2022年高中数学圆的方程典型题型归纳总结 .pdf

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1、精品资料欢迎下载高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：以为圆心的同心圆系方程过直线与圆的交点的圆系方程过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆， 直接应用该圆系方程， 必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。当时，得到两圆公共弦所在直线方程例 1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系， 不难得出在以为直径的圆上。

2、 而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即 . 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程，则故例 2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例 3:求证： m 为任意实数时，直

3、线 (m1)x(2m1)ym5 恒过一定点 P，并求 P 点坐标。分析：不论 m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x2y1)(xy5)0，即4y9x05yx01y2x解得，直线过定点 P（9，4）注：方程可看作经过两直线交点的直线系。例 4 已知圆 C： （x1）2（y2）225，直线 l： （2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）. （1）证明：不论 m取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 . 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明： l 的方程（ x+y4

4、）+m（2x+y7）=0. 2x+y7=0，x=3，x+y4=0，y=1，即 l 恒过定点A（3，1）. 圆心 C（ 1，2） ， AC55（半径），点 A 在圆 C 内，从而直线l 恒与圆 C 相交于两点 . （2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC21，l 的方程为2xy 5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例 5、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围 . 解：曲线24xy表示半圆)0(422yyx，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是22m或22m. 变式练习： 1.若直线 y=x+k 与曲线

5、 x=21y恰有一个公共点，则k 的取值范围是 _. 解析：利用数形结合. 答案： 1 k1 或 k=2例 6 圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答解法一： 圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1 的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意又123dr与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3 个解法二

6、： 符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1 的直线和圆的交点设mR，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载所求直线为043myx，则1431122md，511m，即6m，或16m，也即06431yxl ：，或016432yxl ：设圆9)3()3(221yxO ：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d1l与1O相切， 与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交， 与圆1O有两个公共点 即符合题意的点共 3 个说明： 对于本题，若不留心

7、，则易发生以下误解：设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d圆1O到01143yx距离为 1 的点有两个显然， 上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1类型三：圆中的最值问题例 7：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是解： 圆18)2()2(22yx的圆心为（ 2， 2） ，半 径23r，圆心到直线的距离rd25210， 直 线 与 圆 相 离， 圆 上 的 点 到 直 线 的最 大距 离 与 最 小 距 离 的差 是262)()(rrdrd. 例

8、 8(1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值(2)已知圆1)2(222yxO ：，),(yxP为圆上任一点求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值分析： (1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解： (1)(法 1)由圆的标准方程1)4()3(22yx可设圆的参数方程为,sin4,cos3yx（是参数）则2222sinsin816coscos69yxd)cos(1026sin8cos626（其中34tan） 所以361026maxd，161026mind(法 2)圆上点到原点距离的最大值1d等于

9、圆心到原点的距离1d加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离1d减去半径1所以6143221d4143222d所以36maxd16mind(2) (法 1)由1)2(22yx得圆的参数方程：,sin,cos2yx是参数则3cos2sin12xy令t3cos2sin，得tt32cossin，tt32)sin(121)sin(1322tt433433t所以433maxt，433mint即12xy的最大值为433，最小值为433精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载此时)cos(52sin

10、2cos22yx所以yx2的最大值为52，最小值为52(法 2)设kxy12，则02kykx由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由11222kkkd，得433k所以12xy的最大值为433，最小值为433令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由152md，得52m所以yx2的最大值为52，最小值为52例 9、已知对于圆1) 1(22yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范围设圆1)1(22yx上任一点)sin1,(cosP)2,0cosx，sin1y0myx恒成立0sin1cosm即)sincos1(m恒成立只须m不小于)sincos1 (的最大值设1)4sin(21)cos(sinu12maxu即12m说明： 在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆222)()(rbyax上的点设为)sin,cos(rbra()2,0)采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页