2022年应用二次函数求实际问题的最值 .pdf

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1、立身以立学为先，立学以读书为本应用二次函数求实际问题的最值运用二次函数解决实际问题中的最大（小）值问题是近几年来各地中考命题的一个热点，解决这类问题的关键是从实际问题中抽象出二次函数的模型，然后再应用二次函数的有关性质去寻找实际问题的最佳答案，请看几个典型的例子例 1. 张大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32 米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形ABCD 设 AB 边的长为x 米矩形ABCD的面积为S 平方米（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （ 2）当 x 为何值时， S有最大值？并求出最大值（参考公式：二次函数2ya

2、xbxc（0a） ，当2bxa时，244acbya最大 (小)值) 分析： （1）由矩形的面积公式建立函数关系式；（2）利用二次函数的顶点坐标公式求解. 解： （1）由题意得(322 )SAB BCxx，2232Sxx；（2）20a，S有最大值32822( 2)bxa2243212844( 2)acbSa最大值，8x时，S有最大值是128说明：解决几何类问题时，图形的有关公式是寻找解题思路的有效途径. 例 2为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间

3、大致满足如图所示的一次函数关系随着补贴款额x的不断增大， 销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元） 会相应降低且Z与x之间也大致满足如图所示的一次函数关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页立身以立学为先，立学以读书为本（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3） 要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值分析： （ 1）政府未出台补

4、贴措施前，商场销售彩电台数为800 台，每台彩电的收益为200 元； （2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（ 3）商场销售彩电的总收益商场销售彩电台数每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值. 解： （1）该商场销售家电的总收益为800 200160000（元） ；（ 2 ） 依 题 意 可 设1800yk x，2200Zk x，有14008001200k，2200200160k，解得12115kk，所以800yx，12005Zx（3）1(800)2005WyZxx21(100)1620005x，政府应将每台补贴款额x定为 100 元，总收益有最大

5、值，其最大值为162000元说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼. 例 3凯里市某大型酒店有包房100 间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20 元，则减少10 间包房租出，若每间包房收费再提高20 元，则再减少10 间包房租出，以每次提高20 元的这种方法变化下去. （1）设每间包房收费提高x（元） ，则每间包房的收入为y1（元） ，但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与 x 之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元） ，请写出y 与 x

6、 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由. 分析： （1）提价后每间包房的收入原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入提价后每间包房的收入每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值 . 解： （1）xy1001，xy212；（2）)21100()100(xxyy11250)50(212x，因为提价前包房费总收入为 100 100=10000，当 x=50 时，可获最大包房收入11250 元，因为 1125010000 又因为每次提价为20 元，所以每间包房

7、晚餐应提高40 元或 60 元.说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60 元应该更好 . 例 4某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价1y（元）与销售月份x（月）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页立身以立学为先，立学以读书为本满足关系式1y36x83，而其每千克成本2y（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示（1）试确定bc、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y（

8、元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（3） “五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析： （ 1）将点（ 3， 25） ， （4，24）代入求b、 c 的值；（2）y1y-2y； （3）将（ 2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五一”之前的前提下求最大值 . 解： （1）由题意：22125338124448bcbc，解得7181292bc；（2）12yyy23115136298882xxx21316822xx；（3）21316822yxx2111(1236)46822xx21(6)118x. 108a，抛物线开口向下在对称轴6x左侧y

9、随x的增大而增大由题意5x， 所以在 4月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润211(46)111082（元）说明：本题在x 6，即 6 月份时取得最大值，但题目要求在“五一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解. 练习题1某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果每件商品的售价每上涨1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于65 元） 设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2） 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多

10、少元？25 24 y2（元）x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122218yxbxcO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页立身以立学为先，立学以读书为本（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200 元？2新星电子科技公司积极应对20XX年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到

11、后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1 次） 公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图3 所示的图象上该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线252051230yxx的一部分， 且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12 （1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程） ；（3）前 12 个月中，第几

12、个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？参考答案 1 （1）2(21010 )(5040)101102100yxxxx（015x且x为整数）；（2）210(5.5)2402.5yx100a，当5.5x时，y有最大值2402.5015x，且x为整数，当5x时，5055x，2400y（元），当6x时，5056x，2400y（元）当售价定为每件55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月 利 润 是2400元 ；（ 3 ） 当2200y时 ，21 01 1 02 1 0 02 2 0 0 xx， 解 得 ：12110 xx，当1x时，5051x，当10 x时，5060 x当售价定为每件 5

13、1 或 60 元， 每个月的利润为2200 元 当售价不低于51 或 60 元， 每个月的利润为2200元当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时，每个月的利润不低于2200 元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于2200 元） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页立身以立学为先，立学以读书为本2 （1）221012 3 4:0123410801205 6 7 8 952051230101112xxxyxxxxxx， ， 注 写成， ， ， ，亦可，

14、 ， ，； （4x可归为第2段，10 x亦可归为第2 段）（2）101 2 3 40420905 6 7 8 959102101011121012xxxxsxxxxxxxx， ，或且 为整数， ，或 且 为整数， 或且 为整数；（3）由（ 2）知，12 3 4x， ， ，时， s 均为 - 10；56 78 9x， ， ，时，2090sx，s 有最大值90，而在101112x，时，10210sx，在10 x时，s有最大值110，故在10 x时，s有最大值110即第 10 个月公司所获利润最大，它是110 万元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页