得 c=1，ca=22a=2，则b2=a2-c2=1，即椭圆 C的方程为22x+y2=1. 5. 【答案】 2【解析】 由题意得 e1e2=22aba22bab=22abab2abab=2，当且仅当 a=b时取等号 . 要点导学各个击破圆锥曲线的标准方程例1 【分析】 (1) 分椭圆的焦点在 x轴、y轴上两种情况考虑 .(2) 从方程2-1xm+y2=1表示的曲线 的类型展开讨论 : 曲线表示圆m-1=1;曲线表示椭圆0m-11;曲线表示双曲线m-12 时，m-11，曲线是椭圆，反精选学习资料 - - - - - - -

14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆之，当曲线 是椭圆时，有 m-11或0m-11 ，即1m2 ，又“ m2 ” 是“ 1m2 ” 的充分不必要条件，故正确 ; 当0m1 时，m-10， 曲线是双曲线，反之，当曲线 是双曲线时，有m-10，即m1 ， 又“ 0m1 ”是“ m1 ” 的充分不必要条件，故不正确. 【点评】 抓住椭圆中 c2=a2-b2( 双曲线中 c2=a2+b2)及离心率 e=ca，运用待定系数法研究圆锥曲线的标准方程是解决此类问题的基本方法，称为“ 基本量法 ” . 在考虑问题时需特别注意曲线的焦点在x轴上还是

15、y轴上，若能结合图形，数形结合解决问题，效果更好. 变式【答案】 B【解析】 由双曲线的焦点为 F(3，0)，得c=3，又e=32，所以 a=2，b2=c2-a2=9-4=5，故所求双曲线的方程为24x-25y=1. 圆锥曲线的几何性质例2 【分析】 (1) 从“ AF1F2为正三角形且周长为 6” 入手，可得 2c及b的值，再求 a的值.(2) 可设椭圆的方程为22xa+22yb=1，再结合题意用 a表示a 与c;(3) 设|AB|=3k ，由所给的比例关系有 ABF2=90，再运用双曲线的定义得1AF的值，再求 a与c即可. (1) 【答案】24y+23x=1【解析】 如图 (1) ，由

16、AF1F2为正三角形且周长为 6，得12F F=2，即 c=1，且OA=b=3c=3，而2a=1AF+2AF=4，所以 a=2，故椭圆的方程为24y+23x=1. ( 例2(1) (例2(2) (2) 【答案】 A【解析】 如图 (2) ，双曲线的渐近线方程为y=bax，则ba=3，即b=3a，所以c=22ab=2a，设椭圆的方程为22xa+22yb=1，则a=c=2a ，c=a ，所以椭圆的离心率 e=2aa=12. (3) 【答案】13【解析】 由题意设AB=3k，则2BF=4k，2AF=5k，所以 ABF2=90，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

17、 - - - -第 9 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆又2a=1BF-2BF=2AF-1AF，则AB+1AF-2BF=2AF-1AF，所以3k+1AF-4k=5k-1AF，解得1AF=3k，从而 2a=2AF-1AF=5k-3k=2k，所以 a=k，又2c=12F F=2212BFBF=22(6 )(4 )kk=213k，即c=13k，所以双曲线 C 的离心率 e=ca=13. 【点评】 将数形结合思想及方程与函数思想结合在一起研究问题，是解决与圆锥曲线几何性质相关问题的关键 . 紧紧抓住图形的结构 (性质) ，从中寻求几何关系与数量关系，寻找解决问题的入口与突破口，才能有效地降低

18、运算量，提高解题的效率. 变式【答案】 24【解析】 由题意可得 F1(-5 ，0) ，F2(5 ，0) ，不妨设 P在第一象限，由2222-12414924yxxy，得1+224y=49-4924y2，得y=245，所以12PF FS=1212F Fy=1210245=24. 与圆锥曲线相交汇的问题例3 【分析】 (1) 由m2=16求m ，再分类讨论求离心率 . (2) e=12a=2c，进而 b=3c，可求得 x1+x2及x1x2的值，再计算21x+22x=212()xx-2x1x2的值，与2比较大小 .(3) 由OE=12(OF+OP)知E为FP的中点，又O 是FF的中点，则有 OE1

19、2FP，从而 FP FP，|FP|=a ，|FF|=2c|FP|=22(2 ) -ac，由双曲线的定义建立关于 a，c的方程求ca.(4) 画出可行域，再由线性规划的方法求最大值. (1) 【答案】 D【解析】 由题意得 m2=16，即m= 4. 当m=4 时，x2+24y=1的离心率 e=32，当m=-4时，x2-24y=1的离心率 e=5. (2) 【答案】 A【解析】 由题意有 e=ca=12a=2c，由c2=a2-b2b=3c，从而12123-21-2bxxacx xa，所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14

20、页学而不思则惘，思而不学则殆以21x+22x=212()xx-2x1x2=23-2+212=742，故点 P在圆内 . (3) 【答案】 C 【解析】 设双曲线的右焦点为 F ，由OE=12(OF+OP) ，知E为FP 的中点，又 O 是FF的中点，所以 OE12FP，从而 FPFP，|FP|=a ，|FF|=2c|FP|=22(2 ) -ca，由双曲线的定义得|FP|-|FP|=2a，则22(2 ) -ca-a=2a，则22ca=52e=102. (4) 【答案】 3【解析】 双曲线 y2-24x=1的两条渐近线为 y=12x，抛物线 y2=-8x的准线为 x=2，平面区域D如图中阴影部分所

21、示，当直线y=-x+z 过点A(2，1)时，zmax=3. (例3(4) 【点评】 圆锥曲线问题常与数列、韦达定理、平面向量、线性规划、基本不等式等问题交汇在一起命题，解决此类问题的关键在于将圆锥曲线的基本量与这些知识方法结合在一起考虑问题，通过数形结合、分类讨论等思想解决问题. 变式【答案】C 【解析】椭圆E:x2+22yb=1(0b0) ，将(1，-2) 代入，得 2=2pp=1. 2. 【答案】 C【解析】 由题意知，圆C的圆心为 (1 ， 0) ，即 a=1，b=0，又 C到直线 3x+4y+2=0的距离d=|302|5=1=r，所以圆 C的方程为 (x-1)2+y2=1. 3.【答案

22、】 A【解析】 抛物线的焦点为 (2，0)，则22=m2-n2，又2m=12，即m=4 ，所以n2=12，故椭圆的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆为216x+212y=1. 4. 【答案】 6【解析】 因为双曲线的右焦点为 (3，0) ，所以2p=3，即p=6. 5. 【答案】2 55【解析】 双曲线24x-y2=1的渐近线方程为 y=12x，取y=12x，即 x-2y=0，点A(0，1)到直线x-2y=0的距离 d=0-25=2 55. 课后作业1. B 解析: 由题意 , 知椭

23、圆的焦点为 (-4,0),(4,0),即c=4, 又2a=10,即a=5,于是椭圆的离心率 e=ca=45. 2. B 解析: 由题意得ba=tan 60 =3, 又c2=a2+b2, 所以c2=4a2, 即e=ca=2. 3. D 解析: 不妨设点 M 在第一象限 , 在双曲线的方程中 , 令x=c, 得y=2ba, 由OM ON 知OMN 为等腰直角三角形, 则OMF 也是等腰直角三角形 , 所以2ba=c, 则c2-a2=ac,即e2-e-1=0, 解得e=152或e=1- 52(舍去). 4. B 解析: 过点A(1,0) 分别作倾斜角为 30和150的直线 , 直线方程为 3y-3x

24、+3=0和3y+3x-3=0.对于 , 易得两直线分别与曲线 4x+3y2=0和4x2+4y2=1相切, 能构成的等边三角形的个数为1; 对于 , 两条直线与双曲线 x2-3y2=3的渐近线平行 , 故只能构成 1个等边三角形 ; 对于 , 两条直线分别与椭圆 x2+2y2=2有两个交点 , 故能构成的等边三角形有 2个. 故选B. 5. y=2x-2 解析: 抛物线的焦点为 (1,0),而直线 2x-y+1=0的斜率为 2, 故所求的直线方程为 y-0=2(x-1),即y=2x-2. 6. x2-2y4=1 解析: 椭圆的焦点为 (-5,0),(5,0), 也是双曲线的焦点 , 由y=2x,

25、 得b2=4a2, 设双曲线的方程为 x2-2y4=( 0), 则2x-2y4=1,有5= 4, 解得=1,所以双曲线C的方程为 x2-2y4=1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆7. 102解析: 如图, 由x2+y2=a2+b2=c2, 知F1F2是该圆的直径 , 则21tanPF F=3=12|PF|PF|, 设|PF1|=3k,|PF2|=k,则|F1F2|=22(3k)k=10k, 又2a=|PF1|-|PF2|=3k-k=2k, 则双曲线的离心率 e=ca=102. 8.

26、 由题意, 得|AF|=a+c,|BF|=22cb=a,|AB|=22ab, 又因为 FBA 为钝角 , 所以cos FBA=222|AB|BF| -|AF|2|AB|BF|0,所以|AB|2+|BF|2|AF|2, 即a2+b2+a20,所以e2+e-10, 解得e5-12, 又0e1,故5-12e0显然成立 , 所以点 P的轨迹方程为 y=12x2+4. (3) 方法一 : 设ABF= 02, 则|AF|=|AB|sin ,|BF|=|AB|sin-2=|AB|cos , 所以|AF|+|BF|=|AB|(sin +cos ), 即|AF| |BF|AB|=sin +cos =2sin4.

27、 由抛物线的定义以及梯形的中位线定理, 得|MN|=|AF| |BF|2, 所以|MN|AB|=22sin4, 故当=4时,|MN|AB|的最大值为22. 方法二: 在ABF 中, 由勾股定理 , 得|AF|2+|BF|2=|AB|2, 即(|AF|+|BF|)2-2|AF| |BF|=|AB|2, 因为|AF| |BF| 2|AF| |BF|2, 所以(|AF|+|BF|)2-|AB|222|AF| |BF|2, 化简得|AF|+|BF| 2|AB|. 又由抛物线的定义以及梯形的中位线定理, 得|MN|=|AF| |BF|2, 所以2|MN|2|AB|, 即|MN|AB|22, 当且仅当 |AF|=|BF| 时,|MN|AB|的最大值为22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页