2022年高二数学数列练习题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高二数列专题1nS与na的关系：11(1)(1)nnnSnaSSn，已知nS求na，应分1n时1a；2n时，na= 两步，最后考虑1a是否满足后面的na. 2.等差等比数列等差数列等比数列定义1nnaad（2n）*1()nnaq nNa通项dnaan)1(1，() ,()nmaanm dnm，中项如果,a A b成等差数列，那么A叫做a与b的 等差中项2abA。等差中项的设法：如果,a G b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项 等比中项的设法：aq，a，aq前n项和)(21nnaanS，dnnnaSn2)1(1性质*(, ,)mnpqaaaam n p qNmnpq若2m

2、pq，则若qpnm，则2*2,(, , ,)mpqmpqaaap q n mN若则有nS、2nnSS、32nnSS为等差数列nS、2nnSS、32nnSS为等比数列函数看数列12221()()22nnadnadAnBddsnanAnBn111(1)11nnnnnnaaqAqqaasqAAqqqq判定方法（1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数；（2） 等差中项： 证明*11(2Nnaaannn，)2n（3）通项公式 :( ,naknb k b为常数 )(*Nn) （4）2nsAnBn (,A B为常数 )(*nN) （1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数（2） 中项：证明21

3、nnaa*1(,2)nanNn（3）通项公式：( ,nnacqc q均是不为 0 常数）（ 4 ）nnsAqA( ,A q为常 数，A0,q0,1 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载3.数列通项公式求法。 （1）定义法（利用等差、等比数列的定义）； （2）累加法（3）累乘法（nnncaa1型） ；(4)利用公式11(1)(1)nnnSnaSSn；(5)构造法（bkaann 1型） (6) 倒数法等4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法； （3）错位相减法； （4）裂项求和法； （5）倒序相加法

4、。5.nS的最值问题 ：在等差数列na中, 有关nS的最值问题常用邻项变号法求解：(1) 当0,01da时，满足001mmaa的项数 m使得mS取最大值 . (2) 当0,01da时，满足001mmaa的项数 m使得mS取最小值。也可以直接表示nS，利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。6. 数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决. 训练题一、选择题1. 已知等差数列na的前三项依次为1a、1a、23a，则 2011 是这个数列的( B ) A.第 1006 项B.第

5、1007 项C. 第 1008 项D. 第 1009 项2. 在等比数列na中，485756aaaa，则10S等于（A ）A1023 B1024 C511 D512 3若an 为等差数列，且 a72a41，a30，则公差 d() A2B12C.12D2 由等差中项的定义结合已知条件可知2a4a5a3，2da7a51，即 d12.故选 B. 4. 已知等差数列an的公差为正数，且a3a7=12,a4+a6=4,则 S20为( A ) A.180 B.180 C.90 D.90 5.（ 2010 青岛市） 已知na为等差数列 ,若951aaa,则28cos()aa的值为（A ）A21B23C21D

6、 236在等比数列 an中，若 a3a5a7a9a11243，则a29a11的值为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载A9 B1 C2 D3 解析由等比数列性质可知a3a5a7a9a11a57243，所以得 a73，又a29a11a7a11a11a7，故选 D. 7已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a1a512S5，且 a920，则 S11() A260 B220 C130 D110 解析S5a1a525，又12S5a1a5，a1a50.a30， S11a1a11211a3a92110

7、20211110，故选 D. 8 各项均不为零的等差数列an中，若 a2nan1an10(nN*，n2)，则 S2 009等于A0 B2 C2 009 D4 018 解析各项均不为零的等差数列 an ，由于 a2nan1an10(nN*，n2)，则 a2n2an0，an2，S2 0094 018，故选 D. 9数列 an是等比数列且 an0，a2a42a3a5a4a625，那么 a3a5的值等于A5 B10 C15 D20 解析由于 a2a4a23，a4a6a25，所以 a2 a42a3 a5a4 a6a232a3a5a25(a3a5)225.所以 a3a5 5.又 an0，所以 a3a55.

8、所以选 A. 10. 首项为 1，公差不为 0 的等差数列 an中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是() A8 B8 C6 D不确定答案B 解析a24a3 a6? (13d)2(12d) (15d) ? d(d1)0? d1，a31，a42，q2. a6a4 q4，第四项为 a6 q8.11. 在 ABC 中， tanA 是以 -4 为第三项， 4 为第七项的等差数列的公差，tanB 是以31为第三项， 9 为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 1

9、0 页学习必备欢迎下载A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12、（2009 澄海）记等差数列na的前项和为ns， 若103ss， 且公差 不为 0， 则当ns取最大值时，n（)C A4 或 5 B5 或 6 C6 或 7 D7 或 8 13在等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn，且 S2 0112 011，a1 0073，则 S2 012的值为A1 006 B2 012 C2 012 D1 006 答案C 解析方法一设等差数列的首项为a1，公差为 d，根据题意可得，S2 0112 011a12 011 2 011 12d2 011，a1 007a11 006d3

10、，即a11 005d1，a11 006d3，解得a14 021，d4.所以， S2 0122 012a12 012 2 01212d2 012(4 021)2 0122 0112 2 012(4 0224 021)2012. 方法二由 S2 0112 011a1a2 01122 011a1 0062 011， 解得 a1 0061，则S2 0122 012 a1a2 01222 012 a1 006a1 00722 012 1322 012.14设函数 f(x)满足 f(n1)2f n n2(nN*)，且 f(1)2，则 f(20)(B) A95 B97 C105 D192解析f(n1)f(n

11、)n2，f 20 f 19 192，f 19 f 18 182，f 2 f 1 12.累加，得 f(20)f(1)(1222192)f(1)1920497. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载15. 已知数列na的前n项和nS满足1) 1log2nSn（，则通项公式为（B ）A.)(2*NnannB. )2(2)1(3nnannC. )(2*1NnannD. 以上都不正确16. 一种细胞每3 分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2 个这种细

12、胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为（D ）A15 分钟B30 分钟C45 分钟D57 分钟二、填空题1、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若a2=1,a3=3,则 S4= 8.2. （ 2008广东理， 2）记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若a1=21，S4=20，则 S6= .48 3.（2010 广州一模）在等比数列na中，11a，公比2q，若64na，则n的值为7 4. （ 2008海南、宁夏理，4）设等比数列 an 的公比 q=2, 前 n 项和为 Sn, 则24aS= .2155.等差数列 an， bn 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若SnTn2n3n1，则

13、a100b100_. 答案199299解析a100b100a1a1992b1b1992S199T1991992996、数列na的前n项和记为11,1,211nnnS aaSn则na的通项公式解： （）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaa aan又21213aS213aa故na是首项为1，公比为3得等比数列13nna7已知各项都为正数的等比数列an 中，a2 a44，a1a2a314，则满足 an an1 an219的最大正整数 n 的值为 _答案4 解析设等比数列 an 的公比为 q，其中 q0，依题意得 a23a2 a44.又 a30，因此 a3a1

14、q22，a1a2a1a1q12，由此解得 q12，a18，an8(12)n124n，an an1 an2293n.由于 231819，因此要使 293n19，只要 93n3，即 n4，于是满足 an an1 an219的最大正整数 n 的值为 4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载8等比数列 an 的首项为 a11，前 n项和为 Sn，若S10S53132，则公比 q 等于_答案12解析因为S10S53132，所以S10S5S5313232132，即 q5(12)5，所以 q12.三、解答题1（2

15、010 山东理数）（18） （本小题满分12 分）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前 n 项和为nS（）求na及nS；（）令 bn=211na(nN*)，求数列nb的前 n 项和nT1【解析】（）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n +2n。（）由（）知2n+1na，所以 bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+-)4223nn+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，

16、即数列nb的前 n 项和nT=n4(n+1)。2 （全国新课标理17）已知等比数列na的各项均为正数，且212326231,9aaaa a（I）求数列na的通项公式（II）设31323logloglognnbaaa，求数列1nb的前 n 项和2 解： （）设数列 an的公比为q，由23269aa a得32349aa所以219q由条件可知c0，故13q由12231aa得12231aa q，所以113a故数列 an的通项式为an=13n（ ）31323nloglog.lognbaaa(12.)(1)2nn n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

17、第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载故12112()(1)1nbn nnn12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn所以数列1nb的前 n 项和为21nn3. (本小题满分 12 分)已知 an是各项均为正数的等比数列，且 a1a22(1a11a2)，a3a4a564(1a31a41a5)(1)求an的通项公式；(2)设 bn(an1an)2，求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 解析(1)设an 的公比为 q，则 ana1qn1. 由已知，有a1a1q21a11a1q，a1q2a1q3a1q4641a1q21a1q31a1q4，化简，得a21q2，a21q664

18、.又 a10，故 q2，a11. 所以 an2n1. (2)由(1)知，bn an1an2a2n1a2n24n114n12. 因此，Tn(144n1)(11414n1)2n14n14114n1142n13(4n41n)2n1. 4.（山东省济南市2011）已知na为等比数列，256, 151aa；nS为等差数列nb的前 n 项和，,21b8525SS. （1） 求na和nb的通项公式；（2） 设nTnnbababa2211，求nT. 解： （1） 设 an的公比为q，由 a5=a1q4得 q=4 所以 an=4n-1. 设 bn 的公差为d，由 5S5=2 S8得 5( 5 b1+10d)=2

19、(8 b1+28d) ，3223231ad, 所以 bn=b1+(n-1)d=3n-1. （ 2） Tn=12+45+428+4n-1(3n-1),4Tn=42+425+43 8+4n(3n-1), - 得： 3Tn=-2-3(4+42+4n)+4n(3n-1) = -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1) =2+(3n-2) 4n Tn=（n-32）4n+32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载5（2013广东理）设数列na的前n项和为nS. 已知11a,2121233nnSannn,*nN. (

20、 ) 求2a的值； ( ) 求数列na的通项公式；( ) 证明 : 对一切正整数n, 有1211174naaa. 【解析】 ( ) 依题意 ,12122133Sa, 又111Sa, 所以24a； () 当2n时,32112233nnSnannn, 321122111133nnSnannn两式相减得2112213312133nnnananannn整理得111nnnanan n, 即111nnaann, 又21121aa故数列nan是首项为111a, 公差为1的等差数列 , 所以111nannn, 所以2nan. () 当1n时,11714a；当2n时,12111571444aa；当3n时,211

21、11111nannnnn, 此时222121111111111111111434423341naaannn11171714244nn综上 , 对一切正整数n, 有1211174naaa.6 （本小题满分14 分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足21441,nnSannN且2514,aaa构成等比数列(1) 证明：2145aa；(2) 求数列na的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n，有1223111112nna aa aa a1.【解析】（1）当1n时，22122145,45aaaa，21045naaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

22、- - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载（2）当2n时，214411nnSan，22114444nnnnnaSSaa2221442nnnnaaaa,102nnnaaa当2n时，na是公差2d的等差数列 . 2514,aa a构成等比数列，25214aaa，2222824aaa，解得23a, 由（ 1）可知，212145=4,1aaa213 12aana是首项11a,公差2d的等差数列 . 数列na的通项公式为21nan. （3）1223111111111 33 55 72121nna aa aa ann11111111123355721211111.2212nnn7.（本题满分1

23、4 分）2a,5a是方程2x02712x的两根 , 数列na是公差为正的等差数列，数列nb的前n项和为nT, 且nT211nbNn.(1) 求数列na,nb的通项公式 ; (2)记nc=nanb, 求数列nc的前n项和nS. 2.解： (1)由27,125252aaaa.且0d得9,352aa2 分2325aad,11aNnnan124 分在nnbT211中,令,1n得.321b当2n时 ,Tn=,211nb11211nnbT, 两式相减得nnnbbb21211,2311nbbnn 6 分Nnbnnn3231321. 8 分(2)nnnnnc3243212, 9 分精选学习资料 - - - -

24、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载nnnS312353331232,132312332333123nnnnnS,10 分132312313131231232nnnnS=21131231131191231nnn=11344343123131312nnnnn, 13 分nnnS322214 分8.（全国大纲理20）设数列na满足10a且1111.11nnaa（）求na的通项公式；（）设111,1.nnnnknkabbSn记 S证明：解：（I）由题设1111,11nnaa即11na是公差为1 的等差数列。又1111,.11nnaa故所以11.nan（II）由（ I）得11,11111nnabnnnnnnn， 8 分11111()11.11nnnkkkSbkkn 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页