2022年平面向量的数量积 .pdf

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1、 5.3平面向量的数量积2014 高考会这样考1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直复习备考要这样做1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质； 3.利用数量积解决向量的几何问题1两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和 b，作OA a，OBb，则 AOB 称作向量a 和向量 b 的夹角，记作a， b (2)范围：向量夹角 a，b的范围是 0， ，且 a，b b，a (3)向量垂直：如果 a， b2，则 a 与 b 垂直，记作ab. 2向量在轴上的正射影已知向量a 和轴 l，作

2、 OAa，过点 O，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量O1A1叫做向量a 在轴 l 上的正射影 (简称射影 )，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴 l上的数量或在轴l 的方向上的数量OAa 在轴 l 上正射影的坐标记作al，向量 a 的方向与轴l 的正向所成的角为 ，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos . 3向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a|b|cosa，b叫做向量a 和 b 的数量积 (或内积 )，记作 ab，即 a b|a|b|cosa，b (2)向量数量积的性质：如果 e 是单位向量，则a eea|a|cosa， e ；ab? a b 0；a a

3、|a|2， |a|a a；cosa，ba b|a|b|(|a|b|0)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页|a b|_|a|b|. (3)数量积的运算律：交换律： a bb a. 分配律： (ab) ca cb c. 对 R， (a b)( a) ba ( b)(4)数量积的坐标运算设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则a ba1b1a2b2；ab? a1b1a2b20；|a|a21a22；cos a，ba1b1a2b2a21a22 b21b22. 难点正本疑点清源 1对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当

4、两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角(2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，当共线且反向时，其夹角为.2向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围3数量积与实数积的区别(1)若 a、b 为实数，且a b0, 则有 a0 或 b0，但 a b0 却不能得出a0 或 b 0. (2)若 a、b、 cR，且 a0，则由 abac 可得 b c，但由 aba c 及 a0 却不能推出bc. (3)若 a

5、、b、cR，则 a(bc) (ab)c(结合律 )成立， 但对于向量a、b、c，而(a b) c与 a (b c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的(4)若 a、b R，则 |a b|a| |b|，但对于向量a、b，却有 |ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页1 已知向量 a和向量 b的夹角为 135 ， |a| 2， |b|3， 则向量 a和向量 b的数量积 ab_. 答案3 2 解析a b|a|b|cos 135 2322 32. 2(2012 聊城模拟 )已知 a

6、b，|a|2，|b|3，且 3a2b 与 ab 垂直，则实数的值为_答案32解析由 ab 知 a b0.又 3a2b 与 ab 垂直，(3a2b) ( ab)3 a22b23 222 32 0. 32. 3已知 a(2,3)，b( 4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_答案655解析设 a 和 b的夹角为 ，|a|cos |a|ab|a|b |2 4 3742721365655. 4(2011 辽宁 )已知向量a(2,1)，b( 1，k)，a (2ab)0，则 k 等于() A 12 B 6 C 6 D12 答案D 解析由已知得 a (2ab)2a2a b2(41)(2 k) 0，k12.

7、 5(2012 陕西 )设向量 a(1，cos )与 b(1,2cos )垂直，则cos 2等于() A.22B.12C0 D 1 答案C 解析a (1， cos )， b(1,2cos )ab，a b 12cos2 0，cos2 12，cos 2 2cos2 1110. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页题型一平面向量的数量积的运算例 1(1)在 RtABC 中， C90 ，AC4，则 AB AC等于() A 16 B 8 C 8 D16 (2)若向量 a(1,1)，b(2,5)， c(3，x)，满足条件 (8a

8、 b) c 30，则 x 等于() A6 B5 C 4 D3 思维启迪： (1)由于 C90 ，因此选向量 CA，CB为基底(2)先算出 8ab，再由向量的数量积列出方程，从而求出x. 答案(1)D(2)C 解析(1)AB AC (CB CA) (CA) CB CACA216. (2)a(1,1)，b (2,5)，8ab (8,8)(2,5)(6,3)又 (8ab) c30，(6,3) (3，x)183x30. x4. 探究提高求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件(2012 北京 )已知正方形ABCD 的

9、边长为1， 点 E是 AB 边上的动点，则 DE CB的值为 _；DE DC的最大值为 _答案11 解析方法一以射线 AB， AD 为 x 轴， y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)，则E(t,0)，t 0,1，则 DE(t， 1)，CB(0， 1)，所以 DE CB (t，1) (0， 1)1. 因为 DC(1,0)，所以 DE DC (t， 1) (1,0)t1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页故DE DC的最大值为1. 方法二由图知， 无论 E 点在哪

10、个位置， DE在CB方向上的投影都是CB 1，DE CB|CB| 11，当 E 运动到 B 点时， DE在DC方向上的投影最大即为DC1，(DE DC)max|DC| 11. 题型二向量的夹角与向量的模例 2已知 |a|4，|b|3，(2a3b) (2ab)61，(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求|ab|；(3)若ABa，BCb，求 ABC 的面积思维启迪： 运用数量积的定义和|a|a a. 解(1)(2a3b) (2ab)61，4|a|2 4a b3|b|261. 又|a| 4，|b| 3，644a b2761， a b 6. cos a b|a|b|64312.又 0 ， 23. (

11、2)可先平方转化为向量的数量积|ab|2 (ab)2|a|22a b|b|242 2(6)3213，|ab|13. (3)AB与BC的夹角 23， ABC 233. 又|AB|a| 4，|BC|b| 3，SABC12|AB|BC|sinABC12433233. 探究提高(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|a a要引起足够重视，它是求距离常用的公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的

12、(1)已知向量a、b 满足 |a| 1，|b|4，且 a b2，则 a 与 b 的夹角为 () A.6B.4C.3D.2答案C 解析cos a，bab|a|b|12， a，b3. (2)已知向量a(1，3)，b( 1,0)，则 |a2b|等于() A1 B.2 C2 D4 答案C 解析|a2b|2a24a b4b244144，|a2b|2. 题型三向量数量积的综合应用例 3已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0 )(1)求证： ab 与 ab 互相垂直；(2)若 kab 与 akb 的模相等，求 .(其中 k 为非零实数 ) 思维启迪： (1)证明两向量互相垂直，转化为计

13、算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证(2)由模相等，列等式、化简(1)证明(ab) (ab)a2b2|a|2|b|2(cos2 sin2 )(cos2 sin2 )0，ab 与 ab 互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|k22kcos 1，|akb|1 2kcos k2. |kab|akb|，2kcos( ) 2kcos( )又 k0，cos( )0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页0 ，0 ， 2. 探究提高(1)

14、当向量 a 与 b 是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明a b0? x1x2y1y20. (2)当向量 a，b 是非坐标形式时，要把a，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a b0. 已知平面向量a(3， 1)，b12，32. (1)证明： ab；(2)若存在不同时为零的实数k 和 t，使 ca (t23)b，d katb，且 cd，试求函数关系式kf(t)(1)证明a b3121320，ab. (2)解ca (t23)b，d katb，且 c d，c da(t23)b (ka tb) ka2t(t23)b2tk(t23)a b0，又 a2|

15、a|24，b2|b|21， ab0，c d 4kt33t0，kf(t)t3 3t4(t0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页三审图形抓特点典例 ： (5 分 )如图所示， 把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，则 x_，y _. 图形有一副三角板构成(注意一副三角板的特点) 令|AB|1，|AC|1 (一副三角板的两斜边等长) |DE|BC|2 (非等腰三角板的特点) |BD|DE|sin 6023262(注意 ABD45 90 135 ) AD在AB上的投影即为xx|AB|BD|cos 45

16、16222 132AD在AC上的投影即为yy|BD| sin 45 622232. 解析方法一结合图形特点，设向量AB，AC为单位向量，由AD xAB yAC知， x，y分别为 AD在AB，AC上的投影又 |BC|DE|2，|BD|DE| sin 6062. AD在AB上的投影x162cos 45 16222 132，AD在AC上的投影y62sin 4532. 方法二ADxAByAC，又 ADABBD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页ABBDxAByAC，BD(x1)AByAC. 又ACAB， BD AB(x1)

17、AB2. 设|AB|1，则由题意 |DE|BC|2. 又 BED60 ，|BD|62.显然 BD与AB的夹角为45 . 由 BD AB(x1)AB2，得621cos 45 (x1)12.x321. 同理，在 BD (x1)AByAC两边取数量积可得y32. 答案13232温馨提醒突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂 . 方法与技巧1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，

18、将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧失误与防范1(1)0 与实数 0 的区别： 0a00，a(a)00，a 000；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2a b0 不能推出a0 或 b0，因为 a b0 时，有可能ab. 3a ba c(a0)不能推出bc，即消去律不成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页A 组专项基础训练(时间： 35 分钟，满分：57 分) 一、选择题 (每小题 5 分，

19、共 20 分) 1(2012 辽宁 )已知向量a(1， 1)，b(2，x)，若 a b1，则 x 等于() A 1 B12C.12D1 答案D 解析a b(1， 1) (2，x)2x 1? x1. 2(2012 重庆 )设 x， yR，向量 a (x,1)，b (1， y)， c(2， 4)，且 ac，bc，则 |ab|等于() A.5 B.10 C 2 5 D10 答案B 解析a (x,1)，b (1，y)，c(2， 4)，由 ac 得 a c0，即 2x40，x2. 由 bc，得 1(4)2y0，y 2. a(2,1)， b(1， 2)ab(3， 1)，|ab|32 1210. 3已知向量

20、a(1,2)，b(2， 3)若向量c满足 (c a)b，c(ab)，则 c 等于 () A.79，73B.73，79C.73，79D.79，73答案D 解析设 c(x，y)，则 ca(x1， y2)，又(ca) b， 2(y2)3(x1)0. 又 c(a b)， (x，y) (3， 1)3x y0. 联立 解得 x79，y73. 4在 ABC 中， AB3，AC2，BC10，则 AB AC等于() A32B23C.23D.32答案D 解析由于AB AC|AB| |AC| cosBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16

21、 页12(|AB|2|AC|2|BC|2)12(9410)32. 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 5(2012 课标全国 )已知向量a，b 夹角为 45 ，且 |a|1，|2ab|10，则 |b|_. 答案3 2 解析a， b 的夹角为 45 ，|a|1，a b|a| |b|cos 45 22|b|，|2ab|24422|b|b|210，|b|32. 6(2012 浙江 )在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM3，BC10，则 AB AC_. 答案16 解析如图所示，ABAMMB，ACAMMCAMMB，AB AC(AMMB) (AM MB) AM2MB2|AM|2|MB|

22、2 925 16. 7已知 a(2，1)，b( ，3)，若 a 与 b的夹角为钝角，则 的取值范围是 _答案(， 6) 6，32解析由 a b0，即 2 30，解得 32，由 ab 得：6 ，即 6.因此 1)，a 与 b的夹角是45 . (1)求 b；(2)若 c 与 b 同向，且a 与 ca 垂直，求c. 解(1)a b 2n2， |a|5，|b|n24，cos 45 2n25 n2422，3n216n120，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页n6 或 n23(舍)，b(2,6)(2)由(1)知， a b10

23、，|a|25. 又 c 与 b 同向，故可设c b ( 0)， (ca) a0， b a |a|20， |a|2b a51012，c12b(1,3)9(12 分)设两个向量e1、e2满足 |e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60 ，若向量 2te17e2与向量 e1te2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围解e1 e2|e1| |e2| cos 60 21121，(2te17e2) (e1te2) 2te217te22(2t27)e1 e28t7t2t272t215t7. 由已知得2t2 15t70，解得 7t12. 当向量 2te17e2与向量 e1te2反向时，设 2te17e2 (e

24、1te2)， 0，则2t ， t7? 2t27? t142或 t142(舍)故 t 的取值范围为 (7，142)(142，12)B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分：43 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 15 分) 1(2012 湖南 )在 ABC 中， AB2，AC3，AB BC 1，则 BC 等于() A.3 B.7 C 2 2 D.23 答案A 解析AB BC1，且 AB2，1|AB|BC|cos( B)，|AB|BC|cos B 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页在 ABC 中， |

25、AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即 94|BC|22(1)|BC|3. 2已知 |a|6，|b|3，a b 12，则向量a 在向量 b 方向上的投影是() A 4 B4 C 2 D 2 答案A 解析a b为向量 b的模与向量a 在向量 b 方向上的投影的乘积， 得 a b|b|a| cos a， b ，即 123|a| cos a，b ，|a| cos a，b 4. 3(2012 江西 )在直角三角形ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点P 为线段 CD 的中点，则|PA|2 |PB|2|PC|2等于() A2 B4 C5 D10 答案D 解析PACACP，|PA

26、|2CA22CP CACP2. PBCB CP，|PB|2CB22CP CBCP2. |PA|2|PB|2(CA2CB2)2CP (CACB)2CP2AB22CP 2CD2CP2. 又AB216CP2，CD2CP，代入上式整理得|PA|2 |PB|210|CP|2，故所求值为10. 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 4(2012 安徽 )设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若 (a c) b，则 |a| _. 答案2 解析a c(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(a c) b (3,3m) (m1,1)6m3 0，精选学习资料 - - - - - - -

27、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页m12. a(1， 1)，|a|2. 5(2012 江苏 )如图，在矩形ABCD 中，AB2，BC2，点 E为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB AF2，则 AE BF的值是 _答案2 解析方法一坐标法以 A 为坐标原点， AB，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)故AB(2，0)，AF(x,2)，AE(2，1)，BF(x2， 2)，AB AF(2，0) (x,2)2x. 又AB AF2， x1.BF(12，2)AE BF(2，1)

28、(12，2)2222. 方法二用AB，BC表示 AE，BF是关键设DFxAB，则 CF(x1)AB. AB AFAB (ADDF) AB (ADxAB)xAB22x，又 AB AF2， 2x2，x22.BF BCCFBC221 AB. AE BF(ABBE) BC221 AB AB12BCBC221 AB22 1 AB212BC222 1 21242. 6(2012 上海 )在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为2、1，若 M、N 分别是边BC、CD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页上的点，且满足|BM

29、|BC|CN|CD|，则 AM AN的取值范围是_答案1,4解析如图所示，设|BM|BC|CN|CD| (0 1)，则 BM BC，CN CD， DNCNCD( 1)CD，AM AN(ABBM) (AD DN) (AB BC) AD( 1)CD ( 1)AB CD BC AD4(1 ) 4 3 ，当 0时， AM AN取得最大值4；当 1 时， AM AN取得最小值1. AM AN1,4三、解答题7(13 分)设平面上有两个向量a(cos ，sin ) (0 360 )，b12，32. (1)求证：向量ab 与 ab 垂直；(2)当向量3ab 与 a3b的模相等时，求的大小(1)证明(ab)

30、(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2 sin2 )14340，故向量 ab 与 ab垂直(2)解由|3ab|a3b|，两边平方得3|a|223a b|b|2 |a|223a b3|b|2，所以 2(|a|2|b|2)43a b0，而 |a|b|，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页所以 a b 0，即12 cos 32 sin 0，即 cos( 60 )0， 60 k 180 90 ， kZ，即 k 180 30 ，kZ，又 0 360 ，则 30 或 210 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页