2022年高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理 .pdf

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1、第 1 页 共 23 页三角函数恒等变换知识归纳与整理一、基本公式1、必须掌握的基本公式（1） 两角和与差的三角函数SSCCC)(同名乘积的和与差SCCSS)(异名乘积的和与差TTTTT1)(（2） 二倍角的三角函数CSS22SCSCC222222112差点等于 1 TTT2212（3） 半角的三角函数212CS212CCCCT112sincos1cos1sin2T2、理解记忆的其他公式（1） 积化和差21)()(CCCCSS21)()-(CC21)()(SSCS21)()(SSSC同名相乘用余弦；异名相乘用正弦。留首项，用加法；剩尾项，用减法。精选学习资料 - - - - - - - - -

2、 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页第 2 页 共 23 页（2） 和差化积 222CSSS 222CSSS 222CCCC 222SSCC（3） 万能公式全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式TTS22212TTC222211TTT22212（4） 辅助角公式)sin(cossin22xxbxaba其中：abtan常见的几种特殊辅助角公式：)4sin(2cossinxxx)3sin(2cos3sinxxx)6sin(2cossin3xxx)4sin(2cossinxxx)3sin(2cos3sinxxx)6sin(2cossin3xxx正弦加减得异名；余弦加

3、减得同名。加法得 2 倍首项；减法得 2 倍尾项。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页第 3 页 共 23 页二、理解证明1、两个基本公式的证明SSCCC)(的证明方法：在单位圆内利用两点间的距离公式证明。计算繁杂。在化简中注意使用“1cossin22”SSCCC)(的证明方法：在单位圆内利用向量的数量积证明。计算简便。运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。或者：在单位圆内利用三角函数线证明。构图较难。 利用三角函数线的加减、平移来代换。2、由两角和向差的演变方法：用代替，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。3

4、、由余弦向正弦的演变方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：)sin()2(cos，展开即可推导出正弦的两角的和公式。4、由正弦和余弦推导正切方法：利用：)tan()cos()sin(可以推导出正切的两角和与差有的公式。5、由两角和推导二倍角方法：把换成代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式。6、由余弦的二倍角推导半角方法：由余弦的二倍角公式：SCSCC222222112，把2换成，即换成2，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。另外：关于正切的另一个半角公式：sincos1cos1sin2T可以通过：2cos2sin2tan来理解。特别体会

5、其演变过程中的转化思想：分子、分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页第 4 页 共 23 页7、由两角的和与差推导积化和差方法：整体思考法：两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。相加会抵消尾项，相减会抵消首项。这与完全平方的和与差的加减类似。)()(22baba会抵消中间项，剩下首尾项的 2 倍；而)()(22baba会抵消首尾项，剩下中间项的2 倍。8、由两角的和与差推导和差化积方法：对于两角和差的和与差来说，化成积并不难。利用展开相抵原则即可得到。关键是角度

6、的转换问题。只有一个角无法展开。因此引入了一个合新的角度变换方法： 把单角：和转换成两角的和与差：22，22。于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。9、万能公式的理解方法：利用二倍角公式转换：2cos2sin2sin，然后把分母“ 1”巧妙利用。12cos2sin2sin，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。值得高度关注。222cos2sin212cos2sin2sincossin22，然后上下再同时除以2cos2即得。同样利用二倍角公式转化余弦：22cossincos22=122sincos22再巧妙利用“ 1”的转化：2222cossinsincos2222，上下同时除以2c

7、os2即得。对于正切的万能公式，直接利用二倍角公式即得。10、辅助角公式的理解方法：辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。只是通过一些转换化成：sincoscossin的形式而已。对于xbxacossin来说：要通过换元法来转换，这种换元法叫三角换元法 以前的换元法叫代数换元法 。三角换元法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来，从而得到简化式子的作用。分析思考过程如下： 假设直接换元： 令 cosa， 则怎样用三角函数式表示b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页第 5 页 共 23 页呢？无

8、法完成换元过程，因此：xbxacossin化不成sincoscossin的形式。假设提公因式呢！假设公因式为ab，则得：)cos1sin1(cossinxaxbabxbxa，此时令b1cos，也无法用三角函数表示出a1，因而化不成：sincoscossin的形式。所以公因式必然与a 、b同时有联系。考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数 a、b放到直角三角形中来思考：假设a、b分别是直角三角形的两直角边，得斜边为：ba22。这个常数ba22显然与 a、b都有关系。假设公因式是ba22，则xbxacossin化为：)cossin(cossin222222xbxaxbxabababa此时令cos

9、22baa此时在直角三角形中， a为邻边，ba22为斜边所以：sin22bab此时在直角三角形中，b为对边，ba22为斜边于是xbxacossin化为：)cossinsin(coscossin22xxxbxaba根据两角和的正弦公式得：)cossinsin(coscossin22xxxbxaba=)sin(22xba在直角三角形中：abtan对边：邻边当然：假设令sin22baa，则cos22bab则于是xbxacossin化为：)coscossin(sincossin22xxxbxaba=)(cos22xba所以：xbxacossin=)(cos22xba=)(cos22xba此时：bata

10、n对边：邻边在此推导过程中，千万注意：两种演变中的是不同的实质上这两个角互余 。不然就会产生以下错觉：)cos()sin(xx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页第 6 页 共 23 页如果注意到两个角互余，那么就会得到：)2(cos)sin(xx下面来分析这个结论：)2(cos)sin(xx右边 )(2cos)(2cos2)cos()2(cosxxxx由诱导公式得：)sin( )(2cosxx左边所以结论成立。三、实际运用1、给角求值：告诉已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。1求15sin、cos15的值方法

11、 1：直接用半角公式可求得：15sin=2232423243222312cos301=426221322) 13(2cos15=2232423243222312cos301=426221322) 13(2方法 2：由两角的差求得：30sin45coscos30sin45)30sin(4515sin=426424621222322同理可得：30sin45sin30cos45cos)30(45cos15cos=426424621222322方法 3：用 60与 45的差角求得45sin60coscos45sin60)45sin(6015sin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

12、纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页第 7 页 共 23 页=426424622212223同理可得：45sin60sin54cos06cos)45(60cos15cos=426464222232221方法 4：利用直角三角形作图计算如图：直角三角形ABC 中， A=30， C=90。延长 CA 到 D，使 AD=AB 。则易知：D=15设 BC=1，则 AB=2，AC=3 ；CD=2+3）（3242134811115sin)32(222CDBCBCDBBC=426261)13(21211)3(2同理可求得 cos15）（3242323483213215cos)32(22

13、2CDBCCDDBCD=4264)32()26(2632方法 5：利用诱导公式和倍角公式求解：利用诱导公式我们知道：150cos的值，然后利用倍角公式可求得75cos的值，再利用诱导公式就可以求出sin15的值。150cos=23，15D 30C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页第 8 页 共 23 页75cos=2150cos1=4268324223142615sin同理可得：150sin=21，75sin=2150cos1=4268324223142615cos2求15sin+cos15的值方法 1：

14、分别求出15sin的值：426和cos15的值：426二者相加得：15sin+cos15426+426=26462方法 2：直接利用辅助角公式计算：15sin+26232sin602)4515sin(2cos15方法 3：巧妙利用公式：1cossin22和倍角公式15sin+cos15=cos15sin1521)cos15(sin15230sin1=264623211方法 4：运用向量计算：将15sin+cos15写成：115sin+1cos15这 样 可 以 看 成 两 个 向 量 的 数 量 积 。 如 图 ： 在 单 位 圆 内 ， 设 向 量)15sin15(cos，OA，向量)11(

15、 ，OB。则向量OA和OB之间的夹角为4515=302|,1|OBOA。由向量数量积公式得：?30cos|OBOAOBOA115sin+1cos15精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页第 9 页 共 23 页15sin+cos15=26232130cos|OBOA3求15tan115tan1的值分析：方法 1：直接求tan15的值有些困难。当然用半角可求；可考虑能否巧妙转化。考虑到常数“1”的转化。tan45=1，原式可化为：360tan)1545tan(15tantan45115tan45tan方法 2：代入cos

16、15sin15tan15得：原式 =15cos15sin15cos15cos15sin15cos15cos15sin1cos1515sin1= 32123212321121130sin130sin115sin15cos21sin15cos152115sin15cos15sin15cos)15sin15(cos)15sin15(cos22方法 3：直接代入：262642642615cos15sin15tan得：32262262626262626262612626115tan115tan1方法 4：代入262642642615cos15sin15tan并化简得：3215tanA B O 精选学习资

17、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页第 10 页 共 23 页原式=32)13)(33(133332132115tan115tan14求75sin30sin15sin的值分析：方法 1：sin30是特殊角，关键是求sin15sin75的值。假设用积化和差来计算，则有些复杂。可考虑把sin75转化为 cos15，然后利用倍角公式求得：75sin30sin15sin= 8130sin212115cos15sin21sin7515sin21）（方法 2：直接用积化和差计算：75sin15sin原式=)1575cos()1575cos

18、(212175sin15sin21=81)21(41)60cos90(cos415求40cos10sin4010cossin22的值分析：方法1：利用余弦的倍角公式化简：2cos20110sin2，2cos80140cos2，则原式 =2cos2012cos801+40cos10sin40cos10sin)20cos80(cos21140cos10sin220cos280cos1再利用知差化积与积化和差的公式得：4341130sin2150sin2150sin211)1040sin()1040sin(21)30sin50sin2(21140cos10sin)20cos80(cos211方法 2

19、：利用规律：4322cossin22cossin22来分析。6求10cos2310sin21的值分析：方法 1：把常数换为特殊的三角函数，则原式=220sin21)1030sin(10cos10sin30cos10sin10cos30sin10cos30cos10sin30sin2、给值求值（1） 在ABC 中，已知1715cos A，419cosB，求Ccos的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页第 11 页 共 23 页分析：在三角形 ABC 中， C=180)(BABABABABACsin)sin()co

20、scos()cos( )(coscos=697135sinsin4191715sinsincoscossinsinBABABABA17811sin)1715(cos22AA414011sin)419(cos22BB6971354140178697135sinsincosBAC=697185（2） 已知32cossin，求sin2的值分 析 ： 用 完 全 平 方 公 式 和 平 方 关 系 、 及 倍 角 公 式 求 值 ：94)cos(sin294cossin2cossin22即：95194cossin2由倍角公式得：95sin2（3） 已知532cos，求cossin44的值分析：由倍角公

21、式求值：)(cossincossincossin222244=)(sincos22=53（4） 已知53)4cos(x，471217x，求xxxtan122sinsin2的值分析：对于求值的代数式， 要利用化弦的思想， 把正切化成正弦与余弦的比值，再利用和角公式展开得：4sinsincos4cos)4cos(xxx即：53sincos22）（xx523sincosxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页第 12 页 共 23 页所以2518)sin(cos2xx即：2518cossin2sincos22xxxx25

22、725181cossin2xx)cos(sincossin22225322571cossin2xxxxxx而)4sin(2sincosxxx471217x，5242532sincosxxxxxtan122sinsin2=xxxxxxxxxxxsincoscos)2cossin2(cossin12cossin2sinsin22=7528523)524(257sincos)cos(sincossin2xxxxxx3、给值求角（1） 已知 ABC 中，2tanA，3tanB，求角C分析：132132tantan1tantan)tan(BABABAAB)(0,AB=434C4、证明（1） 已知A、B、

23、C是三角形 ABC 的三个内角。求证：2cos2sinCBA2sin2cosCBA分析：使用诱导公式证明：证明：CBA22CBA2cos)22sin(2sin2sinCCCBA即：2cos2sinCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页第 13 页 共 23 页同理：2sin)22(cos2cos2cosCCCBA即：2sin2cosCBA（2） 已知4cos3yx，2sin4yx。求证：22121yx分析：先利用二元一次方程的思想分别求出x和y的式子，再利用倍角公式分析：证明：22sin44cos3x，22si

24、n44cos3y由倍角公式得：221cos4sin2) 12(sinsinsin22212sin2222sin4)221(3x) 12(sinsinsin22212sin2222sin4)221(3y2sin1) 12(sin221x2sin1) 12(sin221ysin21故：22sin12sin12121yx即：22121yx（3） 已知4，求证：2)tan)(1tan(1分析：同时展开)tan(和)tan1)(tan1(然后比照思考：证明：1tantan1tantan4tan)tan(tantan1tantan)tan)(1tan(1tantantantan1=2tantantanta

25、n112)tan)(1tan(1（4） 在直角三角形 ABC 中， C 为直角， a、b、c分别是 A、B、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页第 14 页 共 23 页C 的对边。求证：cbcA22sin分析：显然两边要平方cbcA22sin2，平方后再利用倍角公式转换2cbcA2sin2。AAcos122sin2，而cbcbc1。只需要证明：coscbA即可。证明：在 RtABC 中，cbAcos由倍角公式得：221cossin2AAcbAA1cos122sin2=cbc即：cbcA22sin2),0(Acbc

26、A22sin（5） 已知 A、 B、C 是非直角三角形的三个内角。求证：CBACBAtantantantantantan分析：用化切为弦的思想分析：证明：CCBBAACBAcossincossincossintantantan=CCBABACCBAABBAcossincoscos)sin(cossincoscossincoscossin而：CCBAsinsin)sin(CBABACCCCBACCBAcoscoscos)coscos(cossincossincoscossintantantan而：)cos()(coscosBABACBABABACcoscos)cos(coscoscos=BABA

27、BABABABAcoscossinsincoscoscoscossinsin)coscos(=BAsinsin即：CBACBACBACBAtantantancoscoscossinsinsintantantanCBACBAtantantantantantan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页第 15 页 共 23 页（6） 已知 A、 B、C 是三角形的三个内角。求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA分析：使用诱导公式、积化和差与和差化积公式证明：证明：)sin()(sinsinCBCBA

28、)22cos()22cos(212cos2cosBABABA=)2cos2(cos21BABA而：2sin22cos2)(cos2cosBABABAC）（2sin)2cos2(cos2142cos2cos2cos4BABABACBA=BABABABABABABABABABABAsinsin)sin()22sin()22sin(21 2)sin(2cos2sin22cos2sin2而：CCBAsin)sin()sin(sin2cos2cos2cos4sinsinCBACBA（7） 已知)2sin(sin3，求证：2tan)tan(分析：对欲证的式了转化为弦来分析：cossin2)cos()sin

29、(再展开得：)cos(2sin)cossin(证明：对已知条件作如下变形：)sin()(sin3即：sin)cos(cos)sin(sin)cos(3)cos(sin3移项得：sin)cos(4)cos(sin2即：sin)cos(2)cos(sin两边同时除以：)coscos(得：cossin2)cos()sin(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页第 16 页 共 23 页2tan)tan(（8） 已知)2sin(sinm，且1m，2k，)(2zkk，求证：tan11)tan(mm证明：由)2sin(sinm得

30、：)sin()sin(m展开得：sin)cos(cos)sin(sin)cos(cos)sin(mm移项得：sin)cos()1(cos)sin(1(mm即：cossin11)cos()sin(mmtan11)tan(mm5、化简（1） 化简：cossin12sincossin1分析：巧妙利用常数“ 1”及倍角公式凑成完全平方式来化简：cossin12sincossin1=cossin1cossincossin2cossin22=cossin1)cossin1)(cos(sincossin1)cossin()cos(sin2=)4sin(2cossin（2） 化简：)10tan31(50sin

31、分析：方法 1：首先考虑“化弦”：即把正切化成正弦与余弦的比值，再通分，最后利用倍角公式及和差公式化简。10cos)10sin310(cos50sin)cos10sin103(150sin)10tan31(50sin=10cos)10sin2310cos21(50sin2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页第 17 页 共 23 页=10cos100sin10cos50cos50sin210cos)10sin60sin10cos60(cos50sin2=110cos10cos10cos)1090sin(此题解法巧妙

32、：先化切为弦，然后通分。最后向倍角公式靠拢，利用和角公式转化。方法 2：把常数转化为三角函数，观察括号内的形式，利用正切的和角公式化简：)10tan31(50sin= )10tan60(tan10tan60tan110tan60tan50sin)10tan60tan1(50sin= )10tan(tan60tan5050sin)10tan60(tan)10tan(6050sin=cos10cos6010sin60cos10cos60sincos50)10cos10sin60cos60sin(cos50=110cos10cos10cos)1090sin(10cos100sincos1050sin

33、2cos50（3） 化简：1tan)tan(tan)tan(分析：用正切的两角和公式化简：tan)tan(tan)tan(1tan)tan(1tan)tan(tan)tan(（4） 化简：2836tan45tan54tan62sinsin22分析：利用平方关系和倒数关系求解：62sin228cos2tan54=tan361原式 =2112836tan45tan36tan128sincos22（5） 化简：)tan(tantantan)tan(分析：方法 1：将tantan1tantan)tan(变形为：)tantan1)(tan(tantan代入原式得：)tan(tan)tantan1)(ta

34、n)tan(， 同 时 约 去)tan(得 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页第 18 页 共 23 页tantantantantan)tantan1(1方法 2：同时除以 tan()得：tan)tan(tantan1=tantantan1tantantantan1=tan)tantan1 (1tantantantan（6） 化简：2cos2sin12cos2sin1分析：利用倍角公式化简得：122sin1)21(2sin12cos2sin12cos2sin1cossin22=tan)sin(coscos2)s

35、in(cossin22cossin22cossin222sin2sin2cossincossin2222（7） 化简：tan11tan11分析：通分后，利用倍角公式化简：tan11tan11=tan21)tan1(tan1=tan21tan2tan26、证明不等式（1） 假设)4(0，求证：8)sin(coscossin2目前还无思路：7、推导新公式1请推导出三倍角公式：3sin和cos3思路：sincos2cossin2)sin(23sin=sin)21(2sinsincos22=sinsin322sin)1(2sin=sinsin332sin22sin=sin343sinsin2sinco

36、s2cos)cos(23cos=sincossin2cos)1(2cos2=cos2cos2sincos23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页第 19 页 共 23 页=cos2(1cos2coscos23）=coscos232cos2cos2=cos34cos38、与方程的综合（1） 设tan和tan是方程0762xx的两个根。 求)tan(的值 求证：)cos()sin(分析：由韦达定理可得：6tantan，7tantan代入正切的两角和公式得：1716tantan1tantan)tan(1)tan(1)co

37、s()(sin即：)cos()sin(9、与函数的综合（1） 求函数xxy3cos3sin的值域分析：利用倍角公式得：xxxysin6213cos3sinx6sin的值域为 1 , 1函数xxy3cos3sin的值域为21,21（2） 已知函数xxxxxfcossin223cossin2)(，Rx。问： 函数)(xf的最小正周期是什么？ 函数在什么区间上是增函数？ 函数的图象可以由函数xxg2sin2)(，Rx的图象经过怎样的变换得到？分析：xxxxxfcossin223cossin2)(可化为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19

38、 页，共 23 页第 20 页 共 23 页xxxxxxxxf2sin12cos1cossin22)(coscossin222=2)42sin(22cos22sinxxx2)42sin(2)(xxf它的最小正周期：22T函数的单调递增区间为：)(224222Zkkxk即：当8,83kkx，函数是增函数；函数)(xf可以看作是函数xxg2sin2)(向左平移4个单位，再向上平移 2 个单位得到的图象。10、与几何图形的综合（1） 如图，三个相同的正方形相接拼成一个长方形。求证：4。分析：实质就是求证： tan1)(证明：观图可得：31tan21tan tan16565213112131)(又），

39、（04说明：如果用初中的知识来分析：则可通过相似三角形来证明。即ABDCAD， 三边对应成比例 2如图：在三角形ABC 中，ADBC，垂足为 D，且 BD：DC：AD=2：3：6。求 BAC 的度数D B A C A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页第 21 页 共 23 页分析：此题也是利用角度的和来分析，观图可知：3162tanBAD2163tanCADtan16565213112131)(CADBAD又），（0BAC4BAC说明：假设用初中知识来解答，则过C 作 CEAB，利用相似列出比例来解

40、答。计算十分繁杂！3如图正方形的边长为1，点 P、Q 在边 BC、CD 上。当三角形 PQC 的周长为 2 时，求 PAQ的大小。分析：可计算)tan(PABQAD来分析。设 QD= x，PB=y；则 CQ=1 x ，CP=1y。CQ+CP+PQ=2 PQ=yx由勾股定理得：)1 ()1()(222yxyx整理得：yxxy1由图可得：xxQAD1tan，yyPAB1tanA B C D P Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页第 22 页 共 23 页)tan(PABQAD=1)1(11tantan1tanta

41、nyxyxyxyxxyyxPABQADPABQAD又),0(PABQAD，4PABQAD故PAQ=4说明：假设用初中几何知识来解答，由旋转QAD，使 AD 和 AB 边重合。证明两个三角形全等。也很简单。11、生活中的实际运用（1） 要将半径为R的半圆形木料截成矩形截面的木料， 怎样截取才能使矩形截面面积最大。分析：显然矩形面积 =sincos2RR可化简为：2sinsincos22RRR2sin的最大值为 1，当4时，矩形面积最大，最大值为R2。（2） 如图，一个圆心为3的扇形的半径为3，在此扇形上截取一个平行四边形 PDCE 点 P在圆弧上了，点 D 在线段 OB 上，点 C、 E 在线段

42、 OA 上 。假设 POA=，请写出平行四边形PCDE 的面积S与的函数关系式，并求出当为何值时，S有最大值，最大值为多少？分析：过 P 点作 PHAO，过 D 作 DNAO，显然 PH=sin3sinPON H RP D C E O A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页第 23 页 共 23 页OH=cos3cosPO，ON=sin33)sin3(336tanPHDNsincos3ONOHHNPD平行四边形的面积)sin3)(sincos3(PHPDS即：sin23sincos3S(03) 再分析：sin23sincos3S的最大值：23)62sin(323)62sin()(323)2cos212sin23(3)22cos12sin23(3cossin333sincos3)21()23(sinsin2222）（23)62sin(3S此时当6时，S有最大值，最大值为：23maxS。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页