2022年常微分方程 .pdf

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1、第二章、一阶微分方程的初等解法教学目标 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。教学重难点 重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。教学方法 讲授，实践。教学时间 14 学时教学内容 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。考核目

2、标 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。2.会建立一阶微分方程并能求解。1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程形如( ) ( )dyf x g ydx(或1122( )( )( )( )0Mx Ny dxMx Ny dy) （2.1）的方程，称为 变量分离方程，其中函数( )f x和( )g y分别是, x y的连续函数 . 2) 求解方法如果( )0g y，方程 (2.1)可化为，( )( )dyfx dxg y这样变量就分离开了,两边积分 ,得到( )( )dyf x dxcg y（2.2

3、）把,( )( )dyf x dxg y分别理解为1,( )( )f xy的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数( , )yx c满足方程（ 2.1）. 因而（ 2.2）是（ 2.1）的通解 . 如果存在0y使0()0g y，可知0yy也是（ 2.1）的解 . 可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上 . 3) 例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页例 1 求解方程dyxdxy解将变量分离，得到ydyxdx两边积分，即得22222yxc因而，通解为22xyc这里的c是任意的正常数. 或解出显

4、式形式2ycx例 2 解方程2cosdyyxdx并求满足初始条件：当0 x时.1y的特解 . 解将变量分离，得到2cosdyxdxy两边积分，即得1sin xcy因而，通解为1sinyxc这里的c是任意的常数.此外，方程还有解0y.为确定所求的特解，以0 x.1y代入通解中确定常数c，得到1c因而，所求的特解为11sinyx例 3 求方程( )dyP x ydx（2.3）的通解，其中( )P x是x的连续函数 . 解将变量分离，得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页( )dyP x dxy两边积分，即得ln( )y

5、P x dxc%这里的c%是任意常数 .由对数的定义，即有( )P x dx cye%即( )P x dxcye e%g令cec%，得到( )P x dxyce（2.4）此外，0y也是（ 2.3）的解 .如果在（ 2.4）中允许0c，则0y也就包括在（ 2.4）中，因而，（2.3）的通解为（ 2.4） ，其中c是任意常数 . 注: 1.常数c的选取保证 (2.2)式有意义 . 2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解 . 此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3. 微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条

6、件00()y xy的一个解，表示的是一条过点00(,)xy的曲线 . 2、可化为变量分离方程的类型1）.形如dyygdxx（2.5）的方程，称为齐次方程，这里的( )g u是u的连续函数 .另外 , ) 对于方程( ,)( , )dyMx ydxN x y其中函数( , )M x y和( ,)N x y都是x和y的m次齐次函数，即对0t有(,)( ,)mM tx tyt Mx y(,)( , )mN tx tyt N x y事实上，取1tx，则方程可改写成形如(2.5)的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页

7、(1, )(1, )(1, )(1, )mmyyx MMdyxxyydxx NNxx) 对方程( , )dyf x ydx其中右端函数( , )f x y是x和y的零次齐次函数，即对0t有(,)( ,)f tx tyf x y则方程也可改写成形如(2.5)的方程(1,)dyyfdxx对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解. 令yux（2.6）即yux，于是dyduxudxdx（2.7）将（ 2.6） 、 （ 2.7）代入（ 2.5） ，则原方程变为( )duxug udx整理后，得到( )dug uudxx（2.8）方程（ 2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然

8、后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（ 2.5）的解 .例 4 求解方程dyyytgdxxx解这是齐次方程，以,ydyduuxuxdxdx代入，则原方程变为duxuutgudx即dutgudxx（2.9）分离变量，即有dxctgudux两边积分，得到ln sinlnuxc%这里的c%是任意的常数，整理后，得到sinucx（2.10）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页此外，方程（2.9） 还有解0tgu,即sin0u.如果（2.10） 中允许0c， 则sin0u就包含在 （2.10）中，这就是说，方程（2.9）

9、的通解为（2.10）. 代回原来的变量，得到原方程的通解为sinycxx例 5 求解方程2(0).dyxxyyxdx解 将方程改写为2(0)dyyyxdxxx这是齐次方程，以,ydyduuxuxdxdx代入，则原方程变为2duxudx（2.11）分离变量，得到2dudxxu两边积分，得到（2.11）的通解ln()uxc即2ln()(ln()0)uxcxc(2.12) 这里的c是任意常数 .此外， （2.11）还有解0u注意，此解不包括在通解（2.12）中 . 代回原来的变量，即得原方程的通解2ln()(ln()0)yxxcxc及解0y. 原方程的通解还可表为2ln() ,ln()0,0,xxc

10、xcy它定义于整个负半轴上. 注： 1. 对于齐次方程dyygdxx的求解方法关键的一步是令yux后，解出yux，再对两边求关于x的导数得dyduuxdxdx，再将其代入齐次方程使方程变为关于, u x的可分离方程. 2. 齐次方程也可以通过变换xvy而化为变量分离方程.这时xvy，再对两边求关于y的导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页数得dxdvvydydy，将其代入齐次方程dxxfdyy使方程变为, v y的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dyygdxx形状的解法 .而

11、这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法. 2）形如111222a xb ycdydxa xb yc（2.13）的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,a ab b c c均为常数 . 分三种情况来讨论（1）120cc情形 . 这时方程（ 2.13）属齐次方程，有1122a xb ydyygdxa xb yx此时，令yux，即可化为变量可分离方程. （2）11220abab，即1122abab的情形 . 设1122abkab，则方程可写成22122222()()()k a xb ycdyf a xb ydxa xb yc令22a xb y

12、u，则方程化为22( )duab f udx这是一变量分离方程. （3）1112220,abc cab及不全为零的情形. 这时方程（ 2.13）右端的分子、分母都是, x y的一次式，因此11122200a xb yca xb yc（2.14）代表xy平面上两条相交的直线，设交点为( ,).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页显然，0或0，否则必有120cc，这正是情形（ 1） （只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至( ,)就行了，若令XxYy（2.15）则（ 2.14）化为112200a XbYa Xb y从

13、而（ 2.13）变为1122a XbYdYYgdXa Xb YX（2.16）因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14） ，设其解为,xy；(2)作变换（ 2.15）将方程化为齐次方程（2.16） ；(3)再经变换YuX将（ 2.16）化为变量分离方程；(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解 . 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型111222a xb ycdyfdxa xb yc此外，诸如()dyf axbycdx()()0y xy dxxg xy dy2()dyxf xydx2dyyxfdxx以及( , )(

14、)( , )()0Mx yxdxydyN x yxdyydx（其中,M N为, x y的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程 . 例6求解方程13dyxydxxy（2.17）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页解解方程组1030 xyxy得1,2.xy令12xXyY代入方程（ 2.17） ，则有dYXYdXXY（2.18）再令YuX即YuX则（ 2.18）化为2112dXuduXuu两边积分，得22lnln21Xuuc%因此22(21)cXuue%记1,cec%并代回原变量

15、，就得2212YXYXc221(2)2(1)(2)(1)yxyxc此外，易验证2210uu即2220YXYX也就是（ 2.18）的解 .因此方程（ 2.17）的通解为22262yxyxyxc其中c为任意的常数. 3、 应用举例例 7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的RC电路，开始时电容C上没有电荷，电容两端的电压为零 .把开关K合上“ 1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端的电压Cu逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K合上“ 2” ，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C两端的电压Cu随时间t的变化规律 . 解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理

16、，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页cuRIE（2.19）对于电容C充电时，电容上的电量Q逐渐增多，根据CQCu，得到()CCdudQdICuCdtdtdt（2.20）将（ 2.20）代入（ 2.19） ，得到cu满足的微分方程ccduRCuEdt（2.21）这里R、C、E都是常数 .方程（ 2.21）属于变量分离方程.将（ 2.21）分离变量，得到CCdudtuERC两边积分，得到11lnCuEtcRC即1112ttcRCRCCuEe ec e这里12cce为任意常数 . 将初始条件：0t时，0Cu代入，得到2c

17、E. 所以1(1)tRCCuEe（2.22）这就是RC电路充电过程中电容C两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压Cu从零开始逐渐增大，且当t时，CuE， 在电工学中， 通常称RC为时间常数，当3t时，0.95CuE，就是说，经过3的时间后，电容C上的电压已达到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容C的充电过程已基本结束.易见充电结果CuE. 对于放电过程的讨论，可以类似地进行. 例8探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状. 解取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，设所求曲面由

18、曲线( )0yf xz（2.23）绕x轴旋转而成， 则求反射镜面的问题归结为求xy平面上的曲线( )yf x的问题 ,仅考虑0y的部分 ,过曲线( )yf x上任一点( ,)M x y作切线NT，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页12从而OMON注意到2dyMPtgdxNP及22,OPx MPy OMxy就得到函数( )yf x所应满足的微分方程式22dyydxxxy（2.24）这是齐次方程 .由 2.12 知引入新变量xuy可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方

19、程的解. 对 于 方 齐 次 方 程 （ 2.24） 也 可 以 通 过 变 换xvy而 化 为 变 量 分 离 方 程 也 可 由xyv得dxdvvydydy代入（ 2.24）得到2sgn1dvvyvyvdy于是2sgn1dydvyyv（2.25）积分（ 2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2 )yc cx（2.26）其中c为任意常数 . （2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面22(2 )yzc cx（2.27）小结 : 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论. 2 线性

20、方程与常数变易法1、一阶线性微分方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页( )( )( )0dya xb x yc xdx在( )0a x的区间上可以写成( )( )dyP x yQ xdx（ 2.28）对于( )a x有零点的情形分别在( )0a x的相应区间上讨论.这里假设( ),( )P x Q x在考虑的区间上是x的连续函数 . 若( )0Q x， （2.28）变为( )dyP x ydx（2.3）称为一阶齐线性方程. 若( )0Q x， （2.28）称为一阶非齐线性方程. 2、常数变易法（2.3）是变量分

21、离方程，已在例3 中求得它的通解为( )P x dxyce（2.4）这里c是任意的常数. 下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法. 方程 (2.3)与方程 (2.28)两者既有联系又有区别, 设想它们的解也有一定的联系, 在(2.4)中c恒为常数时 ,它不可能是 (2.28)的解 ,要使 (2.28)具有形如 (2.4)的解 , c不再是常数 ,将是x的待定函数( )c x,为此令( )( )P x dxyc x e（2.29）两边微分，得到( )( )( )( )( )P x dxP x dxdydc xec x P x edxdx（2.30）将（ 2.29） 、 （2.30）代入（

22、 2.28） ，得到( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )P x dxP x dxP x dxdc xec x P x eP x c x eQ xdx即()( )( )P x dxdc xQ x edx积分后得到( )( )( )P x dxc xQ x edxc%（ 2.31）这里c%是任意的常数.将（ 2.31）代入（ 2.29） ，得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页()( )( )( )( )( ) =( )P x dxP x dxP x dxP x dxP x dxyeQ x edx

23、cceeQ x edx%（2.32）这就是方程（ 2.28）的通解 . 这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法 .通过变换（ 2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程. 注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和. 例1求方程1(1)(1)xndyxnyexdx的通解，这里的n为常数 . 解将方程改写为(1)1xndynyexdxx（2.33）先求对应的齐次方程01dynydxx的通解，得(1)nyc x令( )(1)nyc xx（2.34）微分之，得到( )(1)(1) ( )ndydc xxn xc xdx

24、dx（2.35）以（ 2.34） 、 （2.35）代入（ 2.33） ，再积分，得( )xc xec%将其代入公式（2.34） ，即得原方程的通解(1) ()nxyxec%这里c%是任意的常数. 例 2 求方程22dyydxxy的通解 . 解原方程改写为2dxxydyy（2.36）把x看作未知函数，y看作自变量，这样，对于x及dxdy来说，方程（ 2.36）就是一个线性方程了. 先求齐线性方程2dxxdyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页的通解为2xcy（2.37）令2( )xc y y,于是2( )2 ( )

25、dxdc yyc y ydydy代入（ 2.36） ，得到( )lnc yyc%从而，原方程的通解为2(ln)xycy%这里c%是任意的常数,另外0y也是方程的解.特别的，初值问题00( )( )()dyP x yQ xdxy xy的解为0000( )( )( )=( )xxsxxxPdPdPdxxy ceeQ s eds%例 3 试证（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若( )yy x是（ 2.3）的非零解，而%( )yy x是（ 2.28）的解，则（2.28）的通解可表为%( )( )ycy xy x，其中c为任意常数 . （3）方程（

26、2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解 . 证（1）设12,yy是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使1122( )(1)( )(2)dypyQ xdxdypyQ xdx（1）（ 2）有1212()()d yyp yydx说明非齐线性方程任意两个解的差12yy是对应的齐次线性方程的解. （2）因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页%( )( )( )( )()( )()( )d cy xy xdy xd y xcpcypyQ xp cyyQ xdxdxdx故结论成立 . （3）因为1

27、2121212()()()(),(),()d yyd yyd cyp cyp yyp yydxdxdx故结论成立 . 3、Bernoulli 方程形如( )( )ndyP x yQ x ydx（0,1n）（2.38）的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程，这里( ),( )P x Q x为x连续函数 . 利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解. 事实上，对于0y，用ny乘（ 2.38）两边，得到1( )( )nndyyyP xQ xdx（2.39）引入变量变换1 nzy（2.40）从而(1)ndzdyn ydxdx（2.41）将（ 2.40） 、 2.41）代入（ 2.39） ，得

28、到(1) ( )(1)( )dzn P x zn Q xdx（ 2.42）这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解 .此外，当0n时，方程还有解0y. 例 4 求方程26dyyxydxx的通解解这是2n时的伯努利方程，令1zy,得2dzdyydxdx代入原方程得到6dzzxdxx这是线性方程，求得它的通解为268cxzx代回原来的变量y，得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页2618cxyx或者688xxcy这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y.例 5 求方程

29、331dydxxyx y的解解将方程改写为33dxyxy xdy这是一个自变量为y，因变量为x的伯努利方程.解法同上 . 例 6 求方程23ydyexdxx的通解这个方程只要做一个变换，令,yydudyueedxdx，原方程改写为22231duxuudxxx便是伯努利方程. 小结 ;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数( )c x，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解 .3 恰当方程与积分因子1、恰当方程

30、的定义将一阶微分方程( , )dyfx ydx写成微分的形式( ,)0f x y dxdy把, x y平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为( , )( , )0M x y dxN x y dy（2.43）假设( ,),( , )M x yN x y在某区域G内是,x y的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数( , )u x y,使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页( ,)( , )duM x y dxN x y dy(2.44) 即( , ),( , )uuM x yN x yxy(2.

31、45) 则称方程 (2.43)为恰当方程 ,或称全微分方程. 在上述情形 ,方程 (2.43)可写成( , )0du x y,于是( , )u x yC就是方程 (2.43)的隐式通解 ,这里C是任意常数 (应使函数有意义). 2、 恰当方程的判定准则定理 1 设( , ),( , )Mx yN x y在某区域G内连续可微 ,则方程 (2.43)是恰当方程的充要条件是, ( ,)MNx yGyx(2.46) 而且当 (2.46)成立时 ,相应的原函数可取为000( , )( ,)( , )xyxyu x yM s y dsN x t dt(2.47) 或者也可取为000( , )(, )( ,

32、 )yxyxu x yN x t dtM s y ds(2.48) 其中00(,)xyG是任意取定的一点. 证明先证必要性 . 因为 (2.43) 是恰当方程 , 则有可微函数( ,)u x y满足 (2.45), 又知( ,),( , )M x yN x y是连续可微的 ,从而有22MuuNyy xx yx下面证明定理的充分性,即由条件 (2.46), 寻找函数( ,)u x y,使其适合方程 (2.45). 从(2.47)可知( , )uN x yy000000( ,)( , ) =( ,)( , ) =( ,)( , )( , )yyyxyyyyuM x yN x t dtxxM x y

33、Nx t dtM x yMx t dtM x y即(2.45)成立 , 同理也可从 (2.48)推出 (2.45). 例 1. 解方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页21()02xxydxdyy (2.49) 解这里21,=()2xMxyNy, 则yxMxN, 所以 (2.49) 是恰当方程. 因为N于0y处无意义, 所以应分别在0y和0y区域上应用定理2.3, 可按任意一条途径去求相应的原函数( ,)u x y. 先选取00(,)(0,1)xy, 代入公式 (2.47) 有22011()ln22xyxxuxd

34、xdyyyy再选取00(,)(0,1)xy, 代入公式 (2.47) 有22011()()ln()22xyxxux dxdyyyy可见不论0y和0y, 都有2ln |2xuyy故方程的通解为2ln |2xyyC. 3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法, 下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法 1.已经验证方程为恰当方程, 从( , )xuM x y出发 , 有2( , )( , )( )( )2xu x yM x y dxyyy (2.50) 其中( )y为待定函数 , 再利用( ,)yuN x y, 有221( )22xxyy从而1( )yy于是有( )ln |yy只需要求出一个

35、( ,)u x y, 因而省略了积分常数. 把它代入 (2.50) 便得方程的通解为2ln |2xuyyC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页解法 2.分项组合的方法对(2.49) 式重新组合变为21()02xxydxdydyy于是2()ln | 02xdydy从而得到方程的通解为2ln |2xyyC4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程( , )( , )0M x y dxN x y dy（ 2.43）如果方程（ 2.43 ）不是恰当方程，而存在连续可微的函数( , )0 x y，使得( , )( , )

36、0M x y dxN x y dy(2.51) 为一恰当方程，即存在函数( , )v x y，使( , )( , )M x y dxN x y dydv则称( , )x y是方程（ 2.43）的积分因子 . 此时( , )v x yC是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解 . 如果函数( , ),( ,)Mx yN x y和( , )x y都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, ( , )x y为(2.43)积分因子的充要条件是MNyx即()MNNMxyyx(2.52) 5、积分因子的求法方程 (2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很

37、困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设( ,),( , )MM x yNN x y和( ,)x y在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43）有形如( ( , )x y的积分因子的充要条件是：函数( , )( , )( , )( , )( , )( , )yxxyMx yNx yN x yx yM x yx y（2.53）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页仅 是( , )x y的 函 数 ， 此 外 ， 如 果 （ 2.53 ） 仅 是( , )x y的 函 数( ( , )ffx y， 而( )(

38、)G uf u du，则函数( ,)Gx ye（2.54）就是方程（ 2.43）的积分因子 . 证明因为如果方程（2.43）有积分因子( )，则由（ 2.52）进一步知()()dMNNMdxyyx即yxxyMNddNM由( )可知左端是的函数，可见右端yxxyMNNM也是的函数，即( )yxxyMNfNM，于是，有()dfd，从而()( )fdGee反之，如果（2.53）仅是的函数，即( )yxxyMNfNM，则函数（ 2.54）是方程（ 2.52）的解 .事实上，因为()()()()GxyyxNMNMfeMNxy因此函数（ 2.54）的确是方程（2.43）的积分因子. 为了方便应用这个定理，

39、我们就若干特殊情形列简表如下：类型条件积分因子( )x( )yxMNfxN( )fx dxe( )y()yxMNfyM()fy dye()x y111()yxMNfx yx Ny Mx y( )|fu duux ye精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页例 2. 解22(31)()0yxydxxyxdy解这里2231,MyxyNxyx,注意yxMNyx所以方程不是恰当的,但是1yxMNNx它仅是依赖与x，因此有积分因子1dxxex给方程两边乘以因子x得到2223(3)()0 xyx yx dxx yx dy从而可得到

40、隐式通解22321122ux yx yxC例 3. 解方程2()(1)0 xyydxxyydy解这里2,1MxyyNxyy方程不是恰当的.但是1yxMNMy它有仅依赖于y的积分因子11dyyey方程两边乘以积分因子1y得到1()(1)0 xy dxxdyy从而可得到隐式通解21ln |2uxxyyyC另外，还有特解0y.它是用积分因子乘方程时丢失的解. 例 4.解方程223(2)()0yx y dxxyxdy( ( , )x y( ( , )yxxyMNfx yNM( )( , )|fu duux ye精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

41、 20 页，共 27 页解这里2232,Myx y Nxyx， 不是恰当方程 .设想方程有积分因子()x y， 其中，是待定实数 .于是2112111()(2)yxMNyxx NyMx yyxx yx y只须取3,2.由上述简表知原方程有积分因子32x y从而容易求得其通解为：446313ux yx yC六、积分因子的其他求法以例 4 为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式：223()(2)0y dxxydxx ydxx dy前一组有积分因子11y，并且21()()y dxxydyd xyy后一组有积分因子21x，并且2321(2)()x ydxx dyd x yx

42、设想原方程有积分因子211()()xyx yyx其中，是待定实数 .容易看出只须3,2，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个. 例 5. 解方程1212( )( )( )( )0Mx My dxNx Ny dy其中1M，2M，1N，2N均为连续函数 . 解这里12( )( )MMx My，12( )( )NNx Ny.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y使得20()0My，则0yy是此方程的解；若有0 x使得10()0Nx，则0 xx是此方程的解；若21( )( )0My Nx，则有积分因子精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

43、 - -第 21 页，共 27 页211( )( )My Nx并且通解为1212( )( )( )( )MxNyudxdyNxMy例 6、试用积分因子法解线性方程（2.28）. 解将（ 2.28）改写为微分方程( )( )0P x yQ x dxdy（2.55）这里( )( ),1MP x yQ xN，而( )MNyxP xN则线性方程只有与x有关的积分因子( )P x dxe方程（ 2.55）两边乘以( )P x dxe，得( )( )()( )( )0P x dxP x dxP x dxxP x eydxedyQ x edx（2.56）（2.56）为恰当方程，又分项分组法( )( )()(

44、 )0P x dxP x dxd yeQ x edx因此方程的通解为( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxc即( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxc与前面所求得的结果一样. 注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子. 4 一阶隐方程与参数表示1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为: ( ,)0F x y y如果能解出( ,)yfx y,则可化为显式形式,根据前面的知识求解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页

45、，共 27 页例如方程2()()0yxy yxy,可化为yx或yy但难以从方程中解出y,或即使解出y,而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解. 一般隐式方程分为以下四种类型: 1) ( ,)yf x y2) ( ,)xf y y3) ( ,)0F x y4)( ,)0Fy y2、求解方法）可以解出y（或）x的方程1)讨论形如( ,)yf x y（2.57）的方程的解法，假设函数( ,)f x y有连续的偏导数,引进参数yp,则方程 (2.57)变为( ,)yf x p(2.58) 将(2.58) 的两边对x求导数 ,得到ff dppxy dx(2.59) 方程 (2.59)是关于, x

46、p的一阶微分方程,而且属于显式形式. 若求得 (2.59)的通解形式为( , )px c,将其代入 (2.58),于是得到 (2.57)通解为( ,( , )yfxx c若求得 (2.59)的通解形式为( , )xp c,于是得到 (2.57)的参数形式的通解为( , )( ( , ),)xp cyfp cp其中p为参数 , c是任意常数 . 若求得 (2.59)的通解形式为( , )0 x p c,于是得到 (2.57)的参数形式的通解为( , , )0( ,)x p cyf x p其中p为参数 , c是任意常数 . 例 1 求方程3()20dydyxydxdx的解解令dypdx,于是有32

47、ypxp(2.60) 两边对x求导数 ,得到2322dpdpppxpdxdx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页即2320p dpxdppdx当0p时,上式有积分因子p,从而32320p dpxpdpp dx由此可知4234pxpc得到42223344cpcxppp将其代入 (2.60),即得43342()cpypp故参数形式的通解为22334 (0) 212cxpppcypp当0p时,由(2.60)可知0y也是方程的解 . 例2求方程22()2dydyxyxdxdx的解 . 解令dypdx,得到222xypxp(

48、2.61) 两边对x求导数 ,得到2dpdpppxpxdxdx或(2)(1)0dppxdx由10dpdx,解得pxc,于是得到方程的通解为222xycxc(2.62) 由20px,解得2xp,于是得到方程的一个解为24xy(2.63) 特解 (2.63)与通解 (2.62)中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解 . 2)讨论形如精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页( ,)dyxfydx(2.64) 的方程的求解方法,方程 (2.64)与方程 (2.57)的求解方法完全类似,假定函数( ,)f y y有连续偏导

49、数 .引进参数dypdx,则 (2.64) 变为( ,)xfy p(2.65) 将(2.65) 的两边对y求导数 ,得到1ff dppyx dy(2.66) 方程 (2.66)是关于, y p的一阶微分方程,而且属于显式形式. 设其通解为( , )0y p c则(2.64)的通解为( , )0( ,)y p cxf y p）不显含y（或）x的方程3) 讨论形如( ,)0F x y(2.67) 的方程的解法 . 记dypydx,此时( ,)0F x p表示的是xp平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为( )xt,( )pt(2.68) 由于dypdx,进而( )( )dytt dt两边积分 ,

50、得到( )( )ytt dtc于是得到方程 (2.67)参数形式的解为( )( )( )xtytt dtcc是任意常数 . 例3求解方程3330 xyxy解令yptx, 则由方程得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页331txt, 2331tpt于是23339(12 )(1)ttdydtt积分得到23333329(12 )3 14(1)2 (1)tttydtcctt故原方程参数形式的通解为：3332313 142 (1)txttyct4) 讨论形如( ,)0F y y(2.69) 的方程 ,其解法与方程 (2.67