2022年高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理 .pdf

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1、数学竞赛辅导讲稿平面几何1 第八讲圆幂定理一、知识要点：1、 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即：如图， PA PC=PB PD BADCPO2、 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。即：如图， PA2=PB PCPABC3、 割线定理： 从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A、 B、 C、 D ， 则有PA PB=PC PD。PABCD二、要点分析：1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分或外分成的两条线段的积为定值该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值

2、 ，即）定值（22rOPPBPA2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页数学竞赛辅导讲稿平面几何2 三、例题讲解：例 1、已知：如图，在ABC中， AM 、AD 分别是其中线和角平分线，ADM 交 AB 于L,交 AC 于 N,求证： BL=CN ACBMDNL例 2、如图， O1与 O2相交于

3、M、N,D 是 NM 的延长线上的一点，O2O1延长线交O1于 B、A,AD 交 O1于 C,MN 交 O2O1、 BC 于 E、G,求证： EM2=EDEG OBO12MNDACEG例 3、在 RtABC中， D 在斜边 BC 上， BD=4DC, 一圆过点C，且与 AC 相交于 F，与AB 相切于 AB 的中点 G,求证： ADBF ABCGDF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页数学竞赛辅导讲稿平面几何3 例 4、如图， AB是 O中任意一弦， M为 AB的中点，过M任作两条弦CD 、EF,连接 CE 、DF分别

4、交 AB于 G 、H,求证： MG=MH (蝴蝶定理 ) ABMCDEFGH例 5、ABCD 是圆内接四边形，AC是圆的直径， BD AC,AC与 BD的交点为E,点 F 在 DA的延长线上，连接BF,点 G在 BA的延长线上，使得DG BF,点 H在 GF的延长线上 ,CHGF,证明： B、E、F、H四点共圆。ACBDEFGH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页数学竞赛辅导讲稿平面几何4 第八讲圆幂定理练习班级： _：_ 1、 O1与 O2外切于点P，过 P 的直线与 O1， O2分别相交于点A、C,AB 切 O2于

5、 B, O1与 O2的半径分别是5、 3，则 AC：AB=_. PO2O1CAB2、如图： O 与等边ABC交于点D、E、F、G、H、J,如果 GF=13,FC=1,AG=2,HJ=7,那么 DE=_. ABCHGFEJD3、 如图：在ABC中，90BAC,D 在 BC 上，F 在 AC 上，G 是 AB 的中点，且满足 AG2=A FAC,BFAD,则 BD:DC=_. ABCFDG4、 AD 、AE分别为ABC的角平分线和中线，过点A、D、E 的圆和 AB 、AC 分别交于M 、N，求证： BM=CN ABCDEMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

6、 - - - -第 4 页，共 5 页数学竞赛辅导讲稿平面几何5 5、 如图， B是 O的切线 PA的中点，过B引 O的割线与 O交于点 D、C,PD 的延长线交 O于 E,PC交 O于 F, 求证： AP EF APCBDEOF6、(1) 、已知，如图，四边形ABCD 内接于圆，求证：AB DC+BC AD=AC BD ABCD2 、已知，如图，在凸四边形ABCD 中， AB DC+BC AD=AC BD ，求证：四边形ABCD为圆内接四边形。ABCD附加题：1、 集合 A=11),(2xyxyyx的子集的个数为_ 2、 已知三个非零实数cba, 集合 A=,bacacbcba， 记x为集合 A的所有元素之和，y为集合 A的所有元素之积，假设yx2，则yx的值是 _. 3、 集合 A=1,3,5,7， B=2,4,6,8,20,假设 C=SS=a+b,aA,bB , 则集合 C的元素个数为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页