2022年高中数学基本不等式知识点归纳及练习题 .pdf
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1、学习必备欢迎下载高中数学基本不等式的巧用1基本不等式:abab2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR);(2)baab2(a,b 同号);(3)abab22(a,bR);(4)a2b22ab22(a,bR)3算术平均数与几何平均数设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为ab2,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,则(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最小值是 2 p.(简记:积定和
2、最小 ) (2)如果和 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最大值是p24.(简记:和定积最大 ) 一个技巧运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2b22ab 逆用就是aba2b22;ab2ab(a,b0)逆用就是 abab22(a,b0)等还要注意 “添、拆项 ”技巧和公式等号成立的条件等两个变形(1)a2b22ab22ab(a,bR,当且仅当 ab 时取等号 );(2) a2b22ab2ab21a1b(a0,b0,当且仅当 ab 时取等号 )这两个不等式链用处很大,注意掌握它们三个注意(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定
3、、三相等”的忽精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“ 拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致应用一:求最值例 1:求下列函数的值域(1)y 3x 212x 2(2)yx1x解题技巧:技巧一:凑项例 1:已知54x,求函数14245yxx的最大值。技巧二:凑系数例 1. 当时,求(82 )yxx的最大值。技巧三: 分离
4、例 3. 求2710(1)1xxyxx的值域。技巧四:换元技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数( )af xxx的单调性。例:求函数2254xyx的值域。练习求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值 . ( 1)231,(0)xxyxx(2)12,33yxxx (3)12sin,(0,)sinyxxx2已知01x,求函数(1)yxx的最大值 . ;3203x,求函数(2 3 )yxx的最大值 . 条件求最值1. 若实数满足2ba,则ba33的最小值是 . 变式:若44loglog2xy,求11xy的最小值 .并求x,y的值技巧六:整体代换:多次连用最值定理
5、求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。2:已知0,0 xy,且191xy,求xy的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习必备欢迎下载变式:(1)若Ryx,且12yx,求yx11的最小值(2) 已知Ryxba,且1ybxa,求yx的最小值技巧七、已知x,y为正实数,且x 2y 221,求x1y2的最大值 . 技巧八:已知a,b为正实数, 2baba 30,求函数y1ab的最小值 . 技巧九、取平方5、已知x,y为正实数, 3x 2y10,求函数W3x2y的最值 . 应用二:利用基本不等式证明不等式
6、1已知cba,为两两不相等的实数,求证:cabcabcba2221)正数a,b,c满足abc1,求证: (1 a)(1 b)(1 c) 8abc例 6:已知a、b、cR,且1abc。求证:1111118abc应用三:基本不等式与恒成立问题例:已知0,0 xy且191xy,求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。应用四:均值定理在比较大小中的应用:例:若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba,则RQP,的大小关系是 . 解: (1)y3x 212x 223x 212x 26 值域为 6 ,+)( 2)当x0 时,yx1x2x1x2;当x0 时,yx1x = (x1x)
7、 2x1x = 2 值域为(,2 2 ,+)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习必备欢迎下载解:因450 x,所以首先要 “调整” 符号, 又1(42)45xx不是常数, 所以对42x要进行拆、 凑项,5,5404xx,11425434554yxxxx231当且仅当15454xx,即1x时,上式等号成立,故当1x时,max1y。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。解析:由知,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定值
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