2022年高三复习专题三角函数的性质及三角恒等变形 .pdf

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1、高三复习专题：三角函数的性质及三角恒等变形概述：三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。【考点梳理】一、考试内容1.角的概念的推广，弧度制。2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin( x+)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。5

2、.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。二、考试要求1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、 正切公式， 掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式。4.能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y= Asin( x+)的简图，理解A、的物

3、理意义。6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin,arccos ,arctanxxx表示。7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。（20XX 年考纲删减知识点：“能利用计算器解决三角形的计算问题”）三、知识网络：【命题研究】分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25 分，约占 17%，浙江精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页省 20XX 年高考试题这部分内容有17 分，占总分11.3%。试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和

4、周期， 题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题， 除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。数学试题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新能力的考查。如：福建卷的第17 题设函数,a bf x2cos ,1 ,ax其中向量cos ,3sin 2bxx,.xR113,33xx若f x且求；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量,2m nmc平移后得到函数y=fx的图象，求实数m 、n的值。此题“重视知识

5、拓宽，开辟新领域”，将三角与向量知识交汇。高考试题联系现行新教材，如全国（2）卷中的第17 题：已知锐角三角形ABC中，,51sin,53sinBABA（1）求证：BAtan2tan； （2）设3AB，求AB边上的高，就与下列课本习题相接近，课本第一册（下）第四章三角函数的小节与复习例2：已知51sin,32sin，求tantan的值。【复习策略】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出 “ 和、差、倍角公式” 的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知

6、识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是 “ 结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质” 的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由于三角解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之， 三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。

7、解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角： =（ + ） ，=22等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页（3）

8、降次，即二倍角公式降次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin+bcos=22basin(+)，这里辅助角所在象限由a、b 的符号确定，角的值由tan=ab确定。第一课时【典型例题分析与解答】例 1、化简 sinsincoscoscoscos22221222分析： 对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少。观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能） ；（2）涉及的角有 、 、2 、2， （需要把2化为 ，2化为 ） ；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方

9、关系进行名称的统一）；（4）共有 3 项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同， 本题化简方法不止一种。解法一：（复角单角，从“角”入手）原式sinsincoscos( cos)(cos)2222221221 21si ns i ncoscos( coscoscoscos)22222222124221si ns i ncoscoscoscos22222212si ns i ncossincos2222212sincos21211212解法二：（从“名”入手，异名化同名）原式sinsin(sin) coscoscos222211222cossin(cossin)coscos22221222c

10、ossincoscoscos2221222coscos(sincos)2221221222121222coscossin(sin)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页12212212coscos解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式1221221221221222coscoscoscoscoscos14122221412222(coscoscoscos)(coscoscoscos)2c o s2c o s21141412解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式(sinsincoscos )si

11、nsincoscoscoscos2212222c o s2co s212s i n2si n21)(co s2c o s()c o s ()212221)(co s221)(c os2212注在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。例 2、已知函数( )sincos ()fxabxcx xR的图像过点(0 1)(1)2AB，且 b0，又( )f x的最大值为2 21，(1)求函数( )f x的解析式； (2)由函数 y=( )f x图像经过平移是否能得到一个奇函数y=( )g x的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。解

12、： (1)22( )sincossin()(tan)cf xabxcxabcxb， 由 题 意 ， 可 得22112 21acababc，解得122abc，所以( )12sin2cosf xxx；(2) ( )12sin2cos2 2 sin()14f xxxx， 将( )fx的图像向上平移1 个单位得到函数22 sin()4yx的图像，再向右平移4单位得到2 2 sinyx的图像，故将( )f x的图像先向上平移1 个单位，再向右平移4单位就可以得到奇函数y=( )g x的图像。注 本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。例 3、为使方程0sincos

13、2axx在2,0内有解，则a的取值范围是（）AaBa.1111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页t12f(t) O 1 t CaD a.1054分析一： 由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t ，则原方程化 为0=1-a-t+t2， 且10t， 于 是 问 题 转 化 为 ： 若 关 于t的 一 元 二 次 方 程012att在区间10，上有解，求a的取值范围，解法如下：设由已知条件f ttta( )21有ffaaa( )( )0010101011aaB的取值范围为，故选（）11分析二：20

14、sincos0sincos22，得由方程xxxaaxx于是问题转化为：求函数在，上的值域，axxcossin202解法如下：axxxxxcossinsinsin(sin)22211254x02，sinx01，从而当时， 无限逼近；sinxa01当时， 取最大值sinxa11aaB的取值范围为，故选（）11注换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。第二课时【典型例题分析与解答】例 1、已知向量2 5(cossin)(cossin) |5abab，=，(1)求cos() 的值； (2)若500sinsin2213，且，求的值。解： (1)因为(cossin )(cossin )ab，

15、 =，所以(coscossinsin )ab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页又因为2 5|5ab，所以222 5(coscos)(sinsin)5，即4322cos()cos()55 ，；(2) 00 022 ，又因为3cos()5 ，所以4sin()5 ，5sin13，所以12cos13，所以63sinsin()65 点评本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一例 2、已知向量1 ,1m，向量n与向量m的夹角为43，

16、且1nm，（1）求向量n；（2） 若向量n与向量0, 1q的夹角为2， 向量2cos2,cos2CAp， 其中CBA、为ABC的内角，且CBA、依次成等差数列，求pn的取值范围。分析： 本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新， 也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（ 2）就化归为三角形中的三角函数问题了。解： （1）设yxn,，由1nm，有1yx向量n与向量m的夹角为43，有143cosnmnm，1n，则122yx由、解得：1001yxy

17、x或1,00,1nn或（2）由n与q垂直知1,0n，由,320,32,3,2ACABCAB知若1,0n，则CACApncos,cos12cos2,cos2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页22cos122cos1coscos222CACApn32cos211234cos2cos211AAA，35323,320AA，2132cos1A25,22,45,21,4532cos211212pnpnA即例 3如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC 外的地方种草，ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池，

18、其余的地方种花.若 BC=a， ABC=，设 ABC 的面积为S1，正方形的面积为S2（）用a，表示 S1和 S2；（）当 a 固定，变化时，求21SS取最小值时的角解： （1）22111sin,cossincossin224ACaABaSaa设正方形边长为x，则cot,tancottanBQxRCxxxxa2sincossin 2cottan11sincos2sin 2aaax22222sin2sin 22sin24sin 24sin 2aaS（2）当a固定，变化时，1214sin244 sin2SS令1211sin2,44SttSt则10,01.2tfttt令，用导数知识可以证明：函数1f

19、ttt在0,1是减函数，于是当1t时，12SS取最小值，此时4。注三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数tttf1。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页