2022年高一数学典型例题分析：等比数列 .pdf

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1、学习必备欢迎下载等比数列例题解析【例 1】已知 Sn是数列 an的前 n 项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列 an A是等比数列B当 p0 时是等比数列C当 p 0，p1 时是等比数列D不是等比数列分析由 Snpn(nN*) ，有 a1=S1p，并且当n 2 时，an=SnSn-1pnpn-1 (p1)pn-1故，因此数列成等比数列 a = (p1)pa p0p10(p1)p2nn 1()()ppp ppn212但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D说明数列 an成等比数列的必要条件是an 0(nN*)，还要注意对任， ，都为同一常数是其定义规定的准确含义n*n2Naann 1【

2、例 2】已知等比数列1，x1，x2， x2n， 2，求 x1x2x3 x2n解1，x1，x2， x2n，2 成等比数列，公比q 2 1q2n+1x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n= q2n(1+2n)2qnnn()212【例3】a(1)a = 4an25等比数列中，已知，求通项公12式； (2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值解 (1)a= a qq =525 212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载aa q4()()(2)aaa aaaa = 8n2n 2n2

3、n 43542345431212a42又a aa aaa a a a a = a = 322635423456452【例 4】已知 a 0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入n 个正数 x1， x2，xn，使得 a， x1，x2， xn， b 成等比数列，求证x xxabnn122证明设这 n2 个数所成数列的公比为q，则 b=aqn+1qbax xxaqaqaqaqababnnnnnn1122122【例5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(d b)2(ad)2证法 一a、b、c、 d 成等比数列abbccdb2ac，c2 bd，adbc左边 =b22bcc2c22

4、aca2d2 2bd b2=2(b2 ac)2(c2bd)(a2 2bcd2) a22add2(ad)2右边证毕证法二a、b、c、 d 成等比数列，设其公比为q，则：baq，caq2，d=aq3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载左边 (aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2a22a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右边证毕说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有b、 c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、 c的路子证法二则是把a、b、c

5、、d 统一化成等比数列的基本元素a、q 去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例 6】求数列的通项公式：(1)an中， a12，an+13an2 (2)an中， a1=2， a25，且 an+23an+1 2an0 思路：转化为等比数列解 (1)a= 3a2a1= 3(a1)n+1nn+1nan 1是等比数列an1=33n-1an=3n1 (2)a3a2a= 0aa= 2(aa )n+2n+1nn+2n+1n+1nan+1an是等比数列，即an+1an=(a2 a1)2n-1=3 2n-1再注意到a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，

6、 anan-1=32n-2，这些等式相加，即可以得到a= 31222 = 3= 3(21)n2n-2n 121211n说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现 an1是等比数列， (2)中发现 an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现【例7】aaaa(aa )a2a(aa )aaa = 0aaaa1234122242213422321234若实数、都不为零，且满足求证：、成等比数列，且公比为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载证a1、a2、a3、a4均为不为零的实数

7、为实系数一元二次方程等式说明上述方程有实数根 (aa )x2a (aa )xaa =0(aa )a2a (aa )aaa =0a122222132232122242213422324上述方程的判别式0，即2a (aa )4(aa )(aa )=4(aa a )0(aa a )02132122222322213222132又 a1、a2、a3为实数必有即(aa a )0aa a = 0a = a a2213222132213因而 a1、 a2、a3成等比数列又 a =2a42()()()aaaaaaaaa aaa1312222131213212a4即为等比数列a1、a2、a3的公比【例 8】若

8、a、b、c 成等差数列，且a1、b、c与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值解设 a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与 bd、b、bd 2 都成等比数列，有b= (bd1)(bd)b= (bd)(bd2)22 整理，得b= bdbdb= bd2b2d222222 b d=2b2d 即 b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd) 9d2=(2d1)4d 解之，得d=4 或 d=0(舍) b=12 【例 9】已知等差数列 an的公差和等比数列bn的公比都是d，又知d1，且 a4=b4， a10=b10：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

9、总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载(1)求 a1与 d 的值；(2)b16是不是 an中的项？思路：运用通项公式列方程解 (1)a = ba= b3d = a da9d = a da (1d ) =3da (1d ) =9d4410101131191319由add2 = 063舍 或ddadd1231331222()(2)b16=b1d15=32b1且a = a3d =2 2 = bb= bd =2b =2 2b = a =2413441313113b16=32b1=32a1，如果 b16是 an中的第 k 项，则32a1=a1(k1)d (k1)d=33

10、a1=33d k=34 即 b16是an中的第 34 项【例10】a b= (12)bbb=218b b b=18nnan123123设是等差数列，已知，求等差数列的通项解设等差数列 an的公差为 d，则 an=a1(n1)db= (12)b b= (12)(12)= (12)bna13aa +2d2(a +d)221111()nd1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载由，解得，解得，代入已知条件整理得b b b=18b=18b=12b b b=18b b =14bb=1781232321231313

11、bbb123218解这个方程组，得b = 2b =18b =18b= 21313，或，a1=1，d=2 或 a1=3，d=2当 a1=1，d=2 时， an=a1(n1)d=2n3 当 a1=3， d=2 时， an=a1(n1)d=52n 【例 11】三个数成等比数列，若第二个数加4 就成等差数列，再把这个等差数列的第3 项加 32 又成等比数列，求这三个数解法一按等比数列设三个数，设原数列为a， aq，aq2由已知： a，aq4，aq2成等差数列即： 2(aq4)=aaq2 a，aq4，aq232 成等比数列即： (aq 4)2=a(aq2 32) aq2 = 4a，两式联立解得：或这三数

12、为：， ，或，a = 2q = 3a=29q =5261829109509解法二按等差数列设三个数，设原数列为b d，b4，b d由已知：三个数成等比数列即： (b4)2=(bd)(bd) 8bd= 162bd，b，bd32 成等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载即 b2=(bd)(bd32) 32bd32d = 02、两式联立，解得：或三数为，或， ，b =269d =83b = 10d = 8261829109509解法三任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3由已知： a1， a2，

13、a3成等比数列得：a = a a2213a1，a24，a3成等差数列得： 2(a24)=a1a3 a1，a24，a332 成等比数列得： (a2 4)2=a1(a332) 、式联立，解得：或a =29a =109a =509a = 2a= 6a =18123123说明将三个成等差数列的数设为ad， a，ad；将三个成等比数列的数设为，或， ，是一种常用技巧，可起到aaqaq (aaq)2aq简化计算过程的作用【例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a

14、d，a， ad，则第四个数由已知条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载件可推得：()ada2方法二设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2bbq方法三设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12y，16x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一adaad设前三个数为 ， ， ，则第四个数为()ada2依题意，有 ad= 16a(ad) = 12()ada2解方程组得：或a = 4d = 4a = 9d =61122所求四个数为

15、：0，4，8，16 或 15，9，3， 1解法二设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2bbq 依题意有：2bbqbq= 16bbq = 122解方程组得：或b = 4q = 2b = 9q =131122所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3， 1解法三设四个数依次为x，y，12y，16x依题意有x(12y) = 2yy(16x) = (12y)2解方程组得：或x = 0y = 4x= 15y= 91122这四个数为0，4，8，16 或 15，9，3， 1【例 13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，8

16、4求这两个数列解设成等差数列的三个数为b d，b，bd，由已知， bdbbd=126 b=42 这三个数可写成42d，42，42d再设另三个数为a，aq，aq2由题设，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载a42d = 85ap42 = 76aq42d = 842整理，得ad = 43aq= 34aqd = 422解这个方程组，得a1=17 或 a2=68 当 a=17 时， q=2，d=26 当时，a = 68q =12d = 25从而得到： 成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数

17、为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67【例 14】已知在数列 an中， a1、a2、a3成等差数列， a2、a3、a4成等比数列， a3、 a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、 a5成等比数列证明由已知，有2a2=a1a3a = aa3224211435aaa由，得由，得代入，得a=2aaa + aa=a + a2a=a + a243535213321323535aaaa整理，得 a=a (a + a )a + a351235即a3(a3a5)=a5(a1 a3)aa a = a aa aa = aa323515353215所以

18、 a1、 a3、a5成等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载【例 15】已知 (bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y， z成等比数列(2)设正数 x，y，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证： a，b，c 成等差数列证明(1) a，b，c 成等差数列，且公差d0 b c=ab=d，ca=2d 代入已知条件，得：d(logmx2logmy logmz)=0 logmxlogmz=2logmy y2=xz x， y，z 均为正数x， y，z 成等比数列(2)x，y，z 成等比数列且公比q1 y=xq，z=xq2代入已知条件得：(bc)logmx (c a)logmxq(ab)logmxq2=0 变形、整理得：(ca2b)logmq=0 q 1 logmq 0 c a2b=0 即 2b=a c 即 a，b， c 成等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页