2022年平面向量基本定理及坐标表示 .pdf

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1、1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1、2，使 a_.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，a b_， a _，|a|_.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 AB _，|AB|_.3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.a、b 共线 ? _.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”

2、或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若 a，b 不共线，且1a1b2a 2b，则 12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页表示 ()(4)若 a(x1，y1)， b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()1设 e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使 1e12e20，则 1 2 0B空间内任一向量a

3、 可以表示为a1e12e2(1，2为实数 )C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使 a 1e1 2e2的实数 1，2有无数对2已知向量a (2,3)，b(1,2)，若 manb 与 a2b 共线，则mn_.3 在?ABCD 中，AC 为一条对角线， AB (2,4)， AC(1,3)， 则向量 BD的坐标为 _4设 0 2，向量 a(sin 2 ，cos )，b(cos ，1)，若 ab，则 tan _.5 (教材改编 )已知 ?ABCD 的顶点 A(1， 2)， B(3， 1)， C(5,6)， 则顶点 D 的坐标为 _.题型一平面向量基本定理的应用例 1(1)

4、在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M， N 分别为 CD，BC 的中点， 若ABAMAN，则 等于 ()A.15B.25C.35D.45(2)(2015济南调研 )如图，在 ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点， 若APmAB211AC，则实数 m 的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，

5、再通过向量的运算来解决(1)在平行四边形ABCD 中，ABe1，ACe2，NC14AC，BM12MC，则MN_.(用 e1，e2表示 )(2)如图，已知 ABa，ACb，BD3DC，用 a，b 表示 AD，则 AD_.题型二平面向量的坐标运算例 2(1)已知 a(5， 2)，b(4， 3)，若 a2b3c0，则 c 等于 ()A. 1，83B.133，83C.133，43D.133，43(2)已知点 A(1,3)，B(4， 1)，则与向量A B同方向的单位向量坐标为_思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标， 则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意

6、方程思想的运用及正确使用运算法则(1)已知点 A(1,5)和向量 a(2,3)，若 AB 3a，则点 B 的坐标为 ()A(7,4) B(7,14) C(5,4) D (5,14)(2)在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点， 若PA (4,3)，PQ(1,5)，则BC等于 ()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页A(2,7) B(6,21) C(2， 7) D (6， 21)题型三向量共线的坐标表示命题点 1利用向量共线求向量或点的坐标例 3(1)已知平面向量a(1,2)，b(

7、2，m)，且 ab，则 2a3b_.(2)已知梯形ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D的坐标为 _命题点 2利用向量共线求参数例 4若三点 A(1， 5)，B(a， 2)，C( 2， 1)共线，则实数a 的值为 _命题点 3求交点坐标例 5已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 _思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解

8、题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入 a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C三点共线等价于AB与AC共线设OA(2,4)，OB(a,2)，OC(b,0)， a0，b0，O 为坐标原点，若A，B，C 三点共线，则1a1b的最小值为 _11解析法 (坐标法 )在向量中的应用典例(12 分)给定两个长度为1 的平面向量 OA和OB，它们的夹角为23.如图所示， 点 C 在以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

9、 页，共 11 页O 为圆心的AB 上运动若 OCxOAyOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值思维点拨可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A，B 的坐标，用三角函数表示出点 C 的坐标，最后转化为三角函数求最值规范解答解以 O 为坐标原点，OA所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B(12，32)4 分 设AOC ( 0，23), 则 C(cos ，sin )，由OCxOAyOB，得cos x12y，sin 32y，所以 x cos 33sin ，y2 33sin ，8 分所以 x ycos 3sin 2sin( 6)，10 分 又 0，23，所以当 3时

10、， xy 取得最大值2.12 分温馨提醒本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出 xy的最大值 引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法 (坐标法 )解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础方法与技巧 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参

11、数值失误与防范 1要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为x2，y2有可能等于 0，所以应表示为x1y2x2y1 0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页答案解析基础知识自主学习知识梳理1不共线有且只有1e12e2基底2(1)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x21y21(2)(x2x1，y2y1)x2x12 y2y123x1y2x2y10

12、思考辨析(1)(2)(3)(4)(5)考点自测1A212解析由已知条件可得ma nb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)， a2b(2,3)(2,4)(4， 1) manb 与 a2b 共线， 2mn43m2n1，即 n2m12m8n，mn12.3(3， 5)解析ABBCAC，BCACAB (1， 1)，BDADABBCAB (3， 5)4.12解析a b， sin 2 1cos2 0，2sin cos cos2 0，0 2， cos 0，2sin cos ，tan 12.5(1,5)解析设 D(x，y)，则由 ABDC，得 (4,1)(5x,6y)，即45 x，16 y，解得x1，

13、y5.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页题型分类深度剖析例 1(1)D(2)311解析(1)因为 ABAN NBANCNAN(CAAN)2AN CMMA2AN14AB AM，所以 AB85AN45AM，所以 45.(2)设BPkBN，kR.因为 APABBPABkBNABk(AN AB)ABk(14ACAB)(1k)ABk4AC，且APmAB211AC，所以 1 km，k4211，解得 k811，m311.跟踪训练1(1)23e1512e2 (2)14a34b解析(1)如图， MNCNCMCN2BMCN23BC14

14、AC23(ACAB)14e223(e2e1)23e1512e2.(2)ADABBD AB34BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页AB34(ACAB)14AB34AC14a34b.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页例 2(1)D(2)35，45解析(1)由已知 3c a2b(5,2)(8， 6)(13， 4)所以 c 133，43.(2)A B O BO A(4， 1)(1,3) (3， 4)，与 A B同方向的单位向量为A B|A B

15、|35，45.跟踪训练2(1)D(2)B解析(1)设点 B 的坐标为 (x，y)，则 AB(x1，y5)由AB3a，得x16，y59，解得x5，y14.(2)BC3PC3(2PQPA)6PQ3PA(6,30) (12,9) (6,21)例 3(1)(4， 8)(2)(2,4)解析(1)由 a(1,2)， b(2， m)，且 ab，得 1m2(2)，即 m 4.从而 b (2， 4)，那么 2a3b2(1,2)3( 2， 4)(4， 8)(2)在梯形 ABCD 中， ABCD，DC2AB，DC2AB.设点 D 的坐标为 (x，y)，则DC(4,2) (x， y) (4x,2y)，AB(2,1)(

16、1,2) (1， 1)，(4x,2y)2(1， 1)，即 (4x,2y)(2， 2)，4x2，2y 2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为 (2,4)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页例 454解析AB(a1,3)，AC(3,4)根据题意 ABAC，4(a1)3(3)，即 4a 5，a54.例 5(3,3)解析方法一由 O，P， B 三点共线，可设OP OB(4 ，4 )，则APOP OA(4 4,4 )又ACOCOA (2,6)，由 AP与 AC共线，得 (4 4)64 (2)0，解得 34，所以 OP34OB

17、(3,3) ，所以点P 的坐标为 (3,3)方法二设点 P(x，y)，则 OP(x，y)，因为 OB(4,4)，且 OP与OB共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2,6)，且 AP与AC共线，所以 (x 4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为 (3,3)跟踪训练33 2 22解析由题意得 AB(a2， 2)，AC(b2， 4)，又ABAC，所以 (a2， 2) (b2， 4)，即a2b2 ，2 4 ，整理得 2a b2，所以1a1b12(2ab)(1a1b)12(32abba)12(322abba)32 22(当且仅当b2a 时，等号成立 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页