2022年高一数学必修四三角函数与向量结合知识点+练习题【含标准答案】 .pdf
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1、- 1 - 三角函数与向量题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同,但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定:(1)平移的方向; (2)平移的单位 .这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标. 【例 1】把函数 ysin2x 的图象按向量a (6,3)平移后,得到函数yAsin( x)(A 0, 0,| |2)的图象,则和 B 的值依次为()A12, 3 B3, 3 C3, 3 D12,3 【分析】根据向量的坐标确定平行公式为xx 6yy 3,再代入已知解析式可
2、得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程,由此确定平移后的函数解析式,经对照即可作出选择. 【解析 1】由平移向量知向量平移公式x x6y y3,即xx 6y y 3,代入 y sin2x 得 y3sin2(x 6),即到 ysin(2x3)3,由此知3,B 3,故选 C. 【解析 2】由向量a (6, 3),知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体向左平移6个单位,再向下平移3 个单位,由此可得函数的图象为ysin2(x6)3,即 ysin(2x3)3,由此知3,B 3,故选 C. 【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起,主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力,同时考
3、查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键,也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二三角函数与平面向量平行(共线 )的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线 )条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与性质进行求解.此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查. 【例 2】已知 A、B、C 为三个锐角,且ABC .若向量p (22sinA,cosAsinA) 与向量q (sinAcosA,1 sinA)是共线向量 . ()求角A;()求函数y2sin2BcosC3B2的最大值 . 精选学习
4、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页- 2 - 【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A 角的正弦值,再根据角的范围即可解决第()小题;而第 ( )小题根据第 ()小题的结果及A、B、C三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式,再根据B 的范围求最值 . 【解】()p 、q 共线, (22sinA)(1 sinA) (cosAsinA)(cosA sinA) ,则 sin2A34,又 A 为锐角,所以sinA32,则 A3. () y2sin2BcosC3B22sin2Bcos
5、( 3B) 3B22sin2Bcos(3 2B) 1cos2B12cos2B32sin2B 32sin2B12cos2B 1sin(2B6) 1. B(0,2), 2B6(6,56), 2B62,解得 B3,ymax2. 【点评】本题主要考查向量共线(平行 )的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .本题解答有两个关键:(1)利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题; (2)根据条件确定B 角的范围 .一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了. 题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不
6、多,也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例 3】已知向量a (3sin ,cos ),b (2sin,5sin 4cos ), (32,2),且a b ()求 tan 的值;()求 cos(23)的值【分析】第()小题从向量垂直条件入手,建立关于的三角方程,再利用同角三角函数的基本关系可求得tan 的值;第 ()小题根据所求得的tan 的结果,利用二倍角公式求得 tan2的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果【解】()a b ,ab 0 而a (3sin , cos ) ,b
7、(2sin , 5sin4cos ),故a b 6sin2 5sin cos 4cos2 0由于 cos0, 6tan2 5tan 40解之,得tan 43,或 tan 12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页- 3 - (32,2 ) ,tan 0,故 tan 12(舍去) tan 43() (32,2 ) ,2(34, ) 由 tan 43,求得 tan212,tan22(舍去) sin255,cos22 55,cos(23) cos2cos3sin2sin3255125532251510【点评】本题主要考查向量垂
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