2022年高中数学三角函数知识点及例题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载2010 高中数学竞赛标准讲义：三角函数一、基础知识定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360 度=2弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值 |=rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（ x,y），到原点的距离为r,则

2、正弦函数 sin=ry,余弦函数 cos=rx,正切函数 tan=xy，余切函数 cot=yx，正割函数 sec=xr,余割函数 csc=.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=cot1,sin=csc1，cos=sec1；商数关系： tan=sincoscot,cossin；乘积关系： tancos=sin,cotsin=cos；平方关系： sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. 定理 2 诱导公式（） sin(+)= -sin, cos( + )=-cos, tan(+ )=tan, cot(+ )=cot;（） sin(-)=-s

3、in, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （） sin( -)=sin, cos( -)=-cos, tan=( -)=-tan, cot( -)=-cot; （） sin2=cos, cos2=sin, tan2=cot（奇变偶不变，符号看象限）。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数 . 有界性：当且仅当 x=2kx+2时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-2时, y 取最小值 -1。对称性：直线 x=k+2均为其对

4、称轴，点（ k, 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里 kZ. 定理 4 余弦函数的性质， 根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间 2k, 2 k+上单调递减，在区间 2k -, 2 k 上单调递增。最小正周期为2 。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=k均为其对称轴，点0,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2k时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k - 时，y 取最小值 -1。值域为 -1，1。这里 kZ. 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+2)在开区间 (k -2, k+2)上为增函数, 最小正周期为 ，值域为（ -，+），点（ k

5、，0），（ k+2，0）均为其对称中心。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载定理 6 两角和与差的基本关系式： cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=.)tantan1()tan(tan定理 7 和差化积与积化和差公式 : sin+sin=2sin2cos2,sin-sin=2sin2cos2, cos+cos=2cos2cos2, cos-cos=-2sin2sin2, sincos=21sin(+)+sin(-),cossin=21sin(+)-

6、sin(-), coscos=21cos(+)+cos(-),sinsin=-21cos(+)-cos(-). 定理 8 倍角公式 :sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1(tan22定理 9 半角公式 :sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1(, tan2=)cos1 ()cos1 (=.sin)cos1()cos1(sin定理 10 万能公式 : 2tan12tan2sin2, 2tan12tan1cos22, .2tan12tan2tan2定理 11 辅助角公式：如果a, b 是实数且 a2+b20，则

7、取始边在 x 轴正半轴，终边经过点 (a, b)的一个角为 ，则 sin=22bab,cos=22baa，对任意的角 . asin+bcos=)(22basin(+). 定理 12 正弦定理：在任意 ABC 中有RCcBbAa2sinsinsin，其中 a, b, c 分别是角 A，B，C 的对边， R 为ABC 外接圆半径。定理 13 余弦定理：在任意 ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。定理 14 图象之间的关系： y=sinx 的图象经上下平移得y=sinx+k 的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变

8、，横坐标变为原来的1，得到 y=sinx(0 )的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）； y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载到 y=Asinx 的图象（振幅变换）； y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅 )的图象向右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。定义 4 函数 y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1, 1)

9、，函数y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1, 1). 函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集， 如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是 x|x=n+( -1)narcsina, nZ。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+ arctana, kZ。恒等式： arcsina+arccosa=2；arc

10、tana+arccota=2. 定理 16 若2,0 x，则 sinxx-1，所以 cos0 ,2x，所以 sin(cosx) 0,又 00，所以 cos(sinx)sin(cosx). 若2,0 x，则因为sinx+cosx=2cos22sin222xx(sinxcos4+sin4cosx)=2 sin(x+4)2 2，所以 0sinx2-cosxcos(2-cosx)=sin(cosx). 综上，当 x(0, )时，总有 cos(sinx)0，求证：. 2sincossincosxx【证明】若+2，则 x0，由2-0得 coscos(2-)=sin, 所以 0sincossin(2-)=c

11、os, 所以 0sincos1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载所以.2sincossincossincossincos00 xx若+2，则 x0，由 02-cos(2-)=sin0, 所以sincos1。又 0sin1，所以2sincossincossincossincos00 xx，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3最小正周期的确定。例 4 求函数 y=sin(2cos| x|)的最小正周期。【解】首先， T=2是函数的周期（事实上，因为co

12、s(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx）；其次，当且仅当 x=k+2时，y=0（因为|2cosx|2 ）, 所以若最小正周期为T0，则 T0=m , m N+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以 T0=2 。4三角最值问题。例 5 已知函数 y=sinx+x2cos1，求函数的最大值与最小值。【解法一】令 sinx=4304sin2cos1,cos22x, 则有 y=).4sin(2sin2cos2因为4304，所以42，所以)4sin(01，所以当43，即 x=2k -2(kZ)时，ymin=0，当4，即 x=2k+2(kZ)时，ymax=2. 【解法二】因

13、为 y=sinx+)cos1(sin2cos1222xxx, =2（因为 (a+b)22(a2+b2)），且|sinx|1x2cos1，所以 0sinx+x2cos12，所以当x2cos1=sinx，即 x=2k+2(kZ)时, ymax=2，当x2cos1=-sinx，即 x=2k -2(kZ)时, ymin=0。例 6 设 0 ，求 sin)cos1 (2的最大值。【解】因为 00, cos20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载所以 sin2（1+cos）=2sin2cos22=2cos2c

14、os2sin22222322232cos2cos2sin22=.9342716当且仅当 2sin22=cos22, 即 tan2=22, =2arctan22时，sin2(1+cos )取得最大值934。例 7 若 A，B，C 为ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。【解】因为 sinA+sinB=2sin2BAcos2sin22BABA, sinC+sin23sin223cos23sin23CCC, 又因为3sin243cos43sin223sin2sinCBACBACBA，由，得 sinA+sinB+sinC+sin34sin3, 所以 sinA+sinB+sin

15、C3sin3=233, 当 A=B=C=3时，（ sinA+sinB+sinC）max=233. 注：三角函数的有界性、 |sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5换元法的使用。例 8 求xxxxycossin1cossin的值域。【解】设 t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222xxx因为, 1)4sin(1x所以.22t又因为 t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx=212t，所以211212ttxy，所以.212212y因为 t-1，所以121t，所以 y-1. 精选学习资

16、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载所以函数值域为.212,11,212y例 9 已知 a0=1, an=11121nnaa(nN+)，求证： an22n. 【证明】由题设 an0，令 an=tanan, an2, 0，则an=.tan2tansincos1tan1sectan1tan111111112nnnnnnnnaaaaaaaa因为21na，an2,0，所以 an=121na，所以 an=.210an又因为 a0=tana1=1，所以 a0=4，所以nna214。又因为当 0 xx，所以.22tan22n

17、nna注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当 x2, 0时，有 tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6图象变换： y=sinx(xR)与 y=Asin(x+)(A, , 0). 由 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到 y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx 的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，最后向左平移个单位，得到 y=Asin(x+)的图象。例 10 例 10 已知 f(x)=s

18、in(x+)(0, 0)是 R 上的偶函数，其图象关于点0,43M对称，且在区间2,0上是单调函数，求和的值。【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，对任意 xR 成立。又 0 ，解得=2，因为 f(x)图象关于0 ,43M对称，所以)43()43(xfxf=0。取 x=0，得)43(f=0，所以 sin.0243所以243k(kZ)，即=32(2k+1) (kZ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载又0，取 k=0

19、 时，此时 f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数；取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数；取 k=2 时，310，此时 f(x)=sin(x+2)在0，2上不是单调函数，综上，=32或 2。7三角公式的应用。例 11 已知 sin( -)=135，sin(+)=- 135，且 - ,2，+2,23，求 sin2,cos2的值。【解】因为 - ,2，所以 cos( -)= -.1312)(sin12又因为 +2,23，所以 cos(+)=.1312)(sin12所以 sin2=sin( +)+( -)= sin(+)cos( -)+ cos(+)si

20、n( -)=169120, cos2=cos( +)-( -)= cos( +)cos( -)+ sin( +)sin( -)= -1. 例 12 已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，且BCAcos2cos1cos1， 试求2cosCA的值。【解】因为 A=1200-C，所以 cos2CA=cos(600-C)，又由于)120cos(coscos)120cos(cos1)120cos(1cos1cos1000CCCCCCCA=2221)2120cos()60cos(2)2120cos(120cos21)60cos(60cos2000000CCCC，所以232cos22cos2

21、42CACA=0。解得222cosCA或8232cosCA。又2cosCA0，所以222cosCA。例 13 求证： tan20 +4cos70 . 【解】tan20 +4cos70 =20cos20sin+4sin2020cos40sin220sin20cos20cos20sin420sin20cos40sin10cos30sin220cos40sin40sin20sin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载.320cos20cos60sin220cos40sin80sin三、基础训练题1已知锐角 x

22、 的终边上一点 A 的坐标为 (2sin3, -2cos3)，则 x 的弧度数为 _ 。2适合xxxxcos1cos1cos1cos1-2cscx的角的集合为 _。3给出下列命题： （1）若 ，则 sin sin ；（2）若 sin sin,则 ；（3）若 sin0 ，则 为第一或第二象限角；（ 4）若 为第一或第二象限角，则sin0. 上述四个命题中，正确的命题有 _个。4已知 sinx+cosx=51(x(0, )，则 cotx=_ 。5简谐振动 x1=Asin3t和 x2=Bsin6t叠加后得到的合振动是x=_。6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5c

23、os(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第_象限角。7满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有_个。8已知223x，则xcos21212121=_。940cos170sin)10tan31(50sin40cos=_。10cot15 cos25 cot35 cot85 =_。11已知 , (0, ), tan212, sin( +)=135，求 cos的值。12已知函数 f(x)=xxmcossin2在区间2,0上单调递减，试求实数m 的取值范围。四、高考水平训练题1已知一扇形中心角是a,所在圆半径为 R，若其周长为定值c(c0)，当扇形面积最大时，

24、a=_. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是 _. 3. 函数xxycos2sin2的值域为 _. 4. 方程xxlg62sin2=0的实根个数为 _. 5. 若 sina+cosa=tana, a2,0，则3_ a（填大小关系） . 6. (1+tan1 )(1+tan2 )(1+tan44 )(1+tan45 )=_. 7. 若 0yx0, k=-1，求 f(x)的单调区间；（ 3）试求最小正整数k，使得当 x 在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、联赛一试水平训练题（一）1若 x, yR，则 z=cos

25、x2+cosy2-cosxy的取值范围是 _. 2已知圆 x2+y2=k2至少盖住函数 f(x)=kxsin3的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是 _. 3f()=5+8cos +4cos2+cos3的最小值为 _. 4方程 sinx+3cosx+a=0 在（0，2 ）内有相异两实根 ， ，则 + =_. 5函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是 _. 6设 sina0cosa, 且 sin3acos3a，则3a的取值范围是 _. 7方程 tan5x+tan3x=0 在0， 中有_个解. 8若 x, yR, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小

26、值为 _. 9若 00)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 g(x)=12a的图象所围成的封闭图形的面积是_. 2若3,125x，则 y=tan32x-tan6x+cos6x的最大值是 _. 3在 ABC 中，记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，则BACcotcotcot=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载4设 f(x)=x2- x, = arcsin31, = arctan45, =arccos31, = arccot45, 将 f( ), f( )

27、, f( ), f( )从小到大排列为 _. 5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为_. 6在锐角 ABC 中，cosA=cos sin, cosB=cos sin, cosC=cos sin ，则tan tan tan=_.7已知矩形的两边长分别为tan2和 1+cos (00恒成立，则的取值范围是 _. 10已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz =0，则 cos2x+ cos2y+ cos2z=_. 11已知 a1, a2, ,an是 n 个

28、实常数，考虑关于x 的函数： f(x)=cos(a1+x)+21cos(a2+x) +121ncos(an+x)。求证：若实数 x1, x2满足 f(x1)=f(x2)=0，则存在整数 m，使得 x2-x1=m.12在 ABC 中，已知3coscoscossinsinsinCBACBA，求证：此三角形中有一个内角为3。13求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|58n. 六、联赛二试水平训练题1已知 x0, y0, 且 x+y0（wR）. 2. 已知 a 为锐角， n2, nN+，求证：1cos11sin1aann2n-212n+1. 3.

29、 设 x1, x2, xn, y1, y2, yn,满足 x1=y1=3, xn+1=xn+21nx , yn+1=211nnyy，求证：2xnyn3(n2). 4已知 ， ， 为锐角，且 cos2+ cos2+ cos2=1 ，求证；43+m，求证：对一切 x2,0都有 2|sinnx-cosnx|3|sinnx-cosnx|. 7在 ABC 中，求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。8求的有的实数a, 使 cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一项均为负数。9已知i2,0，tan1tan2tann=22n, nN+, 若对任意一组满足上述条件的1，2，n都有 cos1+cos2+cosn ，求 的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页