2022年高中数学圆与方程知识点 .pdf

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1、知识点精编高中数学圆与方程知识点分析1.圆的方程：（1）标准方程：222()()xaybr（圆心为 A(a,b), 半径为 r）（2）圆的一般方程：022FEyDxyx（0422FED）圆心（ -2D，-2E）半径FED421222.点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d与r在大小关系判断3.直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。d=r 为相切， dr 为相交， d0 为相交， 0 为相交， 0 为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系题型一求圆的方

2、程例 1. 求过点 A( 2,0)，圆心在 (3, 2)圆的方程。变式 1求过三点A（0，0） ，B（1，1） ，C（4，2）的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标。解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx（也可设圆的标准方程求）(0, 0),(11AB，） ,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于FED,的三元一次方程组. 即02024020FEDFEDF解此方程组，可得：0,6,8FED王新敞所求圆的方程为：06822yxyx王新敞精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，

3、共 5 页知识点精编542122FEDr；32,42FD王新敞得圆心坐标为（ 4，-3 ）. 变式 2（01 年全国卷 . 文）过点 A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线xy20 上的圆的方程是（ C ）22.(3)(1)4A xy22.(3)(1)4Bxy22.(1)(1)4C xy22.(1)(1)4Dxy变式 3. 求圆心在直线270 xy上的圆 C与 y 轴交于两点A(0,-4), B(0,-2)圆的方程。解：圆心在线段AB的垂直平分线y =-3上，代入直线2x-y-7=0 得 x=2 变式 4求与 x 轴相切，圆心在直线3x-y=0 上，且被直线y=x 截得的弦长等于27的

4、圆的方程 . 变式 5求圆22412390 xyxy关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程 . 题型二求轨迹方程与切线方程例 1. 一曲线是与定点O(0,0) ，A(3,0) 距离的比是12的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程变式 1. 已知点 P （10，0），Q为圆2216xy上一点动点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点 M的轨迹方程。解：设 M(x,y) 为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0). 因为 M 是 PQ 的中点 ,所以.2.102,20,2100000yyxxyyxx即(*) 又因为 Q(x0,y0)在圆 x2+y2=16 上,所以 x02+y02=16.将(*) 代入得(2x-10

5、)2+(2y)2=16. 故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页知识点精编变式 2. 由动点 P向221xy引两条切线PA、 PB,切点分别为A、 B, 60APB, 求动点 P 的轨迹方程 .解：设 P(x,y) 因为60APB, 所以30OPA又因为 OAAP ，所以22OPOA，即222xy化简得224xy故所求的轨迹方程为224xy例 2.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程 . 解 :设P(x,y)为 所 求 切 线 上的 任 意

6、一 点 , 当 点M 不 在 坐 标 轴 上 时 , 由 OM MP 得kOMkMP=-1, 即00 xyxxyy00=-1, 整理得x0 x+y0y=r2. 可以验证 , 当点 M在坐标轴上时 ,P 与 M重合 ,同样适合上式 , 故所求的切线方程是x0 x+y0y=r2.变式：从点 P(4,5)向圆 (x2)2 y2=4 引切线 ,求切线方程 . 解:把点 P(4,5) 代入(x 2)2y2=4,得(42)252=294, 所以点 P 在圆 (x 2)2y2=4 外. 设切线斜率为k,则切线方程为y5=k(x 4), 即 kxy54k=0. 又圆心坐标为 (2,0),r=2.因为圆心到切线

7、的距离等于半径, 即1|4502|2kkk=2,k=2021. 所以切线方程为21x20y16=0. 当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4. 题型三直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系例 1.(2006 江苏高考 )圆(x-1)2+(y+3)2=1 的切线方程中有一个是( C ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0 变式:(2006 上海高考 )已知圆x2-4x-4+y2=0 的圆心是点P,则点P 到直线x-y-1=0的距离是_.答案：22变式2：例 2.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程. (1)(x+2)2+(y-2)2=1 与(x-2)2+(

8、y-5)2=16, (2)x2+y2+6x-7=0 与 x2+y2+6y-27=0. 解 :(1) 根 据 题 意 , 得 两 圆 的 半 径 分 别 为r1=1和r2=4, 两 圆 的 圆 心 距d=22)25()2(2=5. 因为 d=r1+r2,所以两圆外切 . (2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r1=4 和 r2=6, 两圆的圆心距d=23)03()30(22. 因为 |r1-r2|dr1+r2,所以两圆相交 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，

9、共 5 页知识点精编变式 1 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0, 圆 C2:x2+y2-4x+2y-11=0, 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 .解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 A、B 两点坐标满足方程组)2(.01124)1(,01622222yxyxyxyx-,得 3x-4y+6=0. 因为 A、B 两点坐标都满足此方程,所以 3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆 C1的圆心 (-1,3),半径 r=3. 又点 C1到直线的距离为d=22)4(3|63431|=59. 所以 AB=2524)59(322222dr,即两圆的公共

10、弦长为524. 题型四求关于弦长问题例 4.已知直线 l:y=2x 2,圆 C:x2y22x4y1=0,请判断直线l 与圆 C 的位置关系 ,若相交 ,则求直线l 被圆 C 所截的线段长 . 解法一： 由方程组.0142,2222xxyxxy解得,4, 154,53yxyx或即直线 l 与圆 C 的交点坐标为 (53,54)和(1,4),则截得线段长为558. 解法二： 由方程组 (略 )消去 y,得 5x22x3=0, 设直线与圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点为 (-51,-512), 所以,53,522111xxyx得(x1-x2)2=2564, 则所截线段长为

11、|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=558. 解 法 三 ： 圆 心C 为 ( 1, 2), 半 径r=2,设 交 点 为 A 、 B, 圆 心C 到 直 线 l 之 距d=552, 所 以5542|22drAB.则所截线段长为 |AB|=558. 变式 1： 已知过点 M(-3,-3) 的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为4 5,求直线 l 的方程 .解： 将圆的方程写成标准形式有x2+(y+2)2=25,所以圆心为 (0,-2),半径为5.因为直线l 被圆x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为45,所以弦心距为22)52(5=5,圆心到直线的距离为5,由于直

12、线过点M(-3,-3), 所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3), 即 kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5,因此d=1|332|2kk=5,两边平方整理得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页知识点精编2k2-3k-2=0,解得 k=21,k=2.所以所求的直线l 的方程为 y+3=21(x+3)或 y+3=2(x+3), 即 x+2y+9=0 或 2x-y+3=0. 变式 2：题型五 . 求距离最大最小值例 1.已知点 P(x,y)是圆22(3)(4)9xy上的任一点，求x2y2最小值与最大值。解：依题意，圆心为（1，2） ，半径 r=3. 设圆心（ 1，2）到原点距离为d=22345, x2y2最小值为 (d-r)2 = 4, 最大值为 (d+r)2=64 变式 1：求圆 x2+y2+4x-2y+4=0 上的点到直线y=x-1 的最近距离和最远距离. 解:圆方程化为 (x+2)2+(y-1)2=1, 圆心 (-2,1)到直线 y=x-1 的距离为d=22) 1(1|112|=22, 所以所求的最近距离为22-1,最远距离为22+1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页