2022年高中数学必修一至必修五基础知识汇总 2.pdf

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1、必修 一（一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性. （2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等 .空集是不含任何元素的集合，用表示 . （3）我们约定用N表示自然数集，用N表示正整数集，用Z表示整数集，用Q表示有理数集，用R表示实数集 . （4） 集合的表示方法有列举法、描述法和图示法 (venn 图). 2.集合间的基本关系（1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“” 和不属于“

2、” 两种情形 . （2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集 A 中有 n 个元素，集合A 的子集个数为2n，非空子集的个数为21n，真子集的个数为21n，非空真子集的个数为22n. 3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中两组常用的结论（1）()UUUABAB痧?；()UUUABAB痧?. （2）ABABA；ABABB. （二）函数的概念（1）函数的定义设 A，B 是非空数集， 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称:fAB为从集合A 到

3、集合 B 的一个函数， 记作( ),yf xxA.其中 x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合( ) |f xxA叫做函数的值域.值域是集合B的子集 . 映射：设 A，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合 B 的映射，记作:fAB.函数实际上是一种特殊的映射 .而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一. （2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素 .在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系

4、，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了 . （3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数. 2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法. 分段函数： 在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数. （三）函数单调性1.增函数、减函数设函数( )f x的定义域为I：如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数( )fx在区间 D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有12()()f

5、xf x，那么就说函数( )f x在区间 D 上是减函数 . 2.单调性、单调区间如果函数( )yf x在区间 D 上是增函数或减函数， 那么就说函数( )yf x在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫做( )yf x的单调区间 . 3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：设出自变量； 作差（商）；判号； 写出结论 . 2函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点. 3函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x值. 4.判断函数单调性的常见

6、方法定义法； 图象法； 导数法 . 5.求函数最值或值域的方法单调性法； 配方法； 换元法； 判别式法； 图象法； 不等式法等 . 5.一些重要函数的单调性1yxx的单调区间：增区间(, 1),(1,)；减区间( 1,0),(0,1). 0,0byaxabx的 单 调 区 间 ： 增 区 间(,),(,)bbaa；减区间(,0),(0,)bbaa（四）函数奇偶性1.奇偶性(1)奇函数、偶函数如 果 对 于 函 数f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个x， 都 有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 . 如 果 对 于 函 数f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个x，

7、都 有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页(2)奇偶性如果函数( )f x是奇函数或偶函数，那么就说函数( )f x具有奇偶性 . (3)奇函数、偶函数的性质奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； 若 奇 函 数( )f x在x=0 处 有 定 义 ， 那 么 一 定 有(0)0f. 在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函

8、数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数. 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. （五）基本函数：一次二次函数1.函数(0)ykxb k叫做一次函数，它的定义域和值域皆为 R 2.一次函数性质当 k0 时，为增函数，当k0 时,直线的倾斜角为锐角;当 k0） ，所以判断点与圆的位置关系，只需判断点到圆心的距离与半径的大小关系即可。2.圆的一般方程方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0

9、) 则可变形为44)2()2(2222FEDFyDx，只有当FED4220 时，才表示圆，圆心2,2ED，半径4422FEDr, 当D2+E2-4F0 时，表示点2,2ED，若D2+E2-4Fb 时有一解；ab 时无解 . （2）若 时，则有若 absinA，则无解；若 absinA，则有一解；若 bsinAab，则有两解；若 ab，则有一解 . （二） 数列的概念1数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：按一定顺序排列的一列数称为数列 .数列中的每一个数都叫做数列的项. （2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数an=f(n) 当自变量从小到大依次取值时所对应

10、的一列函数值. 2数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是离散点，而不是曲线；（3）通项公式： 若数列 an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子表达，那么这个公式叫做数列的通项公式 . （4）递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 3数列的分类（1）按数列项数的多少可以分为有穷数列和无穷数列。（2）按数列中相邻两项的大小可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 4数列的通项an与前 n 项和 Sn之间的关系对任一数列有an=2,1,11nSSnSnn5根据数列的通项公式判定数

11、列的单调性（1）已知 an=f(n), 若 f(x)的单调性可以确定，则an的单调性可以确定；（2）比较法： 作差比较法nN*,an+1-an0an为递增数列； an+1-an=0an 为常数列；an+1-an0 时，数列 an为递增数列；当dba-b0; (2) a=ba-b=0;(3)aba-bb,bcac; (2)aba+cb+c;(3)ab,c0acbc;(4)ab,c0acc,cda+cb+d; (2) ab0,cd0acbd; (3)ab0.,2,nnnnbabanNn经常用 “ 不等式取倒数 ” 的性质 : baabba110,（六）一元二次不等式的解法1.一元二次不等式只含有一

12、个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式 (a0)的解集如下表 : 3.一元二次不等式恒成立的条件: (1)20(0)axbxca恒 成 立 的 充 要 条 件 是00a; (2)20(0)axbxca恒 成 立 的 充 要 条 件 是00a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页（七）线性规划1 二元一次不等式(组) 含有两个未知数,并且未知数的次数时1 的不等式称为二元一次不等式;由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组; 2.二元一次不等式(组)的解集

13、满足二元一次不等式(组)的和的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y) 构成的集合称为二元一次不等式 (组)的解集 . 3.二元一次不等式(组)表示的平面区域在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+c0(0 时最上方的为最大值,最下方的为最小值;当 b0 时则相反 . （八）基本不等式1.基本不等式(1)222( ,)abab a bR. (2)2abab(0,0)ab,其中2ab和ab分别叫做正数a,b 的算数平均数和几何平均数.变式 :(3)22( ,)2ababa bR(4)2() ( ,)2ababa bR以上各不等式当且仅当a=b 时取等号 . 2.最值问题设,

14、x y都为正数,则有 (1)若xys(和为定值 ),则当xy时 ,积xy取得最大值24s;(2) 若xyp(积为定值),则当xy时,和xy取得最小值2p. 利用基本不等式求最值应注意:x,y 一定要都是正数 ; 求积 xy 最大值时 ,应看和 x+y 是否为定值 ;求和 x+y 最小值时 ,看积 xy 是否为定值 ;等号是否能够成立. 以上三点可简记为“ 一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时 ,一定要检验等号是否能取到,若取到等号 ,则解法是合理的 ,若取不到 ,则必须改用其他方法. 常用到的一个不等式 :若0,0ab,则有22222ababababab.(当 且 仅 当 “a=b”取等号 )判别式24bac000一元二次方程20axbxc的根有两相异实根1212,()x xxx有两相等实根122bxxa没有实数根20axbxc的解集1 x xx或2xx2bx xaR20axbxc的解集12x xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页