2022年高中数列专题常见求和方法总结 .pdf

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1、专题：数列及其数列求和? 重点、考点精读与点拨一、基本知识1定义：(1) .数列：按一定次序排序的一列数(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列2 通项公式与前n 项和公式na为等差数列：dnaan)1(12)(2)1(11nnaandnnnaSnb为等比数列：)1(11qqbbnnqqaaqqaSnnn11)1(11q)13 常用性质na为等差数列，则有（1）从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，211n

2、nnaaan1（2）),()(*Nnmdmnaamn（3）假 设m+n = p+q , 则：qpnmaaaa， 特殊 的 ：假 设m+n=2r , 则有 ：rnmaaa2（4）假设,mananm则有：0nma（5）假设)(,nmSmSnSnmnm则有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页（6）na为等差数列qpqpnan,(为常数 ),(2RqpqnpnSn7mmmmmSSSSS232,仍成等差数列8,nnba为等差数列，则nnqbpa为等差数列 p，q 为常数9假设项数为偶数2n，nd奇偶SS，1nnaaSS偶奇假设

3、项数奇数2n 1，naSS偶奇，1nnSS偶奇10111)2(SanSSannnna为等比数列，则有（1）只有同号的两数才存在等比中项（2）),(*Nnmqaamnmn（3）假设 m+n = p+q , 则：qpnmaaaa， 特殊的： 假设 m+n=2r , 则有：2rnmaaa（4）,nnba为等比数列，则nnba，nnba，nca为等比数列0c（5）等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1q时，连续项之和仍为等比数列（6）)1,0()0,0(qqkkqSqccqannnn二、在数列中常见问题：1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1dadnan定义域为正整数集 ，

4、一 次 项 的 系 数 为 公 差 ； 等 差 数 列 的 前n项 和 公 式 是 关 于n 的 二 次 函 数 ，ndandsn)2(212二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差比数列，通常利用等差 比数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（nnnnaaaa112、等差数列当首项a10 且公差 d0 时(递减数列 )，前 n 项和存在最大值。利用001nnaa确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页定 n 值，即可求得sn的最大值也可以用二次函数的性质或图象解。等差数列当首项a10 时递增数列 ，前 n

5、 项和存在最小值。3、遇到数列前n 项和 Sn与通项 an的关系的问题应利用2111nSSnSannn4、满足)(11nfaaaann的数列，求通项用累加消项法，如：已知数列 an中， a1=1,an+1=an+2n, 求 an；满足)(11nfaaaann的数列，求通项用累乘消项法，如：已知数列 an中， a1=1,an+1=1nnan, 求 an ；三、数列求和的常用方法：(1)公式法 ：必须记住几个常见数列前n 项和等差数列：2) 1(2)(11dnnnaaanSnn；等比数列：11)1(111qqqaqnaSnn；(2)分组求和 ：如：求 1+1,41a,712a,2311nan,的前

6、 n 项和可进行分组即：2374111111132naaaan前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和注：12)13(12)13(annannSn(3) 裂 项 法 ： 如)2(1nnan， 求Sn， 常 用 的 裂 项111)1(1nnnn，)211(21)2(1nnnn；)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页(4) 错 位 相 减 法 ： 其 特 点 是cn=anbn其 中 an 是 等 差 ， bn 是 等 比如 ： 求 和Sn=1+3x+5x2+7x3+ +(

7、2n1)xn1注意讨论x，1)1 ()1 ()12()12(1212xxxxnxnxnSnnn(5)倒序求和： 等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+(2n1) Cnn=(n+1)2n? 名题归类例释错位相减法：例 1 nn2n164834221S求和例 2求数例 1，3a，5a2，7a3，(2n 1)an-1，(a1)的前 n 项和解：因 Sn=13a5a27a3 (2n 1)an-1， (1) (1) a得aSn=a3a25a3(2n 3)an-1(2n 1)an， 2两式相减得 (1 a)Sn=12a2a22a3 2an-1(2n1)an =2(

8、1 aa2a3 an-1)(2n1)an-1 =1)12(1)112nnanaa（所以 :aanaaSnnn11)12()1()1 (22例 3已知数列na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n证明：数列11 na是等比数列；数列nna的前n项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页解： 121nnnaaa，111111222nnnnaaaa，11111(1)2nnaa又123a，11112a，数列11na是以12为首项，12为公比的等比数列由知11111112 22nnna，即1112nna，2nnnn

9、na设23123222nT2nn，则23112222nT1122nnnn，由得2111222nT11111(1)1122112222212nnnnnnnnn，11222nnnnT又123(1)2n nn数列nna的前n项和22(1)4222222nnnnn nnnnS例 4：已知数列 an是等差数列，且 a1=2，a1+ a2+ a3=12，令 bn= anxn(xR)，求数列 bn 的前 n 项和公式。裂项相消法：例 1求和：)( ,32114321132112111*Nnn解：) 1(2211kkkak，) 1n(n13212112Sn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

10、归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页1211121113121211 2nnnnn例 2：数列 an 通项公式是11nnan，假设前 n 项的和为 10，求项数。例 3：求和) 12()12()2(534312222nnnSn分部求和法：例 1已知等差数列na的首项为1，前 10 项的和为145，求.242naaa解：首先由3145291010110ddaS则12(1)323 22nnnaandna22423(2 22 ) 2nnaaan12(1 2 )323 2261 2nnnn例 2已知数列an的通项公式为为偶数）（为奇数）（n2n5n6ann，求其前 n 项和 Sn

11、 例 3：1，1+2，1+2+3， 1+2+3+n；例 4：22222)1()1()1(nnxxxxxx倒序相加法：例 1 sin21+ sin22+ sin23+ sin288+ sin289的值例2设 数 列na是 公 差 为d， 且 首 项 为da0的 等 差 数 列 ， 求 和 ：nnnnnnCaCaCaS11001解：因为nnnnnnCaCaCaS11001100111nnnnnnnnCaCaCaS21+ 2得01101102()()()nnnnnnnnSaaCaaCaa C0100()()()2nnnnnnnaaCCCaa110() 2nnnSaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页例 3设221)(xxf，利用课本推导等差数列的前n 项和公式的方法，可求得f(-5)+ f(-4)+ + f(5)+ f(6) 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页