2022年高中数学典型例题解析第七章平面解析几何 .pdf

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1、学习必备欢迎下载三、经典例题导讲 例 1 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点 .错解：设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为正解：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切. 当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1 平行轴，它正好与抛物线只有一个交点 . 一般地，设所求的过点的直线为, 则，令解得 k = , 所求直线为综上，满足条件的直线为： 例 2 已知曲线 C：与直线 L：仅有一个公共点， 求 m的范围 .错解： 曲线 C：可化为，联立，得：精选学习资料 - - - - - - - - -

2、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页学习必备欢迎下载，由0, 得.错因：方程与原方程并不等价，应加上.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分. （如图），结合图形易求得m的范围为.注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错. 例 3 已知双曲线，过 P(1,1) 能否作一条直线L 与双曲线交于A、B 两点，且 P 为 AB中点.错解： （1）过点 P且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求.（2）设过 P的直线方程为，代入并整理得：，又解之得： k=2，故直线方程为：y=2x-1, 即直线是存在的 .正解： 接以上过程，考虑隐含条件“0”，当 k=2 时

3、代入方程可知 0，故这样的直线不存在 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页学习必备欢迎下载 例 4 已知 A、B 是圆与 x 轴的两个交点， CD是垂直于 AB的动弦，直线AC和 DB相交于点 P，问是否存在两个定点E、F, 使| | PE | PF | | 为定值？若存在，求出E、F 的坐标；若不存在，请说明理由 .解： 由已知得A ( 1, 0 )、B ( 1, 0 ),设P ( x, y ), C ( ) , 则D (),由 A、C、P 三点共线得由 D、B、P 三点共线得得又, ，代入得，即点 P 在双曲线

4、上， 故由双曲线定义知， 存在两个定点E ( , 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使| | PE | PF | | = 2 ( 即此双曲线的实轴长为定值).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 5已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和 Q，且 OPOQ， PQ=，求椭圆的方程 . 解： 设所求椭圆的方程为=1. 依题意知，点P、Q 的坐标满足方程组：将代入，整理得，设方程的两个根分别为、，则直线 y=x+1 和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1

5、) 由题设 OPOQ， OP=，可得整理得解这个方程组，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页学习必备欢迎下载或根据根与系数的关系，由式得(1)或(2) 解方程组 (1)、(2)得或故所求椭圆方程为=1 ， 或 =1. 例 6已知椭圆 C1：1，抛物线 C2：，且 C1、C2的公共弦 AB 过椭圆 C1的右焦点。（ 1）当 AB轴时，求、的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线AB 上；（ 2）若，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求的值及直线 AB 的方程 . 解：（1）当 AB轴时，点 A、B 关于轴对称， 所以0

6、，直线 AB 的方程为1，从而点 A 的坐标为（ 1，）或（ 1，），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页学习必备欢迎下载因为点 A 在抛物线上，所以，. 此时，抛物线C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB 上. (2)当抛物线 C2的焦点在直线AB 上时，由（ 1）知直线 AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为. 由消去得设 A、B 的坐标分别为（）、（）. 则，是方程的两根，. 因为 AB 既是过 C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦，所以 AB（ 2）（ 2）4，且AB（）（）. 从而4所以，即解得. 精

7、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页学习必备欢迎下载因为 C2的焦点 F、（）在直线上，所以，即当时直线 AB 的方程为；当时直线 AB 的方程为. 四、典型习题导练1顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线l ：y=2x+1 截得的弦长为，则抛物线方程为2. 直线 m ：y=kx+1 和双曲线 x2y2=1的左支交于A、B 两点，直线 l 过点 P（2，0）和线段 AB的中点，则直线l 在 y 轴上的截距b 的取值范围为3试求 m的取值范围 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

8、 - - - -第 7 页，共 25 页学习必备欢迎下载4 设过原点的直线l 与抛物线 y2=4(x 1) 交于 A、B 两点，且以 AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，（1）求直线 l 的方程；（2）求|AB| 的长.5 如图，过抛物线y2=4x 的顶点 O 作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求 (1)MN 与x 轴交点的坐标；(2)求 MN 中点的轨迹方程 . 9设曲线 C 的方程是 yx3-x，将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动t,s 单 位长度后得曲线 C1. (1)写出曲线 C1的方程；(2)证明曲线 C 与 C1关于点 A()对称；(3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个

9、公共点，证明s且 t 0. 7.4 轨迹问题一、知识导学1. 方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.2. 点与曲线的关系若曲线 C的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C上f(x0,y0)=0 ；点 P0(x0,y0)不在曲线 C上f(x0,y0) 0 两条曲线的交点若曲线 C1，C2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,

10、y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1，C2的交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页学习必备欢迎下载方程组有 n 个不同的实数解， 两条曲线就有n 个不同的交点； 方程组没有实数解，曲线就没有交点 .3. 圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y) 到一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点 F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率 .当 0e1 时，轨迹为椭圆当 e=1 时，轨迹为抛物线当 e1

11、时，轨迹为双曲线4. 坐标变换（1）坐标变换在解析几何中， 把坐标系的变换 ( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 ) 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.（2）坐标轴的平移公式设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y) ， 在新坐标系x O y中的坐标是 (x ,y ). 设新坐标系的原点O 在原坐标系 xOy中的坐标是 (h,k) ，则(1)或 (2)公式 (1) 或(2) 叫做平移 ( 或移

12、轴 )公式 .二、疑难知识导析1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：(1)理解题意 ,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合；(2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；(3)注意挖掘题目中的隐含条件；(4)注意反馈和检验 . 2.求轨迹方程的基本方法有：(1)直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系 “ 翻译” 成 x,y的关系式 ,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系设点列

13、式 代换化简、整理. (2)定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页学习必备欢迎下载(3)待定系数法：已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数. (4)相关点法：当动点P(x,y)随着另一动点Q( x1,y1)的运动而运动时 ,而动点 Q 在某已知曲线上 ,且 Q 点的坐标可用P 点的坐标来表示 ,则可代入动点Q 的方程中 ,求得动点 P 的轨迹方程 . (5)参数法： 当动点

14、 P 的坐标 x、y 之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用 t 表示动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去 t,便可得动点 P 的普通方程 . 另外 ,还有交轨法、几何法等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想是：(1)函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件 (性质)表示为动点坐标x、y 的方程及函数关系；(2)数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“ 数” 与“ 形” 的有机结合；(3)等价转化的思想：通过坐标系使“ 数” 与“ 形” 相互结合 ,在解决问题时又需要相互转化. 三、经典例题导讲例 1如图所示，已知P(4，0)是圆 x2+y2=

15、36 内的一点， A、B 是圆上两动点， 且满足 APB=90 ，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 解： 设 AB 的中点为 R，坐标为 (x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR|. 又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理：在RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2) 又|AR|=|PR|=所以有 (x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共

16、 25 页学习必备欢迎下载设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以x1=, 代入方程 x2+y24x10=0, 得10=0 整理得 x2+y2=56, 这就是所求的轨迹方程. 技巧与方法： 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 例 2某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解：设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为O、A、B，问题转

17、化为求两等圆 P、Q,使它们与 O 相内切，与 A、B 相外切 . 建立如图所示的坐标系，并设P 的半径为 r,则|PA|+|PO|=1+ r+1.5 r=2.5 点 P 在以 A、O 为焦点，长轴长2.5 的椭圆上，其方程为=1 同理 P 也在以 O、B 为焦点，长轴长为2 的椭圆上，其方程为(x)2+y2=1 由、可解得， r=故所求圆柱的直径为 cm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页学习必备欢迎下载 例 3 直线 L：与圆 O ：相交于 A、B两点，当 k 变动时，弦 AB的中点 M的轨迹方程 .错解：

18、 易知直线恒过定点P（5,0 ），再由，得：，整理得：分析： 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时.例 4 已知 A、B 为两定点，动点M 到 A 与到 B 的距离比为常数 ,求点 M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. 解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则 A(a,0）,B(a,0). 设 M(x,y）是轨迹上任意一点. 则由题设，得= ,坐标代入，得= ,化简得(12)x2+(12)y2+2a(1+ 2)x+(12)a2=0 (1)当 =1 时，即|MA|=|MB|时，点 M 的轨迹方程是x=0，点 M 的轨迹是直线 (y

19、轴). (2)当 1时，点 M 的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0. 点 M 的轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页学习必备欢迎下载 例 5 若抛物线 y=ax2-1 上，总存在不同的两点A、B 关于直线 y+x=0 对称，求实数a的取值范围 .分析： 若存在 A、B关于直线 y+x=0 对称， A、B必在与直线y+x=0 垂直的直线系中某一条与抛物线y=ax2-1 相交的直线上，并且A、B 的中点 M恒在直线 y+x=0 上.解： 如图所示，设与直线y+x=0 垂直的直线

20、系方程为y=x+b由得ax2-x-(b+1)=0 令 0即(-1)-4a-(b+1)0整理得4ab+4a+10 在的条件下，由可以得到直线y=x+b、抛物线 y=ax2-1 的交点 A、B的中点 M的坐标为（,+b）, 要使 A、B关于直线 y+x=0 对称，则中点M应该在直线y+x=0 上，所以有+（+b）=0 即 b=-代入解不等式得 a 因此，当 a时，抛物线y=ax2-1 上总存在不同的两点A、B关于直线 y+x=0 对称 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页学习必备欢迎下载四、典型习题导练1.已知椭圆的

21、焦点是F1、 F2， P 是椭圆上的一个动点， 如果延长 F1P 到 Q， 使得|PQ|=|PF2|，那么动点 Q 的轨迹是 ( ) A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_. 3 设直线 2x-y-=0 与 y 轴的交点为P， 点 P 把圆(x+1)2+y225 的直径分为两段，则其长度之比是4.已知 A、B、C 是直线上的三点，且 |AB|=|BC|=6，O切直线于点 A，又过 B、C作 O异于的两切线，设这两切线

22、交于点P，求点 P 的轨迹方程 . 5.双曲线=1 的实轴为 A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引 A1QA1P，A2QA2P，A1Q 与 A2Q 的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程 . 6.已知椭圆=1(ab0),点 P 为其上一点， F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为，点 F2关于的对称点为Q，F2Q 交于点 R. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页学习必备欢迎下载(1)当 P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为C， 直线 l： y=k(x+a)与曲线 C

23、 相交于 A、 B 两点， 当AOB的面积取得最大值时，求k 的值. 75 综合问题选讲一、知识导学( 一) 直线和圆的方程1 理解直线的斜率的概念， 掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.3了解二元一次不等式表示平面区域. 4了解线性规划的意义，并会简单的应用.5了解解析几何的基本思想，了解坐标法.6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.( 二) 圆锥曲线方程1 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的

24、简单几何性质.2 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4了解圆锥曲线的初步应用.（三）目标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页学习必备欢迎下载1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2. 能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区

25、域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题， 并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3. 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法 .4掌握圆的标准方程：（r0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数

26、方程（为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握、b、之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲

27、线和抛物线位置关系的判定方法.二、疑难知识导析 1 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度 . 当斜率存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为=（R ）. 因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率存在与否，要分别考虑.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页学习必备欢迎下载 直线的截距式是两点式的特例，、b分别是直线在轴、轴上的截距，因为0，b0，所以当直线平行于轴、平行于轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.求解直线方程的最后结果

28、，如无特别强调，都应写成一般式.当直线或的斜率不存在时， 可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.2. 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在轴上还是轴上，还是两种都存在 .注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行、b、间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.求双曲线的标准方程应注意两个问题：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的渐近线方程为或表示为. 若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中是一个不为零的常数.双曲线的标准方程有两个和（0，b

29、0）. 这里，其中 |=2c. 要注意这里的、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 .求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数的值.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页学习必备欢迎下载同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、 焦点坐标、 准线方程三者相依并存，知道其中一个， 就可以求出其他两个.三、经典例题导讲 例 1 已知点 T是半圆 O的直径 AB上一点， AB=2

30、 、OT= (00)作直线与抛物线交于A，B 两点，点 Q是点 P关于原点的对称点.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页学习必备欢迎下载（1）设点 P分有向线段所成的比为，证明 :；（2）设直线 AB的方程是-2+12=0，过 A、B两点的圆 C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程 .2制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、 乙两个项目 . 根据预测， 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50，可能的最大亏损分别为30和 10. 投资人计划投资金额不超过

31、10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？3直线的右支交于不同的两点A、B.（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点 F？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.4. 已知倾斜角为的直线过点 A（1，2）和点 B，B在第一象限， AB 3.(1) 求点 B的坐标；(2) 若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为（ 4,1 ），求的值；(3) 对于平面上任一点，当点 Q在线段 AB上运动时，称 PQ 的最小值为与线段的距离 . 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式 .5已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F （-m,0 ）(m 是大于 0 的常数 ).(1) 求椭圆的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页学习必备欢迎下载(2) 设 Q是椭圆上的一点， 且过点 F、 Q的直线与轴交于点 M. 若 MQ 2QF ，求直线的斜率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页