2022年高三自主诊断试题理科数学 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆高三自主诊断试题数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上3第卷必须用0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带不

2、按以上要求作答的答案无效第卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知11abii，其中,a b是实数，i是虚数单位，则|abiA3B2C5D52. 已知集合2|lg(2)Mx yxx，22|1Nx xy，则MNA 1,2)B(0,1)C(0,1D3. 高三（ 3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A30B31C32D334. 已知函数22 ,0,( )|log|,0,

3、xxf xxx，则使( )2fx的x的集合是A1,44B1,4C11, 4D 11,44精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆5. 已知MOD函数是一个求余函数，其格式为( ,)MOD n m，其结果为n除以m的余数，例如(8,3)2MOD. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为A4B5C6D76. 设,x y满足约束条件2311xxyyx，则下列不等式恒成立的是A3xB4yC280 xyD 210 xy7. “2a”是“函数axxf)(在 1,)上单调递增”的A充分不

4、必要条件B必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A18种B24种C36种D 72种9. 定义在R上的奇函数( )fx满足(1)()f xfx，当1(0, 2x时，) 1(log)(2xxf，则( )f x在区间3(1,)2内是A减函数且( )0f xB减函数且( )0f xC增函数且( )0f xD增函数且( )0fx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆10. 已知双曲线22221

5、(0,0)xyabab的右焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若OFP的面积为228ab，则该双曲线的离心率为A53B73C103D 153第卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分11. 已知不共线的平面向量a，b满足( 2,2)a，()()abab， 那么| |b；12.某 班 有50名 同 学 ， 一 次 数 学 考 试 的 成 绩X服 从 正 态 分 布2(110,10)N， 已 知(100110)0.34PX，估计该班学生数学成绩在120分以上的有人；13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥

6、的体积是；14. 若函数( )sin()(0,0)6f xAxA的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为；15.若不等式2222()yxc xxy对任意满足0 xy的实数, x y恒成立，则实数c的最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆三、解答题：本大题共6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12 分）已 知 向 量2( sin,cos)33xxak,(cos,)3xbk, 实 数k为 大 于 零 的 常 数 ， 函 数( )f x

7、a b,Rx，且函数( )fx的最大值为212. （）求k的值；（）在ABC中，, ,a b c分别为内角,A B C所对的边，若2A，()0fA,且2 10a,求AB AC的最小值 . 17 （本小题满分12 分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km）06x612x1222x票价（单位：元）345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里 .已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13 . （）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；

8、（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆18 （本小题满分12 分）如图，在正四棱台1111ABCDA BC D中，11ABa，2ABa，12AAa，E、F分别是AD、AB的中点 . （）求证：平面11EFB D平面1BDC；（）求二面角1DBCC的余弦值的大小. 注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台. 19 （本小

9、题满分12 分）设na是等差数列，nb是各项都为正整数的等比数列，且111ab，13250a b，82345abaa，*Nn（）求na，nb的通项公式；（）若数列nd满足218 log11( )2nbnnd d（*Nn） ，且116d，试求nd的通项公式及其前n项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆20 （本小题满分13 分）已知抛物线1:C22(0)ypx p的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆:C229xy上（）求抛物线1C的方程；（） 已知椭圆2:C2222

10、1 (0)xymnmn的一个焦点与抛物线1C的焦点重合， 若椭圆2C上存在关于直线:l1143yx对称的两个不同的点，求椭圆2C的离心率e的取值范围21 （本小题满分14 分）已知函数1( )1lnaf xxx（a为实数）（）当1a时，求函数( )f x的图象在点11(,( )22f处的切线方程；（） 设函数2( )32h aaa（其中为常数），若函数( )f x在区间(0, 2)上不存在极值，且存在a满足( )h a18，求的取值范围；（）已知*Nn，求证：11111ln(1)12345nn高三自主诊断试题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

11、 -第 6 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10 小题每小题5 分，共 50 分D C B A B C A C B C 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分11.2 212.813.3214 23215 224三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分12 分）解： （）由已知2( )( sin,cos) (cos,)333xxxf xa bkk221cos12223sincoscossin(sincos)3332322332xxxxxkxxkkk

12、kk 2 分2222222(sincos)sin()2232322342kxxkkxk5 分因为Rx，所以( )f x的最大值为( 21)2122k，则1k6 分（）由（）知，221( )sin()2342xf x，所以221( )sin()02342AfA化简得22sin()342A因为2A，所以25123412A则2344A，解得34A8 分因为22222240cos222bcabcAbcbc，所以22240bcbc则2224022bcbcbcbc，所以4020(22)22bc 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共

13、 14 页学而不思则惘，思而不学则殆则32cos20(12)42AB ACAB ACbc所以AB AC的最小值为20(12)12 分17 （本小题满分12 分）解： （）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P 2 分所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133PP4 分（）由题意可知，6,7,8,9,10则111(6)4312P11111(7)43234P1111111(8)4343233P11111(9)23434P111(10)4312P10 分所以的分布列为678910P11214

14、1314112则11111( )67891081243412E12 分18 （本小题满分12 分）证明： （）连接11AC，AC，分别交11,B D EF BD于,M N P，连接1,MN C P由题意，BD11B D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆因为BD平面11EFB D，11B D平面11EFB D，所以BD平面11EFB D 2 分又因为11,2A Ba ABa，所以1111222MCACa又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以1242NPACa所以1MCNP又因为AC11AC

15、，所以1MCNP所以四边形1MC PN为平行四边形所以1PCMN因为1PC平面11EFB D，MN平面11EFBD，所以1PC平面11EFB D因为1PCBDPI，所以平面11EFB D平面1BDC5 分（）连接1AN，因为11AMMCNP，又1A M NP所以四边形1ANPM为平行四边形，所以PM1A N由题意MP平面 ABCD ，1A N平面 ABCD ，1A NAN因为11A Ba，2ABa，12AAa，所以221162A NAAANaMP因为 ABCD 为正方形，所以ACBD所以，以,PA PB PM分别为, ,x y z轴建立如图所示的坐标系则(0,2 ,0)Ba，(0,2 ,0)D

16、a，(2 ,0,0)Ca，126(,0,)22Caa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆所以(0, 2 2 ,0)BDauuu r，126(,2 ,)22BCaaauuu r，(2 ,2 ,0)BCaauuu r7 分设1111(,)nxy zu u r是平面1BDC的法向量，则11100nBCnBDu u r uuu ruu r uu u r11112620222 20axayazay，10y，令11z，则13x，所以1( 3,0,1)nu u r9 分设2222(,)nxyzuu r是平

17、面1BCC的法向量，则21200nBCnBCuu r uuu ruu r uu u r22222262022220axayazaxay令21y，则21x，233z所以23( 1,1,)3nuu r11 分所以12121233073cos,72123nnn nnnu u r uu ru r u u ruu r uu r所以二面角1DBCC的余弦值的大小为7712 分19 （本小题满分12 分）解： （）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且(1 12 )50(1 7 )(1 2 )(1 3 )5d qdqdd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

18、- - - -第 10 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆即(1 12 )5026d qdq解得：22dq，或1112256dq，由于nb是各项都为正整数的等比数列，所以22dq2 分从而1 (1)21nandn，112nnnbq4 分（）12nnb21lognbn811( )2nnnd d，7121( )2nnndd两式相除：212nndd，由116d，8 1121( )1282d d可得：28d135,d d d是以116d为首项，以12为公比的等比数列；246,ddd是以28d为首项，以12为公比的等比数列6 分当n为偶数时，12128 ( )16()22nnnd7 分13124

19、()()nnnSdddddd22221116 1( ) 8 1( ) 11222321( ) 161( ) 4848()112221122nnnnn 9 分当n为奇数时，1121216()162()22nnnd10 分13241()()nnnSdddddd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆1122112211161( )81( )11222321( )161()4832 2()112221122nnnnn216() ,2216 2() ,2nnnd，24848() ,224832 2()

20、 ,2nnnS12 分20 （本小题满分13 分）解： （）设点G的坐标为00(,)xy，由题意可知022002003292pxxyypx2 分解得：001,2 2,4,xyp所以抛物线1C的方程为：28yx4 分（）由（）得抛物线1C的焦点(2,0)F椭圆2C的一个焦点与抛物线1C的焦点重合椭圆2C半焦距2222,4cmnc5 分设1122(,),(,)M x yN xy是 椭 圆2C上 关 于 直 线:l1143yx对 称 的 两 点 ，:4MNyx由22221 4xymnyx22222222(16)80mnxmxmm n（ *）则42222222644(16)()0mmnmm n，精选学

21、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆得：222160mn7 分对于（ *） ，由韦达定理得：21222816mxxmn212122224()216nyyxxmnMN中点Q的坐标为2222224(,)1616mnmnmn将其代入直线:l1143yx得：222222141164163nmmnmn9 分由消去，可得：2 629217m，椭圆2C的离心率2cemm，629137e13 分21 （本小题满分14 分）解： （）当1a时，11( )1lnf xxx，211( )fxxx，则1()4222f，

22、1()12ln 2ln 212f函数( )f x的图象在点11(,( )22f的切线方程为：1(ln 21)2()2yx，即2ln 220 xy4 分（）221( )aaxfxxxx，由( )0fxxa由于函数( )f x在区间(0, 2)上不存在极值，所以0a或2a5 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆由于存在a满足( )h a18，所以max( )h a186 分对于函数2( )32h aaa，对称轴34a当304或324，即0或83时，2max39( )()48h ah，由max

23、( )h a1829188，结合0或83可得：19或83当3014，即403时，max( )(0)0h ah，由max( )h a18108，结合403可知：不存在；当3124，即4833时，max( )(2)68h ah；由max( )h a181688，结合4833可知：13883综上可知：19或1389 分（）当1a时，21( )xfxx， 当( 0 , 1 )x时，( )0fx，( )f x单调递增； 当(1,)时，( )0fx，( )f x单调递减，11( )1lnfxxx在1x处取得最大值(1)0f即11( )1ln(1)0f xfxx，11lnxxx，11 分令1nxn，则11lnnnn，即1ln(1)lnnnn，ln(1)ln(1)ln1ln(1)lnlnln(1)(ln 2ln1)nnnnnn1111121nnn故11111ln(1)12345nn 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页